专题03 直击函数压轴题中零点问题(解析版)
一、解答题
1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2
1f x x bx b R =-+∈，()()()
,0,0f x x F x f x x ?>?
=?
->??.
（1）如果()10f =，求()F x 的解析式；
（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）()2221,0
21,0
x x x F x x x x ?-+>=?-+-
[),22,k ∈-∞-+∞
【解析】（1）因为()10f =，所以110b -+=，即2b =.
所以()22
21,0
21,0x x x F x x x x ?-+>=?-+-
. （2）因为()2
1f x x bx =-+为偶函数，所以0b =，即()2
1f x x =+.
因为()()g x f x kx =-有零点，所以方程210x kx +-=有实数根. 所以240k ?=-≥， 所以(]
[),22,k ∈-∞-+∞.
2．（2020·全国高三专题练习）已知函数3
()sin f x x x =-，()f x '为()f x 的导函数.
（1）求()f x 在0x =处的切线方程；
（2）求证：()f x '在,22ππ??
- ???
上有且仅有两个零点.
【答案】（1）y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2
cos 3,f x x x '=-()01f '=，
又()00f =，所以切点为()0,0.
故()f x 在0x =处的切线方程为y x =；
（2）2()cos 3,f x x x '=-因为()f x '
为偶函数，且()01f '=，
则只需证明()f x '在0,
2π??
??
?
上有且仅有一个零点即可.
()sin 6f x x x ''=--，
当0,
2x π??
∈ ??
?时()0f x ''<， 故()f x '
在0,
2π??
??
?
上单调递减， 因为()010f '=>，2
3022f ππ????'=-?< ? ?????
， 由零点存在定理，可知存在00,
2x π?
?
∈ ??
?
使得()00f x '=， 所以()f x '在0,
2π??
??
?
上有且仅有一个零点， 因此()f x '在,22ππ??
- ???
上有且仅有两个零点.
3．（2020·安徽省高三期末）已知函数1
()(2)x
f x e a x x
=++
+在区间(1,0)-内存在零点． （1）求a 的范围； （2）设22
e
a >
，1
221,()x x x x <是()f x 的两个零点，求证：122x x -<． 【答案】（1）0a >（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，方程1
e (2)0x a x x
++
+=在区间(1,0)-有解， 即方程2e (1)0x x a x ++=在区间(1,0)-有解，
设函数2()e (1)x g x x a x =++，即g()x 在区间(1,0)-存在零点． 因为()(1()e )2x g x x a '=++，
①若0a >，则e 20x a +>，10x +>，()0g x '>成立，
g()x 在区间(1,0)-单调递增，
(0)0g a =>，1
(1)0e g -=-<，(0)(1)0g g ?-<，
所以g()x 在区间(1,0)-存在零点；
②若0a =，则()e 0x g x x '=<，g()x 在(1,0)-内单调递减，
且()(0)0g x g a >==，所以g()x 在区间(1,0)-无零点； ③若0a <，则e 0x x <，2(1)0a x +<， 当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()(1)0g x g <-< 故g()x 在区间(1,0)-无零点； 综上所述，0a >． （2）由（1）可知，
2
2
e a >
时，g()x 在区间(,1)-∞-单调递减，在区间(1,)-+∞单调递增， 且g()x 在区间(1,0)-存在一个零点； 又22
(2)0e
g a -=-
+>，(2)(1)0g g -?-<， 所以g()x 在区间(2,1)--也存在一个零点， 从而2120x x -<<<， 所以122x x -<，不等式得证．
4．（2020·安徽省高三月考）已知函数()()()3211
1323
a f x x a x x a R =-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]0,2上零点的个数. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】（1）∵()()3211
1323
a f x x a x x =
-++-， ∴()()()2
1111f x ax a x a x x a ??'=-++=-- ??
?，
因为1a >，所以1
01a
<
<， 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
由表可得当1
x a
=时，()f x 有极大值，且极大值为
2
212316a a f a a -+-??= ???
，
当1x =时，()f x 有极小值，且极小值为()()1
116
f a =--. （2）由（1）得()()11f x a x x a ??=-- ?'??
． ∵ 01a <<，∴1
1a
>. ① 当
11
202
a a ≥<≤，即时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上递减 又因为()()()()()111
00,110,2210363
f f a f a =-
=--=-≤ 所以()f x 在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以()[]
0,2f x 在上有两个零点．
② 当1
12a <
<，即112a <<时，()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ?? ???上递减，在1,2a ?? ???
上递增， 又因为()()()()()2
21111100,110,0366a a f f a f a a ---??=-=--=> ???
所以()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，在[]
1,2上没有零点， 所以在[]0,2上有且只有只有一个零点. 综上：当1
02
a <≤时，()f x 在[]0,2上有两个零点； 当
1
12
a <<时，()f x 在[]0,2上有且只有一个零点． 5．（2020·四川省棠湖中学高三月考）已知设函数()ln(2)(1)ax
f x x x e =+-+.
（1）若0a =，求()f x 极值；
（2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点.
【答案】（1）()f x 取得极大值0，无极小值（2）见证明
【解析】（1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1
02
x f x x +'=-
=+得1x =-．
当x 变化时，()
f x '， ()f x 的变化情况如下表：
故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1
e 112
ax f x a x x ??=
-++?+'?，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()()
()2
1
e 1202ax
f x a a x x ??=-
-++?+'
'， ()f x '在()1,-+∞单调递减．
因为()11e
0a
f --=->'，()1
002
f b -'=-<，
所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=，
当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点．
当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e
11ax
ax a x -≥-+>-+．
所以()()()()())
e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax
f x x x x a x -???=+-+>-+++???
． 于是11111
11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a
f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ????????????????
???．
因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -??
+∞ ???
存在零点．
综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点．
6．（2020·湖南省高三期末）已知函数2
()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .
（1）若1
2a =
，求函数()f x 的所有零点； （2）若1
2
a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.
【答案】(1) 1x = (2)见证明 【解析】（1）当1
a 2=
时，()()2172ln 422
f x x x x x =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，
且()2
ln 3f x x x x =+
+-'． 设()2
ln 3g x x x x
=++-，
则()()()2222
211221x x x x g x x x x x +-+-='=-+= 0x ．
当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1x =时取等号）． 即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点. 因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点. 所以若1
2
a =
，则函数()f x 的所有零点只有1x =． （2）证法1：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+-． 当12a ≥
时，()2
ln 3f x x x x
≥++-'，
由（1）知2
ln 30x x x
+
+-≥． 即当0x >时()0f x '≥，
所以()f x 在()0,∞+上单调递增． 所以()f x 不存在极值．
证法2：因为()()2
2ln 47f x x x ax x a =++-+，
函数()f x 的定义域为()0+∞，
，且()2
ln 24x f x x ax x
++'=+-． 设()2
ln 24x m x x ax x
+=+
+-， 则()222
1222
2ax x m x a x x x
+-=-+=' 0x ．
设()()2
220h x ax x x =+-> ，则()m x '与()h x 同号． 当12
a ≥
时，由()2
220h x ax x =+-=，
解得10x =
<
，20x =>．
可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>， 所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 由（1）知2
ln 30x x x
+
+-≥． 则()()()222222
2
ln 321210f x x x a x a x x =+
+-+-≥-≥'． 所以()()20f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增． 所以()f x 不存在极值．
7．（2020·河北省高三期末）已知函数()1
1
x
x f x e x +=-
-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；
（Ⅱ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x
y e =在点(
)0
0,x A x e
处的切线也是曲线ln y x =的切线.
【答案】（Ⅰ）()f x 在(),1-∞，()1,+∞单调递增，证明见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为()
(),11,-∞+∞，
因为()()
2
2
01'x e x f x =+
>-，所以()f x 在(),1-∞，()1,+∞单调递增.
因为()2
12103f e --=
<，()110f e
-=>，所以()f x 在(),1-∞有唯一零点1x ， 因为1
2532f e ??
???
=-，由3322.8225e <<<，得
302f ??
< ???
； 因为()2
230f e =->，所以()f x 在()1,+∞有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.
（Ⅱ）由题设知()00f x =，即0
001
1
x x e x +=
-， 由x y e =，得'x
y e =，曲线x y e =在(
)0
0,x A x e
处的切线1
l 为：
()000x x y e x x e =-+，即()0001x x y e x e x =+-.
由ln y x =，得1'y x
=
，则曲线ln y x =的斜率为0e x 的切线的切点横坐标x 满足01x
e x =，解得0x x e -=，
代入ln y x =，得0
0ln x y e
x -==-，
故曲线ln y x =的斜率为0e x 的切线2l 方程为()0
x x y e x e x -=--，即()0
01x y e
x x =-+，
由0
0011
x x e
x +=
-，得()()00011x
e x x -=-+，从而1l 与2l 为同一条直线. 8．（2020·重庆高三月考）已知函数()ln
f x x ax a =-+（a 为常数）的最大值为0. （1）求实数a 的值；
（2）设函数3
()(1)ln ()1F x m x x f x e
=--+-
，当0m >时，求证：函数()F x 有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），且121x x e e --<-.
【答案】（1）1a =（2）见解析
【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，1()ax
f x x
-'=
当0a ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值；
当0a >时，令1()0ax
f x x '
-=
>，即(1)0x ax -<，解得10x a
<<， 所以函数()f x 在1
(0,)a
上单调递增，1(,)a +∞上单调递减，
max 11()()ln 10f x f a a a ==-+=，易知函数1
ln y a
=与函数1y a =-的图像相交于点(1,0)，所以方程
1
ln 10a a
-+=的解为1a =； （2）3
()(1)ln ln F x m x x x x e
=--+-
2
111
()(ln 1)1()mx m F x m x F x x x x -++'''=++-+?=
当0m >时()0F x ''>，则()F x '
在(0,)+∞上单调递增，
又因为()10F '=，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
又()1031e F =-<，112()(1)10F m e e e =-+->，23
()(1)0e e F e m e e
--=-+>
所以函数()F x 有两个不同的零点11
(,1)x e ∈，2(1,)x e ∈，故211x x e e
-<-
. 9．（2020·安徽省高三期末）已知函数()()2e 12e x x
f x a a x =+--.
（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）()()()()
22e 12e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.
因为0a <，由()0f x '=得，0x =或1ln 2x a ??
=- ???
.
i ）1ln 02a ??
-< ???即12
a <-时，()f x 在1,ln 2a ????-∞- ? ?????单调递减，在1ln ,02a ????- ? ?????单调递增，在()0,∞+单
调递减；
ii ）1ln 02a ??
-= ???即12
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；
iii ）1ln 02a ??
-> ???即102
a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ????- ? ?????单调递增，在1ln ,2a ????-+∞ ?
?????
单调递减. （2）由（1）知，1
2
a <-
时，()f x 的极小值为111ln 1ln 10242f a a a ??????-=--->> ? ? ???????
，
1
02
a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>， 1
2
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调，
故0a <时，()f x 至多有一个零点.
当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.
要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.
令()()()F x f x f x =--，（0x >），则()()()F x f x f x '''=+-()()
22e 12e 1x x
a a =+--
()()22e 12e 1x x a a --++--()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在0x >时单调递增，
()()00F x F >=，()()f x f x >-.
不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<， ()()()122f x f x f x =>-. 由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<.
10．（2020·新疆维吾尔自治区高三月考）已知函数221()ln ()x f x a x a R x
-=-∈
（1）若0a >时，讨论()f x 的单调性；
（2）设()()2g x f x x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）a e >
【解析】（1）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，且2
2
21
()x ax f x x
'
-+=， 对于222108x ax a -+=?=-，，又0a >，
①若0a <≤0,
()0f x '?≤≥，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数；
②若a >()0f x '=，得120,0x x =>=>,
()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上是增函数，在()12,x x 上是减函数.
（2）由1
()ln g x a x x
=-
-， ∴定义域为(0,)+∞且222111()a ax ax g x x x x x
'--=
-=-= ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，则()g x 至多有一个零点，不符合题意； ②当0a >时，()0g x '=得1x a
=
， ()g x ∴在10,a ?? ???上单调递增，在1,a ??
+∞ ???上单调递减
max 1()ln g x g a a a a ??
∴==-+ ???
∴要使()g x 有两个零点，则ln 0a a a -+>，由0a >解得a e >
此时1
1,(1)10g a
>
=-< 易知当a e >时()211
,,ln a
a
a a a a e a e
g e a e e a a e ----><
=--=-+， 令2
(),(,),
()2x x m x e x x e m x e x '=-∈+∞=-，
令()2x h x e x =-，所以()2x
h x e '
=-，
(,)x e ∴∈+∞时()0h x '<，()m x '∴在(,)x e ∈+∞为增函数，2()()20m x m e e e ''>=-> ()m x ∴在(,)x e ∈+∞为增函数，2()()0e m x m e e e >=->，所以()2,0a a e a g e -><
∴函数()g x 在1,a e a -?
? ??
?与1,1a ?? ???各存在一个零点
综上所述，a e >.
11．（2020·全国高三专题练习）已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当1
2
a =
时，证明：()0f x ； （2）若()f x 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）()
1,0,.2??
-∞+∞????
.
【解析】（1）当12
a =
时，()2
1cos 12f x x x =+-，
所以()f x 的定义域为R ,且()(),f x f x -=故()f x 为偶函数． 当0x 时,()sin f x x x '=-+，
记()()sin g x f x x x '==-+，所以()cos 1g x x '=-+． 因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增， 即()f x '在[)0,+∞上单调递增， 故()()00f x f ''≥=，
所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=， 因为()f x 为偶函数,所以当x ∈R 时,()0f x ≥.
（2）①当0a =时，()cos 1f x x =-，令cos 10x -=，解得()2x k k =π∈Z ， 所以函数()f x 有无数个零点，不符合题意；
②当0a <时，()22
cos 10f x x ax ax =+-≤≤，当且仅当0x =时等号成立，故0a <符合题意；
③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 又因为()00f =，故0x =是()f x 的零点.
当0a >时，()sin 2f x x ax '=-+，记()()sin 2g x f x x ax '==-+，则()cos 2g x x a '=-+. 1）当1
2
a ≥
时，()cos 2cos 10g x x a x '=-+≥-+≥， 故()g x 在()0,∞+单调递增，故当0x >时，()()00.g x g >=即()0f x '>， 故()f x 在()0,∞+单调递增，故()()00.f x f >= 所以()f x 在()0,∞+没有零点.
因为()f x 是偶函数,所以()f x 在R 上有且只有一个零点.
2）当1
02a <<
时，当(]0,2x π∈时，存在10,2x π??∈ ???
，使得1cos 2x a =，且当10x x <<时，()g x 单调递减，故()()00g x g <=，
即()10,x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()10,x 单调递减，()()100f x f <=， 又()()2
22cos 22140f a a π=π+π-=π>，所以()()120f x f π<，
由零点存在性定理知()f x 在()1,2x π上有零点，又因为0x =是()f x 的零点， 故1
02
a <<
不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为()
1,0,.2??-∞+∞????
12．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅰ）设，则，只有一个零点．
（Ⅱ）设，则当时，
；当
时，
．所以在单调递
减，在单调递增． 又
，
，取满足
且
，则
，
故
存在两个零点．
（Ⅲ）设，由得或
．
若
，则，故当时，
，因此
在
单调递增．又当时
，所以
不存在两个零点．
若
，则
，故当
时，；当
时，．因此
在单调递减，在
单调递增．又当
时，
，所以
不存在两个零
点．
综上，的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设
，由（Ⅰ）知，
，在单调递减，
所以等价于，即．
由于
，而
，所以
．
设，则．
所以当时，
，而，故当时，
．
从而
，故
．
13．（2020·广东省执信中学高三月考）已知函数()()1x
f x alnx x e =--，其中a 为非零常数．
()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；
()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()
f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．
【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，
()2x x
a a x e f x xe x x
-=-=
'， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点； ②当0a >时，令()2x
g x a x e =-，
则由于()g x 在[
)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(
10a
a
g a a ae
a e
=-=-<，
所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，
所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.
综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；
()2证明：()i 由()1知()2x
a x e f x x
-'=
．
令()2x
g x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，
所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．
令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1
'10h x x
=-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，
从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-． 从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna
f lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=
又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．
()ii 由题意，()()0100f x f x ?=??='??即()0
12011010x x a x e alnx x e ?-=?
?--=??
，
从而()0120111x
x x e lnx x e =-，即10
1120
1x x x lnx e x --=
． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，
故
10
1120
11x x x e x x --<-，即102
0x x e x -<， 两边取对数，得10
2
0x x lne
lnx -<，
于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．
14．（2020·河南省高三开学考试）已知函数()ln 2f x x x a =-+（a R ∈）. （1）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围
（2）证明：1212ln ln 22x x x x e -+?
?-≥++ ??
?
【答案】（1）()1ln 2,++∞；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意，函数()ln 2f x x x a =-+的定义域为()0,∞+，
令()ln 20f x x x a =-+=，则2ln a x x =-， 记()2ln g x x x =-，0x >， 则()121
2x g x x x ='-=-，令()0g x '=，得12
x =， 当10,
2x ?
?
∈ ???
时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1,2x ??
∈+∞
???
时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 有最小值，且为11ln 22g ??
=+
???
， 又当0x →时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞，
所以要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y a =有两个不同的交点， 则1ln 2a >+，即实数a 的取值范围为()1ln 2,++∞.
（2）由（1）知，函数()g x 有最小值为11ln 22g ??
=+ ???
，可得2ln 1ln 2x x -≥+， 当且仅当1
2
x =
时取等号， 因此要证明1212ln e ln 22x x x x -+?
?-≥++ ???，
即只需要证明121e 12x x -+?
?+≤ ??
?，
记()121e 2x x x ?-+??=+ ???，则()11221e e 2x x x x ?-+-+??'=-+ ???1
21e 2x x -+??
=- ???
，
令()0x ?'=，得1
2
x =. 当10,
2x ??
∈ ???
时，()0x ?'>，()x ?单调递增， 当1,2x ??
∈+∞
???
时，()0x ?'<，()x ?单调递减，
所以()11
22
111e
1222x ??-+????≤=+= ? ?????
， 即121e 12x x -+?
?+≤ ???恒成立，当且仅当12x =时取等号，
所以1212ln e ln 22x x x x -+?
?-≥++ ??
?，当且仅当12x =时取等号.
用好零点”,证明函数不等式 高考数学压轴题之函数零点问题
“用好零点”，证明函数不等式 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围；
若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当 时，证明： （其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f （x ）=lnx+a （x ﹣1）2 （a ＞0）． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）若f （x ）在区间（0，1）内有唯一的零点x 0，证明：． 5. 已知函数f （x ）=3e x +x 2 ，g （x ）=9x ﹣1． （1）求函数φ（x ）=xe x +4x ﹣f （x ）的单调区间； （2）比较f （x ）与g （x ）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f （x ）=lnx ﹣x+1，函数g （x ）=ax?e x ﹣4x ，其中a 为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求证：g （x ）﹣2f （x ）≥2（lna ﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数 的最大值 为. （1）求实数的值； （2）若 ，证明： . 8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数)， ． (I)记，讨论函单调性； (II)令 ，若函数G(x )有两个零点． (i)求参数a 的取值范围； (ii)设 的两个零点，证明 ． 9．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 0e x e - -<<. 10．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈
专题复习之--函数零点问题
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一
类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值
高中数学专题练习-函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
函数导数压轴题隐零点的处理技巧
函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值． 解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1． 故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)， 令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ， 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0， 所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点． 设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。
复合函数零点问题专题训练
复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
专题03 直击函数压轴题中零点问题(解析版)
一、解答题 1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-
函数与导数压轴题中零点问题
导数压轴题零点问题练习题 一、解答题 1．（2020·省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，数k 的取值围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得
，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+
(完整版)导数压轴题分类(6)---函数的隐零点问题(含答案)
导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题 任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。 例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ，，且21x x ＜，则（ ） A.)(1x f ＞0，)(2x f ＞21- B. )(1x f ＜0，)(2x f ＜2 1- C. )(1x f ＞0，)(2x f ＜21- D . )(1x f ＜0，)(2x f ＞21- 例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。 k 的最大值=2 任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x x x f -=. （Ⅰ）求函数)(x f 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线x x y ln = 存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标0y ＜1- 提示解析：（Ⅰ）函数)(x f 的零点为x e =，单调减区间32(0,)e ；单调增区间32(,)e +∞； （Ⅱ）x x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6，于是020 1ln 6x x -=，即2001ln 60x x --=，令2()1ln 6f x x x =--为增函数，易判断所以01(,1)2x ∈，所以20000000 ln 1616x x y x x x x -===-为减函数，所以0001 2|231x y y =<=-=-
函数零点问题专题
函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-
专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数 ．若g （x ）存在2个零 点，则a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数． （1）若，证明：当时， ； （2）若 在 只有一个零点，求． 类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数． （1）若，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． 类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式 例4.【2017课标II ，理】已知函数()2 ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥. (1)求a ； (2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 202e f x --<<. 类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系 例5.【2016高考新课标1理】已知函数2 ()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；
高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数
高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
专题含参函数的零点问题
含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2 ＋ax (a ∈R)，g (x )＝? ?? ?? f x ， x ≥0， f ′x ， x <0. 若方程g (f (x ))＝ 0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4 －x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2 ＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝ g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝?? ? 2x －1， x ≥2， 2， 1≤x <2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则 实数a 的取值范围为________．
2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ， －x －1， x 0， 若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有 且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________．
专题3 直击函数压轴题中零点问题
一、解答题1．已知函数()() ()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：312 0e x e --<<. 2．设函数f (x )＝x 2 ＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12?? ??? 内存在唯一零点；(2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围．3．已知函数()()2 10f x ax mx m a =++-≠. （1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数； （2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围；（3）已知12,x x R ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()121 2f x f x f x ??=+? ?在区间()12,x x 上有实数根. 4．已知函数()2 ln f x a x bx =-图象上一点()() 2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++. (1)求,a b 的值; (2)若方程()0f x m +=在1,e e ????? ? 内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 2.71828= 为自然对数的底). 5．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈（I ）若a e =，函数()()2g x e x =-①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间②若函数()()(),{ ,f x x m F x g x x m ≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围 （II ）若存在实数[] 12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：2 1e a e e -≤≤-6．已知函数()1x x f x ax e = -+.（1）当1a =时，求()y f x =在[] 1,1x ∈-上的值域；（2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.7．已知函数()1ln f x ax x =-+（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围； （2）在（1）中，a 取最小值时，设函数()()() ()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182?? ???? ，上恰有
2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理
专题03 直击函数压轴题中零点问题 一、解答题 1．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 e x e --<<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110, 2x x ??=∈ ??? ，于是： ()2 0010lnx a x +-= ①，2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x --=，设g (x )＝lnx ?1 2x x -，(x ∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． （2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，
且0110, 2x x ?? =∈ ??? . 于是： ()2 0010lnx a x +-= ① 2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x -- =，设()()()1 ln ,0,12x g x x x x -=-∈， 则()2212x g x x '-= ，因此()g x 在10,2?? ??? 上单调递减， 又3 32 2 402e g e -??-=> ??? ， ()11 302e g e ---=< 根据零点存在定理，故3 12 0e x e --<<. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f (x )＝x 2 ＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12?? ??? 内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(),1-∞ 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f (x )在区间1,12?? ??? 单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： 2 b x x <- ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范围．
复合函数零点问题专题
复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出
()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6