高考数学专题训练· 直击函数压轴题中零点问题(解析版)
一、解答题
1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2
1f x x bx b R =-+∈，()()()
,0,0f x x F x f x x ?>?
=?
->??.
（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；
（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()2221,0
21,0
x x x F x x x x ?-+>=?-+-
[),22,k ∈-∞-+∞
【解析】（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.
所以()22
21,0
21,0x x x F x x x x ?-+>=?-+-
. （2）因为()2
1f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()2
1f x x =+.
因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ?=-≥， 所以(]
[),22,k ∈-∞-+∞.
2．（2020·全国高三专题练习）已知函数3
()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数.
（1）求()f x 在0x =处的切线方程；
（2）求证：()f x '在,22ππ??
- ???
上有且仅有两个零点.
【答案】（1）y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2
cos 3,f x x x '=-()01f '=，
又()00f =，所以切点为()0,0.
故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；
（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '
为偶函数，且()01f '=，
则只需证明()f x '在0,
2π??
??
?
上有且仅有一个零点即可.
()sin 6f x x x ''=--，
当0,
2x π??
∈ ??
?时()0f x ''<， 故()f x '
在0,
2π??
??
?
上单调递减， 因为()010f '=>，2
3022f ππ????'=-?< ? ?????
， 由零点存在定理，可知存在00,
2x π?
?
∈ ??
?
使得()00f x '=， 所以()f x '在0,
2π??
??
?
上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ??
- ???
上有且仅有两个零点.
3．（2020·安徽省高三期末）已知函数1
()(2)x
f x e a x x
=++
+在区间(1,0)-内存在零点． （1）求a 的范围； （2）设22
e
a >
，1
221,()x x x x <是()f x 的两个零点，求证：122x x -<． 【答案】（1）0a >（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，方程1
e (2)0x a x x
++
+=在区间(1,0)-有解， 即方程2e (1)0x x a x ++=在区间(1,0)-有解，
设函数2()e (1)x g x x a x =++，即g()x 在区间(1,0)-存在零点． 因为()(1()e )2x g x x a '=++，
①若0a >，则e 20x a +>，10x +>，()0g x '>成立，
g()x 在区间(1,0)-单调递增，
(0)0g a =>，1
(1)0e g -=-<，(0)(1)0g g ?-<，
所以g()x 在区间(1,0)-存在零点；
②若0a =，则()e 0x g x x '=<，g()x 在(1,0)-内单调递减，
且()(0)0g x g a >==，所以g()x 在区间(1,0)-无零点； ③若0a <，则e 0x x <，2(1)0a x +<， 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()(1)0g x g <-< 故g()x 在区间(1,0)-无零点； 综上所述，0a >． （2）由（1）可知，
2
2
e a >
时，g()x 在区间(,1)-∞-单调递减，在区间(1,)-+∞单调递增， 且g()x 在区间(1,0)-存在一个零点； 又22
(2)0e
g a -=-
+>，(2)(1)0g g -?-<， 所以g()x 在区间(2,1)--也存在一个零点， 从而2120x x -<<<， 所以122x x -<，不等式得证．
4．（2020·安徽省高三月考）已知函数()()()3211
1323
a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】（1）∵()()3211
1323
a f x x a x x =
-++-， ∴()()()2
1111f x ax a x a x x a ??'=-++=-- ??
?，
因为1a >，所以1
01a
<
<， 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
由表可得当1
x a
=时，()f x 有极大值，且极大值为
2
212316a a f a a -+-??= ???
，
当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为()()1
116
f a =--. （2）由（1）得()()11f x a x x a ??=-- ?'??
． ∵ 01a <<，∴1
1a
>. ① 当
11
202
a a ≥<≤，即时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上递减 又因为()()()()()111
00,110,2210363
f f a f a =-
=--=-≤ 所以()f x 在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以()[]
0,2f x 在上有两个零点．
② 当1
12a <
<，即112a <<时，()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ?? ???上递减，在1,2a ?? ???
上递增， 又因为()()()()()2
21111100,110,0366a a f f a f a a ---??=-=--=> ???
所以()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，在[]
1,2上没有零点， 所以在[]0,2上有且只有只有一个零点. 综上：当1
02
a <≤时，()f x 在[]0,2上有两个零点； 当
1
12
a <<时，()f x 在[]0,2上有且只有一个零点． 5．（2020·四川省棠湖中学高三月考）已知设函数()ln(2)(1)ax
f x x x e =+-+.
（1）若0a =，求()f x 极值；
（2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点.
【答案】（1）()f x 取得极大值0，无极小值（2）见证明
【解析】（1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1
02
x f x x +'=-
=+得1x =-．
当x 变化时，()
f x '， ()f x 的变化情况如下表：
故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1
e 112
ax f x a x x ??=
-++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()()
()2
1
e 1202ax
f x a a x x ??=-
-++?+'
'， ()f x '在()1,-+∞单调递减．
因为()11e
0a
f --=->'，()1
002
f b -'=-<，
所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=，
当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点．
当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e
11ax
ax a x -≥-+>-+．
所以()()()()())
e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax
f x x x x a x -???=+-+>-+++???
． 于是11111
11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a
f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ????????????????
???．
因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -??
+∞ ???
存在零点．
综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点．
6．（2020·湖南省高三期末）已知函数2
()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .
（1）若1
2a =
，求函数()f x 的所有零点； （2）若1
2
a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.
【答案】(1) 1x = (2)见证明 【解析】（1）当1
a 2=
时，()()2172ln 422
f x x x x x =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，
且()2
ln 3f x x x x =+
+-'． 设()2
ln 3g x x x x
=++-，
则()()()2222
211221x x x x g x x x x x +-+-='=-+= 0x ．
当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1x =时取等号）． 即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点. 因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点. 所以若1
2
a =
，则函数()f x 的所有零点只有1x =． （2）证法1：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+-． 当12a ≥
时，()2
ln 3f x x x x
≥++-'，
由（1）知2
ln 30x x x
+
+-≥． 即当0x >时()0f x '≥，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增． 所以()f x 不存在极值．
证法2：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+，
函数()f x 的定义域为()0+∞，
，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+-． 设()2
ln 24x m x x ax x
+=+
+-， 则()222
1222
2ax x m x a x x x
+-=-+=' 0x ．
设()()2
220h x ax x x =+-> ，则()m x '与()h x 同号． 当12
a ≥
时，由()2
220h x ax x =+-=，
解得10x =
<
，20x =>．
可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>， 所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 由（1）知2
ln 30x x x
+
+-≥． 则()()()222222
2
ln 321210f x x x a x a x x =+
+-+-≥-≥'． 所以()()20f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增． 所以()f x 不存在极值．
7．（2020·河北省高三期末）已知函数()1
1
x
x f x e x +=-
-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；
（Ⅱ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x
y e =在点(
)0
0,x A x e
处的切线也是曲线ln y x =的切线.
【答案】（Ⅰ）()f x 在(),1-∞，()1,+∞单调递增，证明见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为()
(),11,-∞+∞，
因为()()
2
2
01'x e x f x =+
>-，所以()f x 在(),1-∞，()1,+∞单调递增.
因为()2
12103f e --=
<，()110f e
-=>，所以()f x 在(),1-∞有唯一零点1x ， 因为1
2532f e ??
???
=-，由3322.8225e <<<，得
302f ??
< ???
； 因为()2
230f e =->，所以()f x 在()1,+∞有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.
（Ⅱ）由题设知()00f x =，即0
001
1
x x e x +=
-， 由x y e =，得'x
y e =，曲线x y e =在(
)0
0,x A x e
处的切线1
l 为：
()000x x y e x x e =-+，即()0001x x y e x e x =+-.
由ln y x =，得1'y x
=
，则曲线ln y x =的斜率为0e x 的切线的切点横坐标x 满足01x
e x =，解得0x x e -=，
代入ln y x =，得0
0ln x y e
x -==-，
故曲线ln y x =的斜率为0e x 的切线2l 方程为()0
x x y e x e x -=--，即()0
01x y e
x x =-+，
由0
0011
x x e
x +=
-，得()()00011x
e x x -=-+，从而1l 与2l 为同一条直线. 8．（2020·重庆高三月考）已知函数()ln
f x x ax a =-+（a 为常数）的最大值为0. （1）求实数a 的值；
（2）设函数3
()(1)ln ()1F x m x x f x e
=--+-
，当0m >时，求证：函数()F x 有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），且121x x e e --<-.
【答案】（1）1a =（2）见解析
【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，1()ax
f x x
-'=
当0a ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值；
当0a >时，令1()0ax
f x x '
-=
>，即(1)0x ax -<，解得10x a <<， 所以函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，1
(,)a +∞上单调递减，
max 11()()ln 10f x f a a a ==-+=，易知函数1
ln y a
=与函数1y a =-的图像相交于点(1,0)，所以方程
1
ln 10a a
-+=的解为1a =； （2）3
()(1)ln ln F x m x x x x e
=--+-
2
111
()(ln 1)1()mx m F x m x F x x x x -++'''=++-+?=
当0m >时()0F x ''>，则()F x '
在(0,)+∞上单调递增，
又因为()10F '=，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
又()1031e F =-<，112()(1)10F m e e e =-+->，23
()(1)0e e F e m e e
--=-+>
所以函数()F x 有两个不同的零点11
(,1)x e ∈，2(1,)x e ∈，故211x x e e
-<-
. 9．（2020·安徽省高三期末）已知函数()()2e 12e x x
f x a a x =+--.
（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）()()()()
22e 12e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.
因为0a <，由()0f x '=得，0x =或1ln 2x a ??
=- ???
.
i ）1ln 02a ??
-< ???即12
a <-时，()f x 在1,ln 2a ????-∞- ? ?????单调递减，在1ln ,02a ????- ? ?????单调递增，在()0,∞+单
调递减；
ii ）1ln 02a ??
-= ???即12
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；
iii ）1ln 02a ??
-> ???即102
a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ????- ? ?????单调递增，在1ln ,2a ????-+∞ ?
?????
单调递减. （2）由（1）知，1
2
a <-
时，()f x 的极小值为111ln 1ln 10242f a a a ??????-=--->> ? ? ???????
，
1
02
a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>， 1
2
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调，
故0a <时，()f x 至多有一个零点.
当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.
要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.
令()()()F x f x f x =--，（0x >），则()()()F x f x f x '''=+-()()
22e 12e 1x x
a a =+--
()()22e 12e 1x x a a --++--()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在0x >时单调递增，
()()00F x F >=，()()f x f x >-.
不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<， ()()()122f x f x f x =>-. 由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<.
10．（2020·新疆维吾尔自治区高三月考）已知函数221()ln ()x f x a x a R x
-=-∈
（1）若0a >时，讨论()f x 的单调性；
（2）设()()2g x f x x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）a e >
【解析】（1）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，且2
2
21
()x ax f x x
'
-+=， 对于222108x ax a -+=?=-，，又0a >，
①若0a <≤0,
()0f x '?≤≥，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数；
②若a >()0f x '=，得120,0x x =>=>,
()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上是增函数，在()12,x x 上是减函数.
（2）由1
()ln g x a x x
=-
-， ∴定义域为(0,)+∞且222111()a ax ax g x x x x x
'--=
-=-= ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，则()g x 至多有一个零点，不符合题意； ②当0a >时，()0g x '=得1x a
=
， ()g x ∴在10,a ?? ???上单调递增，在1,a ??
+∞ ???上单调递减
max 1()ln g x g a a a a ??
∴==-+ ???
∴要使()g x 有两个零点，则ln 0a a a -+>，由0a >解得a e >
此时1
1,(1)10g a
>
=-< 易知当a e >时()211
,,ln a
a
a a a a e a e
g e a e e a a e ----><
=--=-+， 令2
(),(,),
()2x x m x e x x e m x e x '=-∈+∞=-，
令()2x h x e x =-，所以()2x
h x e '
=-，
(,)x e ∴∈+∞时()0h x '<，()m x '∴在(,)x e ∈+∞为增函数，2()()20m x m e e e ''>=-> ()m x ∴在(,)x e ∈+∞为增函数，2()()0e m x m e e e >=->，所以()2,0a a e a g e -><
∴函数()g x 在1,a e a -?
? ??
?与1,1a ?? ???各存在一个零点
综上所述，a e >.
11．（2020·全国高三专题练习）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当1
2
a =
时，证明：()0f x ； （2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）()
1,0,.2??
-∞+∞????
.
【解析】（1）当12
a =
时，()2
1cos 12f x x x =+-，
所以()f x 的定义域为R ,且()(),f x f x -=故()f x 为偶函数． 当0x 时,()sin f x x x '=-+，
记()()sin g x f x x x '==-+，所以()cos 1g x x '=-+． 因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增， 即()f x '在[)0,+∞上单调递增， 故()()00f x f ''≥=，
所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=， 因为()f x 为偶函数,所以当x ∈R 时,()0f x ≥.
（2）①当0a =时，()cos 1f x x =-，令cos 10x -=，解得()2x k k =π∈Z ， 所以函数()f x 有无数个零点，不符合题意；
②当0a <时，()22
cos 10f x x ax ax =+-≤≤，当且仅当0x =时等号成立，故0a <符合题意；
③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 又因为()00f =，故0x =是()f x 的零点.
当0a >时，()sin 2f x x ax '=-+，记()()sin 2g x f x x ax '==-+，则()cos 2g x x a '=-+. 1）当1
2
a ≥
时，()cos 2cos 10g x x a x '=-+≥-+≥， 故()g x 在()0,∞+单调递增，故当0x >时，()()00.g x g >=即()0f x '>， 故()f x 在()0,∞+单调递增，故()()00.f x f >= 所以()f x 在()0,∞+没有零点.
因为()f x 是偶函数,所以()f x 在R 上有且只有一个零点.
2）当1
02a <<
时，当(]0,2x π∈时，存在10,2x π??∈ ???
，使得1cos 2x a =，且当10x x <<时，()g x 单调递减，故()()00g x g <=，
即()10,x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()10,x 单调递减，()()100f x f <=，
又()()2
2
2cos 22140f a a π=π+π-=π>，所以()()120f x f π<，
由零点存在性定理知()f x 在()1,2x π上有零点，又因为0x =是()f x 的零点， 故1
02
a <<
不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为()
1,0,.2??-∞+∞????
12．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅰ）设，则，只有一个零点．
（Ⅱ）设，则当时，
；当
时，
．所以在单调递
减，在单调递增． 又
，
，取满足
且
，则
，
故
存在两个零点．
（Ⅲ）设，由得或
．
若
，则，故当时，
，因此
在
单调递增．又当时
，所以
不存在两个零点．
若
，则
，故当
时，；当
时，．因此
在单调递减，在
单调递增．又当
时，
，所以
不存在两个零
点．
综上，的取值范围为
．
（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，
所以等价于
，即．
由于
，而，所以
．
设，则．
所以当时，
，而，故当时，
．
从而
，故
．
13．（2020·广东省执信中学高三月考）已知函数()()1x
f x alnx x e =--，其中a 为非零常数．
()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；
()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()
f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．
【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，
()2x x
a a x e f x xe x x
-=-=
'， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点； ②当0a >时，令()2x
g x a x e =-，
则由于()g x 在[
)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(
10a
a
g a a ae
a e
=-=-<，
所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，
所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.
综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；
()2证明：()i 由()1知()2x
a x e f x x
-'=
． 令()2x
g x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，
所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．
令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1
'10h x x
=-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，
从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-． 从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna
f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=
又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．
()ii 由题意，()()0100f x f x ?=??='??即()0
12011010x x a x e alnx x e ?-=?
?--=??
，
从而()0120111x
x x e lnx x e =-，即10
1120
1x x x lnx e x --=
． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，
故
10
1120
11x x x e x x --<-，即102
0x x e x -<， 两边取对数，得10
2
0x x lne
lnx -<，
于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．
14．（2020·河南省高三开学考试）已知函数()ln 2f x x x a =-+（a R ∈）. （1）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围
（2）证明：1212ln ln 22x x x x e -+?
?-≥++ ??
?
【答案】（1）()1ln 2,++∞；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，函数()ln 2f x x x a =-+的定义域为()0,∞+， 令()ln 20f x x x a =-+=，则2ln a x x =-， 记()2ln g x x x =-，0x >， 则()121
2x g x x x ='-=-，令()0g x '=，得12
x =， 当10,
2x ?
?
∈ ???
时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ??
∈+∞
???
时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 有最小值，且为11ln 22g ??
=+
???
， 又当0x →时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞，
所以要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y a =有两个不同的交点， 则1ln 2a >+，即实数a 的取值范围为()1ln 2,++∞. （2）由（1）知，函数()g x 有最小值为11ln 22g ??
=+ ???
，可得2ln 1ln 2x x -≥+， 当且仅当1
2
x =
时取等号， 因此要证明1212ln e ln 22x x x x -+?
?-≥++ ???，
即只需要证明121e 12x x -+?
?+≤ ??
?，
记()121e 2x x x ?-+??=+ ???，则()11221e e 2x x x x ?-+-+??'=-+ ???1
21e 2x x -+??
=- ???
，
令()0x ?'=，得1
2
x =. 当10,
2x ??
∈ ???
时，()0x ?'>，()x ?单调递增，
当1,2x ??
∈+∞
???
时，()0x ?'<，()x ?单调递减， 所以()11
22
111e
1222x ??-+????≤=+= ? ?????
， 即121e 12x x -+?
?+≤ ???恒成立，当且仅当12x =时取等号，
所以1212ln e ln 22x x x x -+?
?-≥++ ??
?，当且仅当12x =时取等号.
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
【高考数学专题】函数的零点练习题
函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121，内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21< “用好零点”，证明函数不等式 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当 时，证明： （其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f （x ）=lnx+a （x ﹣1）2 （a ＞0）． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）若f （x ）在区间（0，1）内有唯一的零点x 0，证明：． 5. 已知函数f （x ）=3e x +x 2 ，g （x ）=9x ﹣1． （1）求函数φ（x ）=xe x +4x ﹣f （x ）的单调区间； （2）比较f （x ）与g （x ）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f （x ）=lnx ﹣x+1，函数g （x ）=ax?e x ﹣4x ，其中a 为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求证：g （x ）﹣2f （x ）≥2（lna ﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数 的最大值 为. （1）求实数的值； （2）若 ，证明： . 8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数)， ． (I)记，讨论函单调性； (II)令 ，若函数G(x )有两个零点． (i)求参数a 的取值范围； (ii)设 的两个零点，证明 ． 9．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 0e x e - -<<. 10．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈ 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一 类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 题型突破练——压轴题专练 压轴题专练(一) 建议用时：40分钟 1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)， 且经过点? ?? ???1，22. (1)求椭圆E 的方程； (2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程． 解 (1)由题意知c ＝1,2a －2 2 ＝ 22 ＋? ?? ?? ?222 ，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 2 2 ＋y 2＝1. (2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2 m 2＋2.② 由PB →＝3PA →，得y 2＝3y 1.③ 由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2. 不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2 3 ，则 所求圆的圆心为? ?? ?? －13，0.又B (0,1)， ∴圆的半径r ＝10 3 . ∴圆的方程为? ????x ＋132＋y 2 ＝109. 2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求实数a 的取值范围； (2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x . 依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0. 当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件． 故实数a 的取值范围是[0,1]． (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. ②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0. 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. （1）若0a =，求()f x 极值； （2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 （1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值. （2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a f -??> ??? ，再由()00f <，可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 （1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-． 当x 变化时，() f x '，()f x 的变化情况如下表： 故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+''，()1 002 f b -'=-<， 所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=， 当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点． 当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+． 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? ． 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???． 因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点． 综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】 函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值． 解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1． 故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)， 令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ， 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0， 所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点． 设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。 一、圆锥曲线中的定值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率 为m，证明2m－k为定值． y2 b2＝ 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． y2 b2＝ 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证 y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在 C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （Ⅰ）求双曲线C的方程； |NF| 定值，并求此定值． 二、圆锥曲线中的最值问题 y2 b2＝ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． ★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． y2 b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦 y2 b2＝1的左、右焦点分 （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形AP B Q面积的最小值． 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值． 49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2 一、解答题 1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-用好零点”,证明函数不等式 高考数学压轴题之函数零点问题
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