(人教版初中数学)二次函数教案

教 案

科目____数学___ 教师________ 时间 学生

第二十六章 二次函数

一． 知识点梳理

*考点1：二次函数的有关概念

一般地,形如2y ax bc c =++(,,)a b c ≠是常数，a 0的函数叫做x 的二次函数. 2.考点2：二次函数地图象及几种重要形式的特点：

例题：求二次函数243y x x =-+的对称轴,以及与x 轴,y 轴的交点.

例题：用配方法将二次函数

1232

--=x x y 化成()k h x a y +-=2

的形式是 .

例题：二次函数

x x y 42

+-=的图象的顶点坐标是 ,在对称轴的右侧y 随x 的增大而

例题：已知抛物线

c bx x y ++=2

2的顶点坐标是（-2,3）,则bc = .

例题：已知二次函数

()()m mx x m y --+-=3222

的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y 轴的负半轴,则m 的取值范围是 .

例题：抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);

例题：若二次函数

c bx ax y ++=2

的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y 轴的正半轴; 则点?

?? ??b c a P ,在（ ）

*考点3：二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）

（1） 如图所示,当a>0时,对称轴左侧

（x<2b

a -）,y 随着x 的增大而减小

在对称轴的右侧（x>2b

a

-）,y 随x 的增大而增大；

如图所示,当a>0时,对称轴左侧（x<2b

a

-）,y 随着x 的增大而增大,在对称轴的右侧（x>2b

a

-）,y

随x 的增大而减小；

例题：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．

*考点4：二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的最值

（1）当a>0时,抛物线2y ax bc c =++有最低点,函数有最小值,当x ＝2b a

-

时,y 最小＝2

44ac b

a

-.

（2）当a<0时,抛物线2y ax bc c =++有最高点,函数有最大值,当x ＝2b a

-

时,y 最大＝2

44ac b

a

-.

*考点5：二次函数图象平移规律

任何抛物线2y ax bc c =++可以由抛物线2y ax =经过平移得到,具体方法如下图：

注意：平移后抛物线开口方向,开口大小补变（a 不变）；平移时“上加下减”“左加右减”.

例题：抛物线3422

++=x x y 由抛物线

1622+-=x x y 向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到.

例题：若二次函数y=2x 2的图象向下平移 3个单位,向右平移4个单位,得到的抛物

线的关系式为_______________.

*考点6：求二次函数的解析式

用待定系数法求出二次函数解析式,要以根据给定点的特点选择合适的方法来求解.

一般地,在给定条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设顶点式

2()y a x h k =-+；在说给条件中已知抛物线与x 轴两焦点坐标或已知抛物线与x

轴一交点坐标与对称轴,可通过设交点式为1()(2)y a x x x x =-?-来求解；在作给的三个条件式任意三点（或任意三对x,y 的值）可设一般式为2y ax bc c =++,然后组成三元一次方程组求解.

例题：抛物线2y ax bc c =++,顶点为（2,3）,且与x 轴的两个交点的距离为6,求抛物线的解析式.

例题：已知2y 2x =的图象是抛物线,若抛物线不动,把x 轴,y 轴分别向上,向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的解析式为_______________. 例题：抛物线

c

bx ax y ++=2中,已知a ：b ：c=l ：2：3,最小值为6,则此抛物

线的解析式为___________ *考点7：二次函数的应用

在一些实际问题中,如物体运动规律,销售问题,利润问题,几何图形变化问题等,抽象出二次函数的数学模型,再利用函数的规律解决这些实际问题. 例题：你知道吗？平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,手距地面均为lm,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离lm 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过丙、丁的头顶．已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）( )

A.1.5m

B.1.625m

C.1.66m

D.1.67m 二. 练习

1. 抛物线22y (1)31m x x m =-++-过原点,求m.

2. 已知点M （－2,5）,N （4,5）在抛物线2y ax bc c =++上,则抛物线的对称轴为__________________.

3. 求二次函数2y 105x x =+-的最小值_________________.

4. 已知二次函数2y ax bc c =++（0a ≠）的图象如下,有下列5个结论：（1）abc>0；（2）b0；（4）2c<3b ；（5）

a+b>m(am+b)(1m ≠的实数).其中正确的是：______________________.

5. 根据下列表格中二次函数2y ax bc c =++的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程20(0)ax bx c a a b c ++=≠，，，为常数的一个解x 的取值范围是（ ） x

6.17

6.18 6.19 6.20 2y ax bc c =++

-0.03 -0.01 0.02 0.04

A ．6

6. 已知函数2y 22x x =－－的图象如下,根据其中提供的信息,可求得使y 1≥成立的x 的取值范围是______________.

7. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. （1） 求平均每天的销售量y （箱）于销售价格x （元/箱）之间的函数关系；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价格x（元/箱）之间的函数关系式；

（3）当每箱苹果的销售价格为多少元时,可以获得最大利润？最大利润是多少？

8.请选择一组你喜欢的a,b,c的值,使二次函数2

=++（a≠0）的图象

y ax bc c

同时满足一下条件：（1）开口向下；（2）当x<2时,y随x的增大而增大；

当x>2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数解析式可以是

_________________________________

9.如图,点O是坐标原点,点A（n,0）是x轴上一个动点（n<0）.以AO为一边

作举行AOBC,使OB=2OA,点C在第二象限,将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90的矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m（k≠0）交y轴于点F,FB=FA.抛物线2

=++过点E,F,G且和直线AF交于点H,过点H作x轴的垂线,垂足y ax bc c

为点M.

（1）求k的值；

（2）点A的位置改变时, AMH的面积和矩形AOBC的面积比是否变化？说明你的理由.

10.东方专卖店专销某种品牌的计算机,进价12元/只,售价20元/只.为了促销,

专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,每只的售价就降低0.10元,,但是最低价为16元/只.

（1）求顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买？

（2） 写出当一次购买x 只时（x>10）,利润（元）与购买量x （只）之间的

函数关系式； 有一天,一位顾客买了46只,另一位顾客买了50只,专卖店发现卖50只反而比卖46只赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他条件不变的情况下,最低价16元/只至少要提高多少？为什么？

11.如图,抛物线2y ax bc c =++与x 轴交于点B （1,0）,C （-3,0）,且过点A （3,6）. （1） 求a,b,c 的值；

（2） 设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,连接CP,PB,BQ,

试求四边形PBQC 的面积.

作业： 一、填空题：

1.用配方法将二次函数

1232

--=x x y 化成()k h x a y +-=2

的形式是 .

2. 二次函数

x x y 42

+-=的图象的顶点坐标是 ,在对称轴的右侧y 随x 的增大而 3．．已知抛物线

c bx x y ++=2

2的顶点坐标是（-2,3）,则bc = . 4．. 已知二次函数

m x x y +-=62

的最小值是1,那么m 的值是 . 5. 已知二次函数

()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y 轴的负半轴,则m 的取值范围

是 .

6. 若抛物线

()

415232

2---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是

7．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．

8．抛物线3422

++=x x y 由抛物线

1622+-=x x y 向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到.

二、选择题：

9．若直线y=ax+b 不经过一、三象限,则抛物线

c bx ax y ++=2

（ ）. (A)开口向上,对称轴是y 轴;

(B) 开口向下,对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下,对称轴是直线x=-1;

10． 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);

11． 若二次函数

c bx ax y ++=2

的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y 轴的正半轴; 则点?

?? ??b c a P ,在（ ）.

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;

12．已知直线y=x+m 与抛物线2

x y =相交于两点,则实数m 的取值范围是( ).

(A) m ﹥41-

; (B)m ﹤41-

; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41.

13．若一条抛物线

c bx ax y ++=2

的顶点在第二象限,交于y 轴的正半轴,与x 轴有两个交点,则下列结论正确的是（ ）.

(A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0

14． 抛物线

232

+-=x x y 不经过（ ）.

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限

15．已知a ＜－1,点（a －1,y 1）、（a,y 2）、（a ＋1,y 3）都在函数y=x 2的图象上,则（ ）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 1＜y 3＜y 2

C ．y 3＜y 2＜y 1

D ．y 2＜y 1＜y 3

16．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

17．如图,坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象,则下列式子能成立的是（ ）

A ．abc ＞0

B ．a ＋b ＋c ＜0

C ．b ＜a ＋c

D ．2c ＜3b 18．关于抛物线y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1说法正确的个数是（ ） ①当m ＞1时,与y 轴的交点在X 轴的上方 ②不论m 取任

何实数,抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． ③当x ＜m

时,y 随x 的增大而增大 ④当1≤x ≤m-1时y 有最大值,最大值为m 2 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 三、解答下列各题：

19. 已知抛物线()8122

++-=x y ,①求抛物线与y 轴的交点坐标;②求抛物线与

x 轴的两个交点间的距离.

20.已知抛物线

c bx ax y ++=2

(a ≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点. ①如果抛物线开口向下,对称轴在y 轴的左侧,求a 的取值范围;

②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.

21.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形）,一面利用旧墙,其它各墙（包括中间隔墙）都是木料,已知现有木料可围24米长的墙,试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大,并求最大面积.

22．已知抛物线

k x x y +-=42

的顶点A 在直线y=-4x-1上,设抛物线与 x 轴交于B,C 两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC 的面积（用准确值表示）.

23.如图,已知二次函数y=1

2

x 2＋bx ＋c,图象过A （－3,6）,并与x 轴交于B （－

1,0）和点C,顶点为P ．

（1）求这个二次函数表达式； （2）设D 为线段OC 上的一点,且满足∠DPC=∠BAC,求D 点坐标．

24.如图,A 、B 是直线ι上的两点,AB=4cm,

过ι外一点C 作CD ∥ι,射线BC 与ι所成的锐角∠1=60°,线段BC=2cm,动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发,P 以每秒1cm 的速度,沿由B 向C 的方向运动；Q 以每秒2cm 的速度,沿由C 向D 的方向运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒,当t ＞2时,PA 交CD 于E ．

（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长； （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数表达式； （3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时,QE 的长是多少厘米？