2020届高三一轮复习专题：函数的零点问题及相关题型
函数的零点问题 (1)函数的零点的概念
对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系
方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)零点存在性定理
如果函数y ＝f (x )满足：?在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；?f (a )·f (b )＜0；则函数y ＝f (x )在(a ，b )上存在零点，即存在c ?(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间
1.函数f （x ）=e x + x - 2 的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2,-1） B. （-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 【答案】C
2.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间
A.(,)a b 和(,)b c 内
B.(,)a -∞和(,)a b 内
C.(,)b c 和(,)c +∞内
D.(,)a -∞和(,)c +∞内 【答案】A
零点个数的判断题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题 3.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
4.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C.3
D.4 【答案】A
5.已知函数f (x )＝?
????x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】B
6.已知函数f (x )是R 上的偶函数，且满足f (5＋x )＝f (5－x )，在[0，5]上有且只有f (1)＝0，则f (x )在[－2 015，2 015]上的零点个数为( )
A ．808
B ．806
C ．805
D ．804
【答案】C
零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围 7.函数f (x )＝2x －2
x
－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，2)
C ．(0，3)
D ．(0，2) 【答案】C
8.[2015湖南文14]若函数f （x ）=| 2x -2 | - b 有两个零点，则实数b 的取值范围是___ 【答案】0 9.已知函数f (x )＝? ??? ?2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____ 【答案】 19 4 ≤ 有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. B ． C ． D. 【答案】C )(x f )()1(x f x f -=+)(x f ]1,0[∈x 2)(x x f =]3,1[-k kx x f x g --=)()()41 ,0(]21,0()2 1 ,41(] 31,41[ 11.已知函数f (x )＝? ???? |x |，x ≤m ， x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同 的根，求m 的取值范围． 解析：作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，?要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3. 12.已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 【答案】：C 解答：?存在个零点，即与有两个交点，的图象如下： 要使得与有两个交点，则有即，?选C. 零点分布问题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断 13.已知定义域为R 的函数 ?? ???=≠-=)2(,1)2(21 )(x x x x f .若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有三个不同的实根321,,x x x ，求232221x x x ++的值为（ ） e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?>? ，， ，，()()g x f x x a =++()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(x f y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥- A. 10 B .12 C. 14 D.16 【答案】C 二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围 14已知a 是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a 的取值范围 【答案】a>1或2 5 3--≤ a 15已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围 【答案】（1）（2165 - -，）（2）），（212 1-- 16已知函数2 2||,2 ()(2)x 2 x x f x x ≤?=?->?，,函数()3(2)g x f x ,则函数y ()()f x g x 的零点的个数为 A. 2 B. 3 C.4 D.5 【答案】A 17. 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围． 解析：法一：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，?x 1x 2 －(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0， ?－2＜a ＜1. 18已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ?R)满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b 的取值范围为____ ()a x ax x f --+=3222()x f y =[]1,1- 【答案】?? ? ??75, 51 19.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ?R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为____ 【答案】9 20.已知二次函数f(x)＝x 2－ax ＋3 - a 的两零点均为正数的实数，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】2 21.已知函数f (x )＝? ???? x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3) D ．[－1,1) 【答案】A 22.已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝?? ? 54sin ??? ?π2x 0≤x ≤1??? ?14x ＋1x >1 ，若关于x 的方程 5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ?R )有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1)????? ?? 54 B ．[0,1]????? ?? 54 C ．(0,1]????? ?? 54 D.??? ?1，5 4?{0} 解析：作出f (x )＝?? ? 54sin ??? ? π2x 0≤x ≤1??? ?14x ＋1x >1 的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数， 且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ?R )有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝6 5和f (x )＝a (a ?R ) 有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝6 5 有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ?R ) 有且仅有2个不同的实数根，由图可知0 4 .故选C. 【答案】：C 23.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________． 解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12. 【答案】：－1 2 24.函数f (x )＝????12|x －1| ＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________． 解析：问题可转化为y ＝????12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 【答案】：10 25.已知函数f (x )＝? ???? 1－|x ＋1|，x ＜1x 2 －4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________． 解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝????12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝????12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2. 【答案】：2 26.已知函数f (x )＝?? ? 2x －1x ≥221≤x ＜2 ，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝1 2，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1 (x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋5 2，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰 有一个解．故实数a 的取值范围为????0，12?? ?? ??－1＋52，1. 【答案】：????0，12?? ???? －1＋52，1 27.对于函数f (x )和g (x )，设α?{x |f (x )＝0}，β?{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x － 1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．????2，7 3 C.???? 73，3 D ．[2,3] 解析：函数f (x )＝e x － 1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x － 1＋x －2与 g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，?0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，?要使其零点在区间[0,2]上，则g ????a 2≤0，即????a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意． 【答案】D 28.设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ? ???x 0＋1 2＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个 D ．67个 解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ?Z ，即x 0＝k ，k ?Z .当k 是奇数时，f ????x 0＋12＝sin π????k ＋1 2＝sin ????k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ????x 0＋1 2＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ????x 0＋12＝sin π????k ＋12＝sin ????k π＋π2＝1，|x 0|＋f ????x 0＋1 2＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 【答案】C 29.设函数f (x )＝????? x ，0≤x <11x ＋1－1，－1 有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 4或m ＝－1 B ．m ≥14 C ．m ≥1 5或m ＝－1 D ．m ≥15 【答案】C 30.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C．2 D．3 解析：当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x) ＝1 x－1＝ 1－x x，所以 x?(0,1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x?(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝e x的大致图象，如图，观察到函数y＝f(x)与y＝e x的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－e x(e为自然对数的底数)有2个零点．故选C. 【答案】C 31.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是() A．(－∞，1) B．(0,1) C.???? －∞， 1＋e e2 D.? ? ? ? 0， 1＋e e2 解析：依题意，关于x的方程ax－1＝ ln x x有两个不等的正根．记g(x)＝ ln x x，则g′(x)＝ 1－ln x x2，当0 1 e，当 0 ? ? ?a1＝1－ln x0 x20 a1x0－1＝ ln x0 x0 ，由此解得x0＝1，a1＝1.在坐标平面内画出直线y＝ax－1(该直线过点(0，－1)、斜率为a)与函数g(x)的大致图象，结合图象可知，要使直线y＝ax－1与函数g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是(0,1)，选B.【答案】B 32.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，且f(x)＝ 1 2x2－f(0)x＋f′(1)e x－1，g(x)＝f(x)－ 1 2x2＋x，若方程g? ? ? ? x2 a－x－x＝0 在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)?{1} B ．(－∞，－1] C ．(0,1] D ．[1，＋∞) 解析：?f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，?f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，?f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－ 1， ?f ′(1)＝e ，?f (0)＝f ′(1)e －1 ＝1，?f (x )＝12x 2－x ＋e x ，?g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12 x 2＋x ＝e x ，?g ????x 2a －x －x ＝0，?g ????x 2 a －x ＝x ＝g (ln x )，?x 2 a －x ＝ln x ，?x 2 a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x 2 a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，?a ＝1或a <0，故选A. 【答案】A 33.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e － x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1 e ＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10 D ．e ＜x 1x 2＜10 解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e － x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1?(0,1)，x 2?(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1?(e －1, 1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2?(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)?(－1，0)，于是有e － 1＜x 1x 2＜e 0， 即1 e ＜x 1x 2＜1，故选A. 【答案】A 34.已知符号函数sgn(x )＝???? ? 1，x ＞0，0，x ＝0， －1，x ＜0， 设函数f (x )＝sgn 1－x ＋12·f 1(x )＋sgn x －1＋1 2 ·f 2(x )，其中f 1(x ) ＝x 2＋1，f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，9 4) B ．(－∞，9 4] C ．[2，9 4 ] D ．(2，9 4 ) 解析：?若x ＞1，则f (x )＝ －1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.?若x ＝1，则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋1 2·f 2 (x )＝x 2－2x ＋52＝2.?若x ＜1，则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12 ·f 2(x )＝x 2 ＋1.综上，f (x )＝????? x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，－2x ＋4，x ＞1， 作出其图 象如图所示．若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，令t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m ＞0，得m ＜9 4 .数形结合知1＜f (x )＜2，所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2) 上有两个不同的零点，又函数g (t )图象的对称轴为t ＝3 2?(1,2)，所以需??? ?? g 1＞0，g 2＞0，即 ? ???? 1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜9 4，故选D. 【答案】D 35.已知函数f (x )＝???? ? 2x ＋1，x ＜0|12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝ 0(b ≠0)有 6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( ) A ．[6,11] B ．[3,11] C ．(6,11) D ．(3,11) 解析：首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件???? ? b ＞01－a ＋b ＜0 4－2a ＋b ＞0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)． 【答案】D 36.已知函数f (x )＝若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________． 解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ?(0,1]． 【答案】(0,1] 37.函数f (x )＝? ?? ?? ln x －x 2＋2x ，x ＞0， 4x ＋1，x ≤0的零点个数是________． 解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0，得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象， 显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ?x ＝－1 4 . 综上共有3个零点． 【答案】3 38.已知函数f (x )＝|x －a |－2 x ＋a ，a ?R ，若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ________． 解析：令g (x )＝|x －a |＋a ，h (x )＝2x ＋1，作出函数h (x )＝2x ＋1的图象，易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2 x ＋1的 图象的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图象是由函数y ＝|x |的图象的顶点在直线y ＝x 上移动得到的，且当函数h (x )＝2 x ＋1的图象和g (x )＝|x －a |＋a 的图象相切时，切点为(2，1＋2)，(－ 2，1－2)，切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1，又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋22 2， 1＋222)，(1－222，1－222)，故a ＝1±22 2，结合图象可知a 的取值范围是(－∞，1－222)?(1＋222，2)． 【答案】(－∞，1－222)?(1＋222 ，2) 39.若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2 a －1的取值范围是__________． 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，?方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ????? ? f 0>0，f 1<0，f 2>0，????? ? b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2. 根据约束条件作出可行域(图略)，可知14 a －1 <1. 【答案】????14，1 40.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.1 4 B ．18 C ．－78 D ．－38 解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7 8.故选C. 【答案】：C 41.已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数，故只需求函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围．当x ?(0，＋∞)时，f (x )＝e x ＋x ，此时f ′(x )＝e x ＋1＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1，所以要使函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点，只需k ＞1，故所求实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞) 42.已知函数f (x )＝－1 3x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D. 【答案】D 43.设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b ) D ．f (b )＜g (a )＜0 【答案】A 44.已知λ?R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥???-+ ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰 有2个零点，则λ的取值范围是_________． 【答案】13λ<≤或4λ>. 45.已知0a >，函数222,0, ()22,0. x ax a x f x x ax a x ?++≤=?-+->?若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则 a 的取值范围是 . 【答案】 46.函数()2ln f x x =的图像与函数()2 45g x x x =-+的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B ()4,8 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且 导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共13题) 1．已知函数f（x）=（ae x﹣a﹣x）e x（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立． （1）求实数a的值； （2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且． 【解答】（1）解：f（x）=e x（ae x﹣a﹣x）≥0，因为e x＞0，所以ae x﹣a﹣x≥0恒成立， 即a（e x﹣1）≥x恒成立， x=0时，显然成立， x＞0时，e x﹣1＞0， 故只需a≥在（0，+∞）恒成立， 令h（x）=，（x＞0）， h′（x）=＜0， 故h（x）在（0，+∞）递减， 而==1， 故a≥1， x＜0时，e x﹣1＜0， 故只需a≤在（﹣∞，0）恒成立， 令g（x）=，（x＜0）， g′（x）=＞0， 故h（x）在（﹣∞，0）递增， 而==1， 故a≤1， 综上：a=1； （2）证明：由（1）f（x）=e x（e x﹣x﹣1）， 故f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1， 所以h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增， h（0）=0，h（ln）=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1＜0，h（﹣2）=2e﹣2﹣（﹣2）﹣2=＞0， ∵h（﹣2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知， 方程h（x）=0在（﹣2，ln）有唯一根， 设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0，从而h（x）有两个零点x0和0， 所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证， 由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=，x0≠﹣1， ∴f（x0）=e x0（e x0﹣x0﹣1）=（﹣x0﹣1）=（﹣x0）（2+x0）≤（） 2=， 取等不成立，所以f（x0）＜得证， 又∵﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增 所以f（x0）＞f（﹣2）=e﹣2[e﹣2﹣（﹣2）﹣1]=e﹣4+e﹣2＞e﹣2＞0得证， 从而0＜f（x0）＜成立． 2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围； （2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立， 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值． 解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1． 故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)， 令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ， 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0， 所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点． 设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。 专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得 ，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+ 高三数学一轮复习第二十讲：导数的方法与技巧一（隐零点问题） 1.已知函数 ()()()ln ,f x x h x ax a R ==∈（1）若函数与的图像无公共点，试求实数的取值范围； ()f x ()g x a （2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图像在的图像m 1,2x ??∈+∞ ??? ()m y f x x =+()x e g x x =的下方？若存在，求出最大整数的值；若不存在，请说明理由. m (参考数据：) ln 20.6931,ln 3 1.3956≈≈≈≈ 2.已知函数，其中，为自然对数的底数. ()()222 x a f x x e x =--a R ∈e (1)函数的图象能否与轴相切？若能求出实数的值；否则，说明理由. ()f x x a (2)若函数在上单调递增，求实数能取到的最大整数值. ()2y f x x =+R a 3.设函数. ()()ln ,21x f x x x g x x e x =-=?--（1）关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围； x ()2103 f x x x m =-+[]1,3m （2）证明：当时，. 0x >()()g x f x ≥ 4.已知函数，若恒成立，求实数的取值范围. ()()()2 23,x f x e x a a R =--+∈()0,0x f x ≥≥a 5.已知函数. ()ln 1f x ax x =++（1）讨论函数零点的个数； ()f x （2）对任意的恒成立，求实数的取值范围. ()20,x x f x xe >≤a 6.已知函数. ()2 x f x e x ax =--（1）若函数在R 上单调递增，求实数的取值范围. ()f x a （2）若，证明：当时，. 1a =0x >()2 ln 2ln 2122f x ??>-- ??? (参考数据：) 2.71828,ln 20.69e ≈≈ 高考数学专题复习函数隐性零点的处理技巧 近些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1 -+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ， 而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ）在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为a ，则a ∈（1，2）．当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）的最小值为g （a ）． 函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?- 隐零点问题 有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题. 类型一 根据隐零点化简求范围 典例1. 已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3. ()ln f x ax x x =+x e =e （1）求实数的值； a （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； k Z ∈() 1 f x k x <-1x >k 【答案】 3【解析】解析：（1），由解得； ()'1ln f x a x =++()3f e =1a =（2），，， ()ln f x x x x =+()ln ()11f x x x x k g x x x +< =--@2 2ln '()(1)x x g x x --= -令，有，那么. ()2ln h x x x =--1 '()10h x x =- >()(1)1h x h >=-不妨设，由，，则可知，且. 0()0h x =(3)0h <(4)0h <0(3,4)x ∈00ln 2x x =-因此，当时，，；当时，，； ()0h x >()'0g x >0x x >()0h x <()'0g x <0x x <即可知， []000000min 00(ln 1)(1) ()()11 x x x x g x g x x x x +-== ==--所以，得到满足条件的的最大正整数为3. 0k x ≤k 类型二 根据隐零点分区间讨论 典例2 已知函数，为何值时，方程有唯一解. 2()2ln (0)f x x t x t =->t ()2f x tx =【答案】 (,0){1}-∞ 【解析】 ， 222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=?+=当时，有； ln 0x x +=t R ∈设，；又，，不妨设， ()ln u x x x =+1'()10u x x =+ >(1)10u =>11 ()10u e e =-<00ln 0x x +=则可知. 01(,1)x e ∈当时，得到； ， ln 0x x +≠22()ln x t g x x x =+@222 2ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+== ++令，易知，且时，；时，； ()12ln g x x x =-+(1)0g =1x >()0g x >1x <()0g x < 综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像： ()g x 00(0,),(,1)x x (1,)+∞ 因此，可知所求的范围为. t (,0){1}-∞ 函数隐性零点的处理技巧 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 2.不等式的证明 例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f （x ）=2 ) (ln a x x ，其中a 为常数． （1）若a=0，求函数f （x ）的极值； （2）若函数f （x ）在（0，﹣a ）上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若a=﹣1，设函数f （x ）在（0，1）上的极值点为x 0，求证：f （x 0）＜﹣2． 3.对极值的估算 例3已知函数f （x ）=ax 2 ﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ； （2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2 ＜f （x 0）＜2﹣2 ． 二、针对性演练： 1．已知函数 f （x ）=22 ln )2 1( ax x x x ++（a∈R），曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线x+2y ﹣1=0垂直． （1）求a 的值，并求f （x ）的单调区间； （2）若λ是整数，当x ＞0时，总有f （x ）﹣（3+λ）x 221x > -λlnx+24 1 x ，求λ的最大值． 2．设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ． （Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln a 2 ． 答 案 函数隐性零点的处理技巧 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1 -+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ， 而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ）在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为a ，则a∈（1，2）．当x∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）的最小值为g （a ）． ③所以g （a ）=a+1∈（2，3）．由于（*）式等价于k ＜g （a ），故整数k 的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2 ＋ax (a ∈R)，g (x )＝? ?? ?? f x ， x ≥0， f ′x ， x <0. 若方程g (f (x ))＝ 0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4 －x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2 ＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝ g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝?? ? 2x －1， x ≥2， 2， 1≤x <2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则 实数a 的取值范围为________． 2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ， －x －1， x 0， 若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有 且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________． 导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题 任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。 例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ，，且21x x ＜，则（ ） A.)(1x f ＞0，)(2x f ＞21- B. )(1x f ＜0，)(2x f ＜2 1- C. )(1x f ＞0，)(2x f ＜21- D . )(1x f ＜0，)(2x f ＞21- 例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。 k 的最大值=2 任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x x x f -=. （Ⅰ）求函数)(x f 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线x x y ln = 存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标0y ＜1- 提示解析：（Ⅰ）函数)(x f 的零点为x e =，单调减区间32(0,)e ；单调增区间32(,)e +∞； （Ⅱ）x x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6，于是020 1ln 6x x -=，即2001ln 60x x --=，令2()1ln 6f x x x =--为增函数，易判断所以01(,1)2x ∈，所以20000000 ln 1616x x y x x x x -===-为减函数，所以0001 2|231x y y =<=-=- 函数隐性零点问题 近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。 函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 1.不含参函数的隐性零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 2.含参函数的隐性零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 题型一 求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。 复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出 ()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 专题三 . 隐零点专题 知识点 一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 二、含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0. 例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=. （I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数； （II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥. 例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2 --=，且()0f x ≥. （I ）求a ； （II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--< 高中数学解题方法系列：函数中的隐形零点、设而不求 在利用导数探究函数性质的过程中，我们常常需要求出函数的极值点，如遇到某些难以确定的极值点或某些难以计算的代数式，我们往往束手无策，那么我们如何处理这类问题呢？我们通过本专题，让这些隐形的零点不再隐形。 例题1.证明：当[0,1)a ∈时， 函数()2 e =(0)x ax a g x x x -->有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 分析：求函数的最小值，难度的上升是因为含有参数，从而的最小值也将是参数的函数，自然想法是求出函数的表达式，再进一部求其值域，基于这种想法我们利用导数工具来处理， 通过求导3 (2)(2) ()(0)x x e a x g x x x -++'=>，要讨论()g x '的符号，我们只需要研究()(2)(2)x x x e a x ?=-++的符号，在此我们发现无法求出()(2)(2)x x x e a x ?=-++的 零点，此时我们该如何处理呢？ 我们研究函数 ()(2)(2)x x x e a x ?=-++，根据零点存在性定理可以判断(2)(2)0 x x e a x -++=存在零点，但是我们无法求出其精确值，我们可以设(2)(2)0x x e a x -++=的一个实根是1x ，且满足111()(2)(2)0x x x e a x ?=-++=于是函数()g x 的最小值()1112 1e (1) =x a x g x x -+， 解析：() ()() 24 e 2e x x a x x ax a g x x ----'= () 4 e 2e 2x x x x ax a x -++= ()322e 2x x x a x x -?? +?+ ?+?? = [) 01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2 x x f x x -=?+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得 2e 2 t t a t -?=-+，(]02t ∈，当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22 t t t t t t a t t h a t t t -++?-++=== +记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()() 2 e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ?? =∈ ??? ，．专题复习之--函数零点问题
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版
高中数学专题练习-函数零点问题
复合函数零点问题专题训练
高中数学-函数零点问题及例题解析
函数导数压轴题隐零点的处理技巧
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
导数方法与技巧一(隐零点问题)
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函数零点问题专题
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高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数
专题含参函数的零点问题
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高中数学解题方法系列：函数中的隐形零点、设而不求