高中数学选择填空压轴题—函数零点问题

用好零点”,证明函数不等式 高考数学压轴题之函数零点问题

“用好零点”，证明函数不等式 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围；

若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当 时，证明： （其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f （x ）=lnx+a （x ﹣1）2 （a ＞0）． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）若f （x ）在区间（0，1）内有唯一的零点x 0，证明：． 5. 已知函数f （x ）=3e x +x 2 ，g （x ）=9x ﹣1． （1）求函数φ（x ）=xe x +4x ﹣f （x ）的单调区间； （2）比较f （x ）与g （x ）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f （x ）=lnx ﹣x+1，函数g （x ）=ax?e x ﹣4x ，其中a 为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）求证：g （x ）﹣2f （x ）≥2（lna ﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数 的最大值 为. （1）求实数的值； （2）若 ，证明： . 8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设(e 为自然对数的底数)， ． (I)记，讨论函单调性； (II)令 ，若函数G(x )有两个零点． (i)求参数a 的取值范围； (ii)设 的两个零点，证明 ． 9．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 0e x e - -<<. 10．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈

专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”，证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求，应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数． （1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围； （2）求证：时，． 类型二设而不求，应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，） （1）讨论的单调性； （2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：． 类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个相异零点，求证：. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数． (1)判断的单调性； (2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1． 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一

类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”． 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数， （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点、，求证：． 2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点． 求实数a的取值范围； 若函数的两个零点分别为，，求证：． 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）． 4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：． 5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值

函数导数压轴题隐零点的处理技巧

函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值． 解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1． 故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)， 令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ， 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0， 所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点． 设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。

专题03 直击函数压轴题中零点问题(解析版)

一、解答题 1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-

函数与导数压轴题中零点问题

导数压轴题零点问题练习题 一、解答题 1．（2020·省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，数k 的取值围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-

(完整版)导数压轴题分类(6)---函数的隐零点问题(含答案)

导数压轴分类（6）---函数的隐零点问题 任务一、完成下面问题，总结隐零点问题的解题方法。 例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ，，且21x x ＜，则（ ） A.)(1x f ＞0，)(2x f ＞21- B. )(1x f ＜0，)(2x f ＜2 1- C. )(1x f ＞0，)(2x f ＜21- D . )(1x f ＜0，)(2x f ＞21- 例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。 k 的最大值=2 任务二、完成下面问题，体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x x x f -=. （Ⅰ）求函数)(x f 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线x x y ln = 存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标0y ＜1- 提示解析：（Ⅰ）函数)(x f 的零点为x e =，单调减区间32(0,)e ；单调增区间32(,)e +∞； （Ⅱ）x x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6，于是020 1ln 6x x -=，即2001ln 60x x --=，令2()1ln 6f x x x =--为增函数，易判断所以01(,1)2x ∈，所以20000000 ln 1616x x y x x x x -===-为减函数，所以0001 2|231x y y =<=-=-

专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数 ．若g （x ）存在2个零 点，则a 的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数． （1）若，证明：当时， ； （2）若 在 只有一个零点，求． 类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数． （1）若，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． 类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式 例4.【2017课标II ，理】已知函数()2 ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥. (1)求a ； (2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 202e f x --<<. 类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系 例5.【2016高考新课标1理】已知函数2 ()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得

，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+

专题3 直击函数压轴题中零点问题

一、解答题1．已知函数()() ()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：312 0e x e --<<. 2．设函数f (x )＝x 2 ＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12?? ??? 内存在唯一零点；(2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围．3．已知函数()()2 10f x ax mx m a =++-≠. （1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数； （2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围；（3）已知12,x x R ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()121 2f x f x f x ??=+? ?在区间()12,x x 上有实数根. 4．已知函数()2 ln f x a x bx =-图象上一点()() 2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++. (1)求,a b 的值; (2)若方程()0f x m +=在1,e e ????? ? 内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 2.71828= 为自然对数的底). 5．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈（I ）若a e =，函数()()2g x e x =-①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间②若函数()()(),{ ,f x x m F x g x x m ≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围 （II ）若存在实数[] 12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：2 1e a e e -≤≤-6．已知函数()1x x f x ax e = -+.（1）当1a =时，求()y f x =在[] 1,1x ∈-上的值域；（2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.7．已知函数()1ln f x ax x =-+（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围； （2）在（1）中，a 取最小值时，设函数()()() ()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182?? ???? ，上恰有

2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理

专题03 直击函数压轴题中零点问题 一、解答题 1．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3 12 e x e --<<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110, 2x x ??=∈ ??? ，于是： ()2 0010lnx a x +-= ①，2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x --=，设g (x )＝lnx ?1 2x x -，(x ∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． （2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，

且0110, 2x x ?? =∈ ??? . 于是： ()2 0010lnx a x +-= ① 2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x -- =，设()()()1 ln ,0,12x g x x x x -=-∈， 则()2212x g x x '-= ，因此()g x 在10,2?? ??? 上单调递减， 又3 32 2 402e g e -??-=> ??? ， ()11 302e g e ---=< 根据零点存在定理，故3 12 0e x e --<<. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f (x )＝x 2 ＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12?? ??? 内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(),1-∞ 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f (x )在区间1,12?? ??? 单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： 2 b x x <- ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范围．

【通用版】2020高考数学突破专题《直击函数压轴题中零点问题》

2020【通编版】高考数学专题突破 《直击函数压轴题中零点问题》 一、解答题 1．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：3 12 0e x e --<<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110,2x x ?? =∈ ???，于是：()2 0010lnx a x +-=①，2002210ax ax -+=② 由①②得 000 1ln 0 2x x x -- =，设g(x)＝lnx ?12x x -，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函 数的单调性证明即可． （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且 0110,2x x ?? =∈ ? ?? Z&X&X&K]

于是： ()2 0010 lnx a x +-=① 2002210 ax ax -+= ② 由①②得 0001ln 02x x x -- =，设()()()1ln ,0,12x g x x x x -=-∈， 则 ()221 2x g x x '-= ，因此()g x 在10,2?? ???上单调递减， 又3 3 2 2 402e g e -??-=> ???，()11302e g e ---=< 根据零点存在定理，故 31 2 0e x e - -<<. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f(x)＝x2＋bx －1(b ∈R)． (1)当b ＝1时证明：函数f(x)在区间1,12?? ? ??内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） (),1-∞ 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间1,12?? ? ??单 调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为 对应函数最值问题：2 b x x < - ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范 围．

专题04 “用好零点”,确定参数的最值或取值范围-2121年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题四“用好零点”，确定参数的最值或取值范围 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数. （1）若是的极大值点，求的值； （2）若 在 上只有一个零点，求的取值范围. 例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），. （1）当时，求函数的极小值； （2）若当 时，关于的方程 有且只有一个实数解，求的取值范围. 例3.已知函数()()ln 1ax f x e x =+，其中a R ∈.（1）设()()ax F x e f x -='，讨论()F x 的单调性； （2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围.例4．【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数． 若函数在 处的切线与直线 垂直，求实数a 的值； 讨论函数的单调区间与极值； 若函数 有两个零点，求满足条件的最小整数a 的值． 【规律与方法】 根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

专题：函数隐性零点问题

函数隐性零点问题 近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。 函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 1.不含参函数的隐性零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 2.含参函数的隐性零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 题型一 求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1-+x e x +x ，则g′（x ）=2 )1()2(---x x x e x e e ，而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）

函数压轴题中的零点问题

函数压轴题中的零点问题 【真题感悟】 例1.（2015年江苏高考）已知函数 . （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数c 是a 与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是 ，求c 的值. 例2. （2013年江苏高考）设函数()ln f x x ax =?，()x g x e ax =?，其中a 为实数. （1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求的取值范围； （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论. 例3. （2012年江苏高考）若函数 在处取得极大值或极小值，则称为函数 的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求和的值； （2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设，其中，求函数的零点个数． a ()g x (1,)?+∞()f x a b ，1?()32f x x ax bx =++a b ()()()h x f f x c =?[]22c ∈?， ()y h x =

【典题导引】 命题规律：函数的零点问题是高考的重点和难点内容，题型以解答题为主，有时也在填空题中出现。和函数、方程有着密切的联系，需要我们熟悉函数的图象与性质，需要我们理解函数与方程等思想。其中函数的零点、方程的根、曲线的交点三个问题可以互相转化。 主要有以下命题角度： （1）判断函数零点个数或方程解的个数； （2）根据函数零点个数或方程解的个数求解参数； （3）已知函数零点范围或整数零点等求解参数。 方法总结：在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断这个区间上零点的个数。 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式： (1) 确定函数的零点、图象交点的个数； (2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围． （1） 当a =2时，求函数f(x)的零点； （2） 当a >0时，求证：函数f(x)在内有且仅有一个零点； （3） 若函数f(x)有四个不同的零点，求a 的取值范围。 2. 已知函数f(x)＝a x 2－x －ln x ，a ∈R . (1) 若－1≤a ≤0，求证：函数f(x)有且只有一个零点； (2) 若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围． ），（∞+0

专题03直击函数压轴题中零点问题(教师用) 高三数学(理)特色强化训练

一、解答题 1．（2020·湖南省高三考试）设函数()()21f x x bx b R =-+∈，()()(),0,0f x x F x f x x ?>?=?->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式； （2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()2221,021,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-

高中数学压轴题系列——导数专题——隐零点问题.docx

高中数学压轴题系列——导数专题——隐零点问题 1.（2012?新课标）设函数 f （x） =e x﹣ ax﹣2． （Ⅰ）求 f （x）的单调区间； （Ⅱ）若 a=1， k 为整数，且当 x＞ 0 时，（x﹣k）f ′（x）+x+1＞0，求 k 的最大 值．解：（I）函数 f（ x）=e x﹣ax﹣2 的定义域是 R，f ′（x）=e x﹣a， 若a≤0，则 f ′（x）=e x﹣a≥0，所以函数 f（x）=e x﹣ax﹣ 2 在（﹣∞， +∞）上单调递增． 若a＞0，则当 x∈（﹣∞， lna）时， f ′（ x） =e x﹣ a＜ 0； 当 x∈（lna，+∞）时， f ′（x）=e x﹣a＞0； 所以， f（ x）在（﹣∞， lna）单调递减，在（ lna ，+∞）上单调递 增．（II）由于 a=1，所以，（x﹣k） f ′（ x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1） +x+1 故当 x＞ 0 时，（x﹣k） f ′（ x）+x+1＞0 等价于 k＜（x＞0）① 令 g（x）=，则g′（x）= 由（ I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=e x﹣x﹣2 在（ 0，+∞）上单调递增， 而 h（ 1）＜ 0， h（2）＞ 0， 所以 h（x） =e x﹣ x﹣ 2 在（ 0，+∞）上存在唯一的零点， 故 g′（ x）在（ 0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当 x∈（0，α）时， g′（x）＜ 0；当 x∈（α，+∞）时， g′（x）＞ 0； 所以 g（ x）在（ 0，+∞）上的最小值为g（α）． 又由 g′（α）=0，可得 eα=α+2 所以 g（α）=α+1∈（2， 3） 由于①式等价于k＜g（α），故整数 k 的最大值为 2． 2.（2013?新课标Ⅱ）已知函数 f（x）=e x﹣ln（ x+m） （Ι）设 x=0 是 f （x）的极值点，求 m，并讨论 f（ x）的单调性； （Ⅱ）当 m ≤2 时，证明 f （x）＞ 0． 【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0 是 f（x）的极值点，∴，解得 m=1．所以函数 f （x）=e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣ 1，+∞）． ∵． 设 g（x）=e x（x+1）﹣ 1，则 g′（ x） =e x（ x+1）+e x＞0，所以 g（x）在（﹣ 1，+∞）上为增函数，