二阶常系数递推关系求解方法

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如果某数列{}n a 满足涉及连续三项12,,n n n a a a --的递推关系12n n n a pa qa --=+，

3n ≥，其中,p q 是已知的非零常数，并且初始条件即前两项12,a a 的数值已给出，它的通

项将会是何种形式？

我们把递推关系12n n n a pa qa --=+写成

()112n n n n a a a a μλμ----=-

其中,λμ是待定系数，上式通过合并同类项，还原为

()()12n n n a a a λμλμ--=+-

与12n n n a pa qa --=+进行系数对比，有

q λμλμ+=??

=-?

由一元二次方程根与系数关系，我们知道，,λμ是关于x 的一元二次方程20x px q --=（该方程通常写成2

x px q =+）的两根。也就是说对于满足递推关系12n n n a pa qa --=+，

3n ≥的数列{}n a ，其通项公式与一元二次方程2x px q =+的根密切相关。

一般地，我们称方程2

x px q =+及其根,λμ分别为递推关系12n n n a pa qa --=+的特征方程和特征根。

我们就一元二次方程2x px q =+的根的情况分成两点讨论

一、当λμ≠时，即特征方程的判别式2

40p q ?=+≠时，

递推关系12n n n a pa qa --=+可以写成

()112n n n n a a a a μλμ----=- ①

由于λ与μ的地位对等，我们也可以写出

()112n n n n a a a a λμλ----=- ②

由①知数列{}1n n a a μ+-是以21a a μ-为首项，λ为公比的等比数列，所以有

()1121n n n a a a a μμλ-+-=- ③

同理，由②知

()1121n n n a a a a λλμ-+-=- ④

由③④消去1n a +得

()()()112121n n n a a a a a λμμλλμ---=---

所以，数列{}n a 的通项公式是

()()112121n n n

a a a a a μλλμλμ

-----=

- ⑤ 事实上，由⑤知，对于240p q ?=+≠的情况，只要求出特征根λ与μ，那么递推关系12n n n a pa qa --=+，3n ≥的解必定可以写成

n n n a A B λμ=+

的形式，系数,A B 将由问题的初始条件12,a a 确定。这样做可以减少计算量。二、当λμ=时，即特征方程的判别式240p q ?=+=时

递推关系12n n n a pa qa --=+可以写成

()112n n n n a a a a λλλ----=-

由上式知数列{}1n n a a λ+-是以21a a λ-为首项，λ为公比的等比数列，所以有

()1121n n n a a a a λλλ-+-=-

两边除以1

n λ

+得

n n

a a a a λλλλ++--

所以数列n n a λ??

???

是以212a a λλ-为公差的等差数列，故 ()

a a a a n λλ

所以数列{}n a 的通项公式是

()()2

21212n n a a a n a a λλλ-=---????

⑥ 由⑥知，对于2

40p q ?=+=的情况，只要求出二重特征根λ，那么递推关系

12n n n a pa qa --=+，3n ≥的解必定可以写成

()n n a An B λ=+

的形式，系数,A B 将由问题的初始条件12,a a 确定。

例题

1.课本第69页，第6题：已知数列{}n a 中，125,2a a ==，1223n n n a a a --=+，3n ≥，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

略解：特征方程2

23x x =+有相异实数根3,1-，再根据初始条件125,2a a ==求得

()1

11731314n n n a --??=

?+?-?

2. 斐波那契（Fibonacci ）数列：数列{}n F 满足12121,1,,2n n n F F F F F n --===+>，求它的通项公式。

略解：特征方程2

1x x =+

的两根是

1122

，再根据初始条件121,1F F ==可得

n n

n F ???=-??????

. 例题3. 已知数列{}n a 中，10a =，22a =，1244n n n a a a --=-，（3n ≥），求这个数列的通项公式。

略解：特征方程2

44x x =-有二重根2，再由初始条件10a =，22a =可得

()112n n a n -=-?

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

(整理)几个重要的特殊数列

几个重要的特殊数列基础知识 1．斐波那契数列莱昂纳多?斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：

，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）； 2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将作为第

由递推公式求通项公式的方法

由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有 21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=- 将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求解：依题意有 213211,3,,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212n n n a a n n n n +---=+++-= =-=-+ ，从而223n a n n =-+。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,) 1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n a f n a +=，从而就有 32121 (1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1 (1)(2)(1)n a f f f n a =???- ，进而求解。例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321 n n n a a a n n --==?≥+，求数列{}n a 的通项公式。

常见递推数列通项九种求解方法

常见递推数列通项地九种求解方法高考中地递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考地热点之一.是一类考查思维能力地好题.要求考生进行严格地逻辑推理,找到数列地通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式地求解方法. 类型一：<可以求和）累加法例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列地通项公式. 解读：上述个等式相加可得： ∴ 评注：一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加. 【类型一专项练习题】 1、已知,<）,求. 2、已知数列,=2,=+3+2,求. 3、已知数列满足,求数列地通项公式. 4、已知中,,求. 5、已知,,求数列通项公式. 6、已知数列满足求通项公式？ 7、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式 8、已知数列满足,求数列地通项公式. 9、已知数列满足,,求. 10、数列中,,<是常数,）,且成公比不为地等比数列．

答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(1>2 (2> 11.(1>5 (2> 类型二： <可以求积）累积法例1、在数列中,已知有,(>求数列地通项公式. 解读：又也满足上式；评注：一般情况下,累积法里地第一步都是一样地. 【类型二专项练习题】 1、已知,(>,求. 2、已知数列满足,,求. 3、已知中,,且,求数列地通项公式. 4、已知,,求. 5、已知,,求数列通项公式. 6、已知数列满足,求通项公式？ 7、已知数列满足,求数列地通项公式. 8、已知数列{a n},满足a1=1, (n≥2>,则{a n}地通项 9、设{a n}是首项为1地正项数列, 且(n + 1>a- na+a n+1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …>,求它地通项公式. 10、数列地前n项和为,且,＝,求数列地通项公式. 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.

由递推关系求通项公式的类型与方法

由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：1()n n a a f n +=+的数列利用迭加或迭代法得：1(1)(2)(1)n a a f f f n =++++-L ，（2n ≥）例1（08天津文20）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）略（Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得 11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211a a -=，32a a q -=， 22121321()()()11n n n n a a a a a a a a q q q --=+-+-++-=+++++L L ，（2n ≥）．所以当2n ≥时，1 1,,. 1,111n n q q q a n q -≠=?-+ ?=-??? 上式对1n =显然成立．二、递推关系形如：1()n n a a f n +=的数列利用迭乘或迭代法可得： 1(1)(2)(1)n a a f f f n =-L ，（2n ≥）例2 （2008天津理22）在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS ,12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

矩阵乘幂优化k阶常系数线性递推关系

矩阵乘幂优化k 阶常系数线性递推关系一、认识k 阶常系数线性递推关系我们熟悉的Fibonacci 数列：F[n]=F[n-1]+F[n-2]，就是一个2阶常系数线性递推关系，由此我们得出k 阶常系数线性递推关系的一般形式： k n k n n n F a F a F a F ???+++=Λ2211 其中：，是常数，有k 项，所以叫着k 阶常系数线性递推关系； k a a a 、、、Λ21∑=?×=k i i n i n F a F 1 二、对矩阵的认识矩阵就是一个数字阵列，一个n 行r 列的矩阵可以表示为： ????? ???????nr n n r r a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ212222111211 我们称上面的矩阵为r n ×矩阵。例如下面一个2×3矩阵； ?? ????662341 如果一个行数和列数相等的矩阵，我们叫作方阵。例如下面3×3方阵： ???? ??????679762341 其实，矩阵对我们来说，并不陌生，因为它正好对应Pascal 中的一个二维数组。 Type matrix=array[1..n,1..r] of longint; 三、矩阵的运算 1、加法，减法 ?? ????=??????+??????964687652342312345 ??????=???????????? ?010003652342662345 2、乘法：设A ，B 是两个矩阵，令C=A ×B ；那么：（1）A 的列数必须和B 的行数相等；设A 是n ×r 矩阵，B 是r ×m 矩阵；（2）A 和B 的乘积C 是一个n ×m 的矩阵；

高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。一. 定义法常见形式：已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+， ② （其中，d 常数，q ≠0为常数）定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。二. 迭代法常见形式：已知 a a a a f n n n 110=≠=++，() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零 ④ （这里的f n ()是关于n 的关系式）。这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。如：③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*，将以上n -1个式子叠加，可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…，这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列 {}a n 的通项公式来。如：④的具体例子：例1. （2006年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和， a S n a n n 212 ==，。求S n 。解：因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*，所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*， S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·，---=---≥∈()*

递推方法

递推方法教学目标：知识目标：掌握用递推方法解决计数问题、求值问题，研究数的性质等等。能力目标：通过递推思想方法的培养，发展学生的解题能力，创新能力。情感目标：培养学生学习数学的兴趣，磨练学生的意志品质。教学重难点：重点在于建立递推关系；难点为如何运用分类思想找数列相邻项间的联系。教学过程：一、在计数问题中的应用 1212n n ??例、的棋盘用张的长方形纸片覆盖，有多少种方法把棋盘完全盖住？ 210001000ABC A B C ?例、在的内部有个点，以顶点、、和这个点能把原三角形分割成多少个小三角形？ ()() 121131,21=122,1,2, 1.20013n i i a a a n f n a a a i n f +??????-≤=???-例、用、，，表示正整数，，的任意一个排列，设为这些排列的数目，使得：（）；（），问：能否被整除？

二、在求值问题中的应用 410().+i i j j 例、一枚均匀的硬币掷次，从不接连出现正面的概率为既约分数求 22553344375,.16 42ax by ax by a b x y ax by ax by ax by +=??+=?+?+=??+=? 例、设实数、、、满足方程组：求三、运用递推关系研究数的性质 6sin cos sin cos n n n Z θθθθ++∈例、若是有理数，证明：也是有理数（）. 20012001722233. n n P P P ??例、将一个个方格的带形的某些格中染上颜色，使得任何的方格中都没有完全染上颜色.以来记所有满足条件的不同染色法的数目.证明：能被整除，并求能整除的的最高次幂 2813 4.n n a N N n a 例、设为下述正整数的个数，的各位数字之和为且每位数字只能取、或求证：是完全平方数. 课堂小结：课后练习：习题课后反思：

递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。方法一：累加法形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列（1）求c 的值（2）求{a n }的通项公式解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

如何求数列通项公式

如何求数列通项公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2 (1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而利用逐差求和法求得数列{}n a 的通项公式。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 1 221 1 2 2 1 1 ()()()()(231)(23 1)(231)(231)3 2(3333)(1)33(13 ) 2 (1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n n n a a +-=?+，例3 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

谈递推法的几种应用方法

谈递推法的几种应用方法摘要：利用递推法关系解决数学问题的方法，成为递推法. 所谓递推关系，通常是指一个数列{}n a 的第n 项n a 与前面k 个项12,,,n n n k a a a ---???，（k 为正整数，k n <）之间的关系： ()12,,,n n n n k a f a a a ---=???（ n k >）这里，f 是关于12,,,n n n k a a a ---???的k 元函数，通常称为递归函数；递推关系，也常称为k 阶递归方程. 关键字:递推法,组合数,列举累乘法,列举累加法,列举归纳猜想法,不动点法和换元法. 递推法的应用及证明步骤: 递推法也常用以处理正整数为状态函数的数学问题，诸如递归数列的通项问题，与数列有关的计算问题，证明问题，等等. 应用递推法解答数学问题，一般包括两个步骤：第一步：建立递推关系.根据问题的特点，通过观察，试验，归纳，猜想等思维活动，寻求递推关系. 第二步：求递推关系.初始值和相应的递推关系，求得所需的结论. 例1：计算两类带组合数k n C 和k n k C +的幂和()1 n k m m n k S n C k ==∑，()1 n k m m n k k U n C k +==∑. 解：[1]建立如下两个递推关系：此后，有些读者仍沿着这个途径做相关问题的探讨，如文[2]. 事实上，利用上面的递推公式，计算()1m S n +与()1m U n +时，我们需要用到 ()()1,,m S n S n ???与()()1,,m U n U n ???的表达式，计算量是非常大的. 本文给出两个简单的递推关系，利用他们计算出()1m S n +与()1m U n +时，我们反需用到()m S n 与()m U n 的表达式. 定理1：设m 为任意的自然数，n 为大于1的任意整数，则()11m S =， ()()()()11m m m S n n S n S n +=--.

数列的递推关系

数列的递推关系 ? 教学重点：数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式，由递推公式和相应有尽有前若干项可以确定一个数列．这种表示方法叫做递推公式法或递推法． ? 教学难点： 1．根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，关归纳出通项公式． 2．n n S a 的关系 ???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n ． ? 教学过程：一、复习数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）．二、递推公式钢管的例子 3+=n a n 从另一个角度，可以： 1 4 11+==-n n a a a Λ ) 2() 1(≥=n n “递推公式”定义：已知数列{}n a 的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式．例1．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．解一：可以写出：21=a ，22-=a ，63-=a ，104-=a ，…… 观察可得：)1(42)4)(1(2--=--+=n n n a n 解二：由题设： 41-=-+n n a a

∴ Λ Λ4 4 432211-=--=--=------n n n n n n a a a a a a ) +412-=-a a )1(41--=-n a a n ∴ )1(42--=n a n 例2．若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：?? ? -=-1 1 S S S a n n n ) 1()2(=≥n n 证：显然1=n 时，11S a = 当1≠n 即2≥n 时， n n a a a S +++=Λ21 1211--+++=n n a a a S Λ ∴ n n n a S S =--1 ∴???-=-1 1S S S a n n n )1() 2(=≥n n 注意：1? 此法可作为常用公式； 2? 当)(11S a =时满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．例3．已知数列{}n a 的前n 项和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式．解：1．当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合 34-=n a n 2．当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n 例4．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．

递推数列常十种方法

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。解：n n 1n 23a 2a ?+=+两边除以1n 2+，得 23 2a 2a n n 1 n 1n + = ++，则232 a 2a n n 1n 1n =-++，故数列}2a { n n 是以1222 a 1 1==为首，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23) 1n (12a n n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2 1 n 23(a -=。评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ?+=+转化为 2 3 2a 2a n n 1 n 1n = -++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12 a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+ 则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{}中，31 =a , ) 1(11++ =+n n a a n n ，求通项公式. 解：原递推式可化为：1 111 +- + =+n n a a n n 则, 2 11112 -+=a a 3 12123-+ =a a 4 13134-+ =a a ，……，n n a a n n 1111--+ =-逐项相加得：n a a n 111- +=. 故n a n 14- =. 二、作商求和法例 2 设数列{}是首项为1的正项数列，且 0)1(12 2 1 =+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： ) ]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,4 3,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11 -= - 逐项相乘得： n a a n 1 1=，即=n 1. 三、换元法例3 已知数列{}，其中9 13,3421 == a a ，且当n ≥3时， ) (3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式（1986年高考文科第八

题改编）. 解：设1 1 ---=n n n a a b ，原递推式可化为： } {,3 1 21n n n b b b --=是一个等比数列，9 1 3491312 1 =-= -=a a b ，公比为3 1.故n n n n b b )3 1 ()31(91)31(2211 ==?=---.故n n n a a )3 1 (1=--.由逐差法可得： n n a )3 1(2123-= . 例4已知数列{}，其中2,12 1 ==a a ，且当n ≥3时，122 1 =+---n n n a a a ，求通项公式。解由122 1 =+---n n n a a a 得：1)()(2 1 1 =------n n n n a a a a ，令1 1 ---=n n n a a b ，则上式为12 1 =---n n b b ，因此是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b ΛΛ 又2 )1(12 1 -= +++-n n b b b n Λ 所以)1(2 1 1-= -n n a n ，即)2(2 12 +-= n n a n 四、积差相消法例5设正数列，，…，，…满足2 -n n a a 2 1---n n a a = ) 2(≥n 且11 ==a a ，求的通项公式. 解将递推式两边同除以2 1--n n a a 整理得：122 1 1=----n n n n a a a a 设= 1 -n n a a ，则0 11 a a b = =1，1 21=--n n b b ，故有 1 212=-b b ⑴122 3 =-b b ⑵ … … … …

由递推公式求通项的9种方法经典汇总

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精析由递推公式求通项的9种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝????1－12＋????12－13＋????13－14＋…＋? ?? ??1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n . 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n . 2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1 ＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1 ·a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1 ×…×12×23＝23n .即a n ＝23n . 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝ q p －1 ，可令a n ＋1＋t

常见递推数列通项公式求法(教案)

问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。 2 常见递推数列通项公式的求法一、课题：常见递推数列通项公式的求法二、教学目标 (1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数法求数列的通项公式。 (2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。 (3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，以及积极交流的主体意识。三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。五、教学课时： 1 课时六、教学手段：黑板，粉笔七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结八、教学过程（一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究： a n 变式：已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = a n + 2n ，求{a n }的通项公式。活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。解：由条件知： a n +1 - a = 2n n 分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个等式叠加之，即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n - a n -1 ) = 2 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + 2 ? (n - 2) + 2 ? (n - 1) 所以 a - a = (n - 1)[2 + 2 ? (n - 1)] n 1 a = 1,∴ a = n 2 - n + 1 1 n

奥数专题之递推

奥数专题之递推递推法专题递推法是组合数学中的一个重要解题方法，许多问题通过递推法来解决就显得精巧简捷．鉴于这一方法在学习中的应用越来越广泛，掌握和运用这种方法，就显得更加重要．递推方法问题主要有两类：一是问题中有明显的递推关系，重点在于递推关系的应用；二是问题中没有明显的递推关系，需要对已有条件进行变形或改变问题的有关形式而建立递推关系，将问题转化为第一类问题。本文重点探索第二类问题。通过建立、研究递推关系Sk+1=f(Sk)，使问题得以解决的方法称为递推方法。例1平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n 条直线可以把平面分割成多少个部分？请看一个引起普遍关注的关于世界末日的问题。例2有这样一段关于“世界末日”的传说。在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到来。这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。例3有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？追问：10级的情况可以一一列出，台阶数比较多的情况，怎么办？提示：此即为斐波那契数列{ a n}求通项的问题。例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种这里，我们引进一个概念：设a1,a2,a3,…，a n是1，2，3，…，n的一个排列,如果a i i,(i=1,2,…，n),则称这种排列为一个错位排列（也称为更列）。

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则所以3 1.n n a n =+-

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及等差数列和等比数列的通项公式。例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式评注在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式评注此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积