傅里叶分析教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
Heinrich · 6 个月前
作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生
上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。将以上两图简化：
时域：频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）
第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)
第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没
有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换
一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有
正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接
近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色
排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各
个分量。这些正弦波按照频率从低到高从
前向后排列开来，而每一个波的振幅都是
不同的。一定有细心的读者发现了，每两
个正弦波之间都还有一条直线，那并不是
分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是
说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成
分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分
量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投
影。所以频域的基本单元也可以理解为一个
始终在旋转的圆
知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……
想看动图的同学请戳这里：
File:Fourier series square wave circles
animation.gif
以及这里：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认
不出来了？教科书一般就给到这里然后留给
了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实
教科书只要补一张图就足够了：频域图像，
也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。
动图请戳：
File:Fourier series and transform.gif
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而
是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波 A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定
一个用来标记正弦波位置的东西。在
图中就是那些小红点。小红点是距离
频率轴最近的波峰，而这个波峰所处
的位置离频率轴有多远呢？为了看
的更清楚，我们将红色的点投影到下
平面，投影点我们用粉色点来表示。
当然，这些粉色的点只标注了波峰距
离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不
是相位差。如果将全部周期看作2Pi
或者360度的话，相位差则是时间差
在一个周期中所占的比例。我们将时
间差除周期再乘2Pi，就得到了相位
差。
在完整的立体图中，我们将投影得到
的时间差依次除以所在频率的周期，
就得到了最下面的相位谱。所以，频
谱是从侧面看，相位谱是从下面看。
下次偷看女生裙底被发现的话，可以
告诉她：“对不起，我只是想看看你
的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
四、傅里叶变换（Fourier Transformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，回忆周期不连续，任你ZT、DFT，还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一
个角度理解：傅里叶
变换实际上是对一个
周期无限大的函数进
行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实
并非一个连续的频谱，
而是很多在时间上离
散的频率，但是这样
的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。
我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。
同时，我们获得了一个垂直的
虚数轴。实数轴与虚数轴共同
构成了一个复数的平面，也称
复平面。这样我们就了解到，
乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公
式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于Pi的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式
来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数1和0，虚数i还有圆周率pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：复数的物理意义是什么？
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
光波
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的
频谱，只是并没有了解频谱更重要的
意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱
不仅仅是可见光这样频率范围有限的
叠加，而是频率从0到无穷所有频率
的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两
束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，
而顺时针旋转的我们称为负频率（注意
不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连
续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连
续的螺旋线会是什么样子：
是不是很漂亮？你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是
这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观
看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部
分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
好了，傅里叶的故事终于讲
完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被写下来的
地方你们绝对猜不到在哪，
是在一张高数考试的卷子上。
当时为了刷分，我重修了高
数（上），但是后来时间紧
压根没复习，所以我就抱着
裸考的心态去了考场。但是
到了考场我突然意识到，无
论如何我都不会比上次考的
更好了，所以干脆写一些自
己对于数学的想法吧。于是
用了一个小时左右的时间在
试卷上洋洋洒洒写了本文的
第一草稿。
你们猜我的了多少分？
6分
没错，就是这个数字。而这6
分的成绩是因为最后我实在
无聊，把选择题全部填上了C，
应该是中了两道，得到了这
宝贵的6分。说真的，我很
希望那张卷子还在，但是应
该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
45分
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先讲本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣。…
傅里叶分析报告教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 Heinrich · 6 个月前 作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生
上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ——————————————以上是定场诗—————————————— 下面进入正题： 抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？
MATLAB实验傅里叶分析
实验七 傅里叶变换 一、实验目的 傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分 布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MA TLAB 提供了专门的函数fft 、ifft 、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift 用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft 、ifft 以及fftshift 函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。 二、实验预备知识 1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介 设x (t )是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为 2()() (1)j ft X f x t e dt π∞ --∞ =? 显然X ( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X ( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为： 2()() (2)j ft x t X f e df π∞ -∞ =? 因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。 由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x (t )进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列: δ (t －nT ), n = 0, 1, 2, …, N －1； 可以实现上述目的，如图所示。其中N 为采样点数，T 为采样周期；f s = 1/T 是采样频率。注意采样时，采样频率f s 必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。 接下来对离散后的时域波形()()()()x t x t t nT x nT δ=-=的傅里叶变换()X f 进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的δ脉冲序列： δ ( f －n/T 0), n = 0, 1, 2, …, N －1；T 0= NT 为总采样时间 可以实现傅里叶变换()X f 的离散化，如下图示。不难看出，离散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率) x (t ) δ 脉冲序列 x (t )δ (t －nT ) t t t
(完整版)傅里叶变换分析
第一章 信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？ 信号：随时间变化的物理量； 消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等 信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在t =0点时，不连续）， 单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。 较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？ 冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？ 单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=?
12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时， 输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。 其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。 线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？ 线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则 当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ； 或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。 另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。 假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ， 当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =； 当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+； 当0t <时，若()0h t =， 则此系统为因果系统； 若|()|h t dt ∞ -∞<∞?， 则此系统为稳定系统。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？ 数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。 不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型
傅里叶分析
傅里叶分析 傅里叶分析（FourierAnalysis）是一种分析信号的重要方法，它可以帮助我们研究如何理解、抽象和模型复杂的信号。在很多不同的领域，傅里叶分析已被广泛应用。本文将详细介绍傅里叶分析的基本原理和应用，以及它在各种领域的作用。 1.里叶分析的基本原理 傅里叶分析是一种对信号进行统计特性分析的重要工具，它可以帮助我们理解信号的内容。傅里叶分析的根本思想是将信号表示为由一系列正弦波叠加而成的复杂形式。由正弦波叠加而成的复杂形式，每个正弦波都是一种不同频率的正弦波，它们都被称为频率分量。从傅里叶分析中，我们可以把信号拆分成它的频率特性，即信号各个频率分量的分布。傅里叶分析可以用来确定信号的频谱，从而可以了解信号的特性。 2.里叶分析的应用 傅里叶分析有许多应用，其中最重要的是用于图像处理。图像是一种复杂的信号，可以用傅里叶分析的原理将其表示为一系列的正弦波叠加而成的形式，从而可以更容易地分析图像的特性。 此外，傅里叶分析还可以用于压缩数据，辨认声音，处理脑电波等等。压缩数据时，我们可以通过傅里叶分析将数据拆分为大量低频正弦波，从而节省存储空间。辨认声音时，我们可以通过分析声音的频谱辨别出不同的声音。处理脑电波时，我们可以通过傅里叶分析对脑电波的特征进行深入的研究，从而更好地了解人的大脑状态。
3.里叶分析在不同领域的作用 由于傅里叶分析之所以具有许多优点，它被广泛应用于许多领域中。在医学领域，傅里叶分析被用于分析脑电图，探讨大脑及其功能，以及研究疾病的特征。在信号处理领域，傅里叶分析可以用于压缩数据，提取特征，以及识别声音。在音乐领域，傅里叶分析可以用来研究音乐的音调和节拍，以及辨认不同的乐器声音。在地理学领域，傅里叶分析可以用来分析地球物理现象，如海洋浪潮、地震波等。 4.结 傅里叶分析是一种重要的分析信号的工具，它可以将信号拆分为它的频率特性，即信号各个频率分量的分布。傅里叶分析在许多领域都有应用，包括图像处理、压缩数据、音乐、医学等。它的优点是可以节省存储空间，提取特征，研究音乐、医学等，从而更好地理解、抽象和模型复杂的信号。
傅立叶红外光谱分析操作步骤
傅立叶红外光谱分析操作步骤傅立叶红外光谱仪是利用物质对不同波长的红外辐射的吸收特性，进行分子结构和化学组成分析的仪器。通常由光源，单色器，探测器和计算机处理信息系统组成。 傅里叶红外光谱仪操作步骤 1、开机 首先打傅立叶红外光谱仪的外置电源，稳定半小时，使得仪器能量达到Z佳状态。开启电脑，并打开仪器操作平台OMNIC软件，运行Diagnostic菜单，检查仪器稳定性。 2、傅立叶红外光谱仪制样 根据傅立叶红外光谱仪样品特性以及状态，制定相应的制样方法并制样。固体粉末样品用KBr压片法制成透明的薄片;液体样品用液膜法、涂膜法或直接注入液体池内进行测定。 液膜法是在可拆液体池两片窗片之间，滴上12滴液体试样，使之形成一薄的液膜;涂膜法是用刮刀取适量的试样均匀涂于KBr窗片上，然后将另一块窗片盖上，稍加压力，来回推移，使之形成一层均匀无气泡的液膜;沸点较低，挥发性较大的液体试样，可直接注入封闭的红外玻璃或石英液体池中，液层厚度一般为0.01~1mm。 3、傅立叶红外光谱仪的扫描和输出红外光谱图 将制好的KBr薄片轻轻放在锁氏样品架内，插入样品池并拉紧盖子，在软件设置好的模式和参数下测试红外光谱图。先扫描空光路背
景信号(或不放样品时的KBr薄片，有4个扣除空气背景的方法可供选择)，再扫描样品信号，经傅里叶变换得到样品红外光谱图。根据需要，打印或者保存红外光谱图。 4、傅立叶红外光谱仪关机 ①先关闭OMNIC软件，再关闭仪器电源，盖上仪器防尘罩。 ②在记录本上记录使用情况。 5、傅立叶红外光谱仪清洗压片模具和玛瑙研钵 KBr对钢制模具的平滑表面会产生*的腐蚀性，因此模具用后应立即用水冲洗，再用去离子水冲洗三遍，用脱脂棉蘸取乙醇或丙酮擦洗各个部分，然后用电吹风吹干，保存在干燥箱内备用。玛瑙研钵的清洗与模具相同。
傅里叶分析
傅里叶分析 傅里叶分析是一门数学研究方法，它利用傅里叶变换进行分析，广泛应用于物理学、电子工程、影像处理、信号处理、生物学等领域，是一种功能强大的工具。本文旨在对傅里叶分析进行深入探讨。 傅里叶变换是由法国数学家傅里叶提出的一种新的数学技术，它允许人们可以将不同时间上的信号从时域到频域进行投射变换，从而可以更容易地识别出信号的频率组成。它的应用主要有两个：傅里叶变换的线性特性，可以用来揭示某些信号的内部结构，以及它的非线性特性，可以用于提取信号中的关键特征，从而帮助我们更好地理解信号。 傅里叶变换的线性特性是它的重要优势，可以用于揭示某些信号的内部结构。它可以提取信号中的主要特征，例如频率、振幅和相位，以及相关的概率分布。因此，我们可以利用它来探究信号的统计特性，从而有助于预测其未来发展。此外，傅里叶变换还可以用于去除信号中的噪声，以达到最佳效果。 另外，傅里叶变换也可以用于提取信号中的非线性特征，从而可以更好地理解信号。非线性特性是指信号内部本身的结构特性，例如当信号经过放大器或滤波器之后，它们的幅度会发生变化，具有非线性的特性。它的优势体现在可以捕捉复杂的信号，并将其转换为可解释的特征。 傅里叶变换可以应用于物理学、电子工程、影像处理、信号处理、生物学等领域。物理学方面，它可以帮助科学家更好地理解复杂的物
理过程。在电子工程中，它可以用于信号处理和信号检测，以及航空航天的射电跟踪和定位。在影像处理中，傅里叶变换可以用于图像去噪、图像滤波、图像质量评估等。 此外，傅里叶分析在生物学中也有重要的作用。生物学家可以利用傅里叶分析揭示脑电图、心电图和可视谱等生物信号的特征，从而帮助科学家更好地理解生命科学中复杂的生理过程。 总而言之，傅里叶分析是一个功能强大的数学工具，可以帮助我们更好地理解从物理学到生物学的信号，用于揭示信号的内部结构，以及提取信号的关键特征。它的研究将为信号处理和信号检测技术的发展提供重要支持。它也将为我们了解物理学、电子工程、信号处理、影像处理、生物学等领域所遇到的复杂问题提供必要的帮助。
傅里叶分析
傅里叶分析 傅里叶分析是一项重要的数学方法，它从数学的角度解释了任何 周期性现象的原理。这个方法得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他 在1807年首次提出了这个理论。 傅里叶分析的核心思想是将一个周期性函数分解成一系列具有不 同频率的正弦和余弦函数的和。通过分析这些分量的振幅、频率和相位，可以获得原始周期性函数的详细特征。 这个方法的应用非常广泛，涵盖了许多领域，包括物理学、工程学、信号处理和图像处理等等。在物理学中，傅里叶分析被用于研究 波动现象，如声音和光线的传播。在工程学中，它被应用于电路设计 和通信系统的优化。在信号处理中，傅里叶分析被用于音频和视频的 压缩和解压缩。在图像处理中，它被用于图像的滤波和增强。 傅里叶分析的基本原理是将一个周期性函数表示为周期为T的正 弦和余弦函数的和。数学公式可以表达为： f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)) 其中，f(t)是周期性函数，n是一个正整数，an和bn是系数， ω是角频率，通过关系ω = 2π/T与周期T相联系。a0是直流分量，表示函数在周期内的平均值。这个公式中的每一项都表示一个谐波分量。高频的分量对应着函数的细节，低频的分量对应着函数的整体变化。 为了计算这些系数，可以利用傅里叶级数展开的性质，通过积分 计算得到。具体的计算方法可以参考数学相关的教材和资料。傅里叶 分析的强大之处在于，几乎任何周期性函数都可以通过将其展开成傅 里叶级数来近似表示。这使得我们可以更好地理解周期性现象的本质 和特征。 傅里叶分析在现代科学和工程中的应用非常广泛。在物理学中， 它被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。通过分解波动信号， 可以获得频谱信息，进而了解波动信号的频率分布和强度。这对于研
傅里叶分析
傅里叶分析 傅里叶分析是一种数学方法，它能够分析任意一个函数的变化趋势和特点，并将其表达成一系列的分量和频率，从而使我们可以更深入地分析和了解函数的内在规律。 这种方法的发明要追溯到18世纪，由两位著名的数学家--爱因斯坦和约瑟夫傅里叶，同时发挥了重要作用。这种方法也被许多科学领域所使用，尤其是声学领域，例如有声书、影视音乐等。傅里叶分析的基础是被称为“傅里叶变换”的数学函数。傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的算法，它可以将一个以时间为变量的信号分解成若干个正弦波的简单形式，并计算出各个正弦波的振幅、频率和相位的值。 在说明傅里叶分析的原理和应用之前，我们先了解一下傅里叶变换的定义。在数学上，傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的技术。它是根据常熟变换理论对均匀分布的函数进行变换系数的求解而形成的。傅里叶变换由一系列变换公式组成，每个公式可以将函数中特定幅值频域的分量乘以特定的相位，即按照正弦波或余弦波的振幅在频域中表达。 傅里叶变换开创了一个新的时间，使得原本由有限数量的数据得以完整的表达，而这也成为了傅里叶变换的主要应用之一。一般来说，傅里叶变换的应用以时域数据的分析为主，可用于表示时变的信号，以及研究信号变化依赖于时间的变化趋势。另外，傅里叶变换还被用于频谱分析，可用于研究信号变化依赖于频率的变化趋势。
傅里叶分析能够帮助我们更深入地了解信号变化的规律，从而有效地进行信号处理。例如，我们可以应用傅里叶分析的方法来检测噪声的频率，从而更好地检测到信号中的缺陷，并给出有效的补救方案。此外，傅里叶分析还可以帮助我们更好地模拟信号的变化，提高信号的处理效率。 傅里叶变换和傅里叶分析都是重要的数学方法，可以用于许多不同领域，例如声学、电信、信号处理等。由于这些方法具有极其广泛的应用，有许多专业人士和研究者正在不断寻求新的方法来改善这些方法，以解决越来越棘手的问题。 总之，傅里叶分析是一种非常有用的数学方法，可以用于许多不同的研究领域。它的发明早在18世纪，被爱因斯坦和约瑟夫傅里叶同时发挥了重要作用，无论是在声学领域、电信领域，还是在信号处理领域，傅里叶分析的应用性都是十分明显的。它能够将信号从时域转换到频域，并以其独特的特点来揭示函数的内在规律。因此，傅里叶分析也被称之为“时空转换”方法，其发展有助于我们更好地理解和控制信号的变化，从而获得更多的有用信息。
傅里叶变换红外光谱分析(第三版)
傅里叶变换红外光谱分析（第三 版） 加入书架 登录 •版权信息 •前言 •第一版前言 •第二版前言 •第1章红外光谱的基本概念 •1.1 红外光谱的产生和红外光谱区间的划分 •1.2 分子的量子化能级 •1.3 分子的转动光谱 •1.4 分子的纯振动光谱 •1.5 分子的振-转光谱 •1.6 振动模式 •1.7 振动频率、基团频率和指纹频率 •1.8 倍频峰 •1.9 合（组）频峰 •1.10 振动耦合
•1.11 费米共振 •1.12 诱导效应 •1.13 共轭效应 •1.14 氢键效应 •1.15 稀释剂效应 •第2章傅里叶变换红外光谱学 •2.1 单色光干涉图和基本方程 •2.2 二色光干涉图和基本方程 •2.3 多色光和连续光源的干涉图及基本方程•2.4 干涉图数据的采集 •2.5 切趾（变迹）函数 •2.6 相位校正 •2.7 红外光谱仪器的分辨率 •2.8 噪声和信噪比 •第3章傅里叶变换红外光谱仪 •3.1 中红外光谱仪 •3.2 近红外光谱仪和近红外光谱 •3.3 远红外光谱仪和远红外光谱 •3.4 红外仪器的安装、保养和维护 •第4章傅里叶变换红外光谱仪附件
•4.1 红外显微镜 •4.2 傅里叶变换拉曼光谱附件 •4.3 气红联用（GC/FTIR）附件 •4.4 衰减全反射附件 •4.5 漫反射附件 •4.6 镜面反射和掠角反射附件 •4.7 变温红外光谱附件 •4.8 红外偏振器附件 •4.9 光声光谱附件 •4.10 高压红外光谱附件 •4.11 样品穿梭器附件 •第5章红外光谱样品制备和测试技术•5.1 固体样品的制备和测试 •5.2 液体样品的制备和测试 •5.3 超薄样品的测试 •第6章红外光谱数据处理技术 •6.1 基线校正 •6.2 光谱差减 •6.3 光谱归一化、乘谱和加谱 •6.4 生成直线
傅里叶红外光谱仪使用教程
傅里叶红外光谱仪使用教程 傅里叶红外光谱仪（Fourier Transform Infrared Spectrometer， 简称FTIR）是一种常用的分析仪器，被广泛应用于化学、药学、生物学、环境科学等领域。本文将介绍傅里叶红外光谱仪的使用步骤和注意事项。 一、傅里叶红外光谱仪的工作原理 1.发射：仪器向样品发射一束连续谱的红外光； 2.干涉：红外光经过一个干涉仪，其中一个光束通过样品，另一个光 束直接通过一个参考物质； 3.检测：两个光束合并后进入探测器，探测器测量光强的变化； 4. 记录：探测器输出的信号经傅里叶变换转换成红外光谱，以波数（cm-1）表示。 二、傅里叶红外光谱仪的使用步骤 1.打开傅里叶红外光谱仪的电源，并预热一段时间，一般为10-15分钟。 2.调整样品室：打开样品室门，检查样品盒是否垂直固定在样品台上，并且没有杂质污染。 3.校准仪器：点击软件界面上的“校准”按钮，在校准界面中选择光 源和检测器的校准，按照提示进行校准操作。 4.放置参考物质：点击软件界面上的“参考”按钮，打开参考物质仓，将参考物质放置在样品台上，并按下“关门”按钮。
5.放置样品：点击软件界面上的“样品”按钮，打开样品仓，将需要 测量的样品放置在样品台上，并按下“关门”按钮。 6.开始采集光谱：点击软件界面上的“采集”按钮，光谱仪开始工作，等待一段时间（具体时间根据样品类型确定）后，光谱采集完成。 7. 分析光谱：光谱采集完成后，可以通过软件界面上的一系列工具 对光谱进行分析，比如峰值识别、峰面积 integration、峰位寻找等操作。 8.结果输出：根据需要，将光谱结果导出为图形或数据文件，或直接 通过打印机打印出来。 三、傅里叶红外光谱仪的注意事项 1.样品制备：样品在放置样品台之前，应保持干燥和清洁，避免杂质 干扰测试结果。 2.参考物质的选择：参考物质应与样品有相似的化学性质，且尽量不 会对样品产生干涉或吸收。 3.样品的数量：样品的数量不宜太多，以避免过于复杂的谱图或产生 峰重叠。 4.光谱采集条件：在采集光谱前，应确定适当的光谱采集条件，如光 源强度、扫描速度和累加次数等参数。 5.仪器保养：定期进行仪器的维护保养，如清洁光学元件、调整光源 强度和修正检测器的敏感度等。 通过正确的操作步骤和注意事项，可以保证傅里叶红外光谱仪的正常 使用，得到准确、可靠的测试结果。在实际应用中，用户可以根据具体需 求和样品特性，选择合适的方法和工作条件，以提高测试的准确性和效率。
傅里叶红外光谱仪液体操作步骤
傅里叶红外光谱仪液体操作步骤 傅里叶红外光谱仪是一种用于分析物质的工具，可以通过测量物质在红外光谱范围内的吸收光谱来确定物质的结构和组成。傅里叶红外光谱仪可以广泛应用于有机化合物、聚合物、无机化合物等领域的研究和分析。下面将介绍傅里叶红外光谱仪在液体样品操作中的基本步骤。 一、样品制备 选择适合的溶剂：根据样品的性质选择适合的溶剂，使样品能够溶解在溶剂中，并且不会对傅里叶红外光谱仪的测量产生干扰。 样品准备：将适量的样品称取到干净的试管中，然后加入适量的溶剂，使得样品完全溶解。 二、样品处理 准备样品池：选择适合的样品池，通常是由透明的材料制成，以便红外光能够透过。将样品池清洗干净，并确保表面没有杂质和气泡。 填充样品池：用吸管吸取适量的样品溶液，然后将其缓慢注入样品池中，避免产生气泡和溅出。 定位样品池：将样品池放入傅里叶红外光谱仪的样品室中，并确保样品池与光束对准。
三、仪器设置 打开仪器：按照傅里叶红外光谱仪的使用说明打开仪器，并等待仪器预热一段时间，以确保仪器的稳定性。 设置波数范围：根据需要设定傅里叶红外光谱仪的测量波数范围，通常是从4000到400 cm-1。 调整光源强度：根据样品的性质和浓度，调整傅里叶红外光谱仪的光源强度，以确保获得清晰的光谱。 四、测量样品 调节光束：通过调节仪器上的光束调节器，使得光束能够完全穿过样品池，并且样品池的表面与光束平行。 测量基线：在测量样品之前，先进行基线扫描，以便获得正确的吸收光谱。在扫描时，确保样品池中没有样品，只有溶剂。 测量样品：将样品池中的溶液放入傅里叶红外光谱仪的样品室中，然后开始测量样品。根据仪器的使用说明，选择合适的扫描速度和积分时间进行测量。 重复测量：如果需要更准确的数据，可以重复测量样品多次，并取平均值。
傅里叶变换教程
傅里叶变换是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。下面是一个简单的傅里叶变换教程，帮助你理解傅里叶变换的基本概念和步骤： 时域和频域： 时域是指信号在时间上的变化，通常以时间为横轴进行表示。 频域是指信号在频率上的变化，通常以频率为横轴进行表示。 傅里叶级数： 傅里叶级数是将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和的方法。 傅里叶级数公式：f(t) = A0 + Σ(Akcos(kωt) + Bksin(kωt))，其中A0为直流分量，Ak和Bk为频率为kω的余弦和正弦分量。 傅里叶变换： 傅里叶变换是将非周期信号表示为连续频谱的方法。 傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt，其中F(ω)为频域表示的信号，f(t)为时域信号，e^(-jωt)为复指数函数。 步骤： 将时域信号f(t)进行傅里叶变换，得到频域信号F(ω)。 频域信号F(ω)表示了信号在不同频率上的振幅和相位信息。 可以通过逆傅里叶变换将频域信号F(ω)转换回时域信号f(t)。 傅里叶变换的性质： 线性性：傅里叶变换是线性的，即对于两个信号的线性组合，其傅里叶变换等于各自傅里叶变换的线性组合。 平移性：时域信号的平移会导致频域信号相位的变化。 尺度变换：时域信号的时间缩放会导致频域信号的频率变化。 傅里叶变换的应用： 信号滤波：可以利用傅里叶变换将信号转换到频域进行滤波处理，例如去除噪声。 频谱分析：通过傅里叶变换可以获得信号的频谱信息，了解信号的频率成分和频率特性。图像处理：傅里叶变换在图像处理中常用于图像增强、边缘检测等方面。
利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤
利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤 实例：杭州市2000人口分布密度[根据2000年人口普查的街道数据经环带(rings)平均计算得到的结果，数据由冯健博士处理]。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。 第一步，录入数据 在Excel中录入数据不赘述（见表1）。 表1 原始数据序列表2 补充后的数据序列 第二步，补充数据 由于Fourier变换（FT）一般是借助快速Fourier变换（Fast Fourier Transformation, FFT）算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2N（N=1,2,3,…，）。如果数据序列长度不是2N，就必须对数据进行补充或者裁减。现在数据长度是26，介于24=16到25=32之间，而26到32更近一些，如果裁减数据，就会损失许多信息。因此，采用补充数据的方式。 补充的方法非常简单，在数据序列后面加0，直到序列长度为32=25为止（表2）。当然，延续到64=26也可以，总之必须是2的整数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。
第三步，Fourier变换的选项设置 沿着工具（Tools）→数据分析（Data Analysis）的路径打开数据分析复选框（图1）。 图1 数据分析（Data Analysis）的路径 在数据分析选项框中选择傅立叶分析（Fourier Analysis）（图2）。 图2 数据分析（Data Analysis） 在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图3a）。 a
矩形脉冲信号频谱分析
小组成员：鑫 龙宇 元成 王帅 薛冬寒 梁琼健 一、傅里叶分析方法与过程 周期信号的分解 1、三角形式 周期为T 的周期信号，满足狄里赫利（Dirichlet ）条件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可以展开为傅里叶级数的三角形式，即: ∑∑∞=∞ =Ω+Ω+=110sin cos 21 )(n n n n t n b t n a a t f （1） ⎰-=Ω=2 2 ,2,1cos )(2T T n dt t n t f T a n （2） ⎰-=Ω=2 2 ,2,1sin )(2T T n dt t n t f T b n （3） 式中： T π 2= Ω 为基波频率， n a 与 n b 为傅里叶系数。 其中 n a 为n 的偶函数，n b 为n 的奇函数。 将上式中同频率项合并可写成： ∑∞ =+Ω+=++Ω++Ω+=1022110)cos 21 ... )2cos()cos(21 )(n n n t n A A t A t A A t f ϕϕϕ（ 式中：
) arctan(...3,2,1,2 2 0n n n n a b n b a A a A n n -==+==ϕ (5) n n n n n n A b A a A a ϕϕsin cos 0 0-=== (6) 2.指数形式 由于 2 cos jx jx e e x -+= (7) 三角函数形式可以写为 t jn j n n t jn j n n t n j n t n j n e e A e e A A e e A A t f n n n n Ω--∞=Ω∞=+Ω-∞ =+Ω∑∑∑++=++=ϕϕϕϕ1 10)(1)(0212121] [2 1 21)( (8) 将上式第三项中的n 用-n 代换，并考虑到 为n 的偶函数， 为n 的奇函数 则上式可写为： t jn j n n t jn j n n t jn j n n t jn j n n e e A e e A A e e A e e A A t f n n n n Ω∞--=Ω∞=Ω--∞-=-Ω∞=∑∑∑∑++=++=-ϕϕϕϕ1 10110212121212121)( (9) 将上式中的0A 写成 t j j e e A Ω00 0ϕ(其中 00=ϕ），则上式可写为
周期信号的傅里叶级数分析
实验三 周期信号的傅里叶级数分析 一、实验目的 熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。 二、实验原理 （一）周期信号的傅里叶级数分析原理 按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。 1、三角函数形式的傅里叶级数 ∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1 022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。 ()dt t f T a T T ⎰-=22012 ()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a T T n ， (),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b T T n 即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。 式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式： ∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ
其中：00a A =，22n n n b a A +=,n n n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析 其中系数 3、周期信号的频谱 （1）三角函数形式频谱 w A n ~关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图 （2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图 （二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现 例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。 解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244 -22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a T T T T n ， 求傅里叶系数的程序如下： syms t n T; ∑∞-∞== n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕ
傅里叶分析之掐死教程
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傅里叶分析之掐死教程（完整版） 2014年06月23日⁄字号小中大 作者：韩昊 知乎：Heinrich 微博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。 转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章———— 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是： 要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。 傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… .本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。 一、什么是频域 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。 先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：