专题三第1讲知能演练轻松闯关

1．(2011·高考江西卷)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( )

A ．18

B ．20

C ．22

D ．24

解析：选B.因为S 10＝S 11，所以a 11＝0.又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.

2．(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：选A.∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.

又∵a n ＞0，∴a 7＝4.a 5＝a 7·q －2＝4×2－2＝1.故选A.

3．(2012·东北三校模拟)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2＋log 25

解析：选B.依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2

＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.

4．(2012·浙江嘉兴质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

解析：选B.因为a n ＋1a n ＝2n ，

所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n

＝2. 又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2，

则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2

＝24，即a 10＝25＝32. 5．(2011·高考上海卷)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )

A ．{a n }是等比数列

B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列

C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列

D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同

解析：选D.∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1

＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2

，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇

数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n

＝q ，从而{A n }为等比数列．

6．(2012·高考课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，

∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0.

∵a 1≠0，∴q ＝－2.

答案：－2

7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于________．

解析：∵{a n }是等差数列，

∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，

即a 5＝－3，d ＝a 5－a 15－1

＝－3＋114＝2，得{a n }是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小，∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取最小值． 答案：6

8．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n

＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列命题：

①等差比数列的公差比一定不为零；

②等差数列一定是等差比数列；

③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列；

④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．

其中正确命题的序号为________．

解析：若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，

②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n

＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1(q ≠0)， 则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q n

a 1q n －a 1q n －1

＝q ，④正确． 答案：①③④

9．(2011·高考福建卷)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.

从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .

(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，

所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2

＝2n －n 2. 由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，

即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.

又k ∈N *，故k ＝7.

10．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2，a 14＝b 3，

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)令c n ＝ba n ，求数列{c n }的前n 项和T n .

解：(1)由条件得????? 3＋3d ＝3q ，3＋12d ＝3q 2，∴?

????

d ＝2，q ＝3， ∴a n ＝2n －1，b n ＝3n .

(2)由(1)得c n ＝ba n ＝b 2n －1＝32n －1.

∵c n ＋1c n ＝32n ＋1

32n －1

＝9，c 1＝3， ∴{c n }是首项为3，公比为9的等比数列，

∴T n ＝3(1－9n )1－9

＝38(9n －1)． 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14

，且2S n ＝2S n －1＋2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)．数列{b n }满足b 1＝34

，且3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；

(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列；

(3)求数列{b n }的通项公式以及前n 项和T n .

解：(1)证明：∵2S n ＝2S n －1＋2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， ∴当n ≥2时，2a n ＝2a n －1＋1，

可得a n －a n －1＝12

. ∴数列{a n }为等差数列．

(2)证明：∵{a n }为等差数列，公差d ＝12

， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝12n －14

. 又3b n －b n －1＝n (n ≥2)，

∴b n ＝13b n －1＋13

n (n ≥2)， ∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14

＝13b n －1－16n ＋14

＝13(b n －1－12n ＋34

) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14

] ＝13

(b n －1－a n －1)， 又b 1－a 1＝12

≠0， ∴对n ∈N *，b n －a n ≠0，得b n －a n b n －1－a n －1＝13

(n ≥2)． ∴数列{b n －a n }是首项为12，公比为13

的等比数列． (3)由(2)得b n －a n ＝12·???

?13n －1， ∴b n ＝n 2－14＋12·???

?13n －1(n ∈N *)． ∵b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝12????1－????13n 1－13

， ∴b 1＋b 2＋…＋b n －(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝34???

?1－????13n . ∴T n －n 24＝34

????1－????13n . ∴T n ＝n 24＋34????1－????13n (n ∈N *)．