平面向量及运算法则
平面向量及运算法则
1、向量：
（1）概念：既有 又有 的量叫做向量
（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB
或 a
（3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a
（4）零向量：零向量的方向是任意的
单位向量是____________的向量.
（5）相等向量： 的向量叫相等向量；
（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：
（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；
减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ
，其长度与方向
规定如下：
（1）||a λ = ||||a λ
；（2）λ> 0 时，a λ 与a 同向；λ< 0 时，a λ 与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ =0
4、向量的线性运算满足：
（1）()a λμ=
（2）(λμ+)a
=
（3）()a b λ+
=
5、//a b (0)b a a λ?=≠
其中R λ∈且唯一 随堂练习
1.给出下列命题：
①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；
④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。
错误！未找到引用源。若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）
D
B
A
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )
A.FD
B.FC
C.FE
D.BE
3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=
AB BC CA B ．+=
AB AC BC
C ．+
=
AC BA AD D ．+=
AC AD DC
4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0
的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+-
D.NQ QP MN MP ++-
5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-
则必有 ( )
A. 0AD =
B. 00AB AD == 或
C. ABCD 是矩形
D. ABCD 是正方形
6、如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，又BM=3
1
BC ，CN=3
1
CD ．试用，表示，，．
7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量
（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．
O
A
D
B
C
M
N
变式: 已知、不共线，=a +b ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．
1．平面向量的基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若
),(),,(2211y x B y x A ，则=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)；实数与向
量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
（3）向量共线的两种判定方法：a ∥ｂ(0≠
b )12210x y x y λ?=?-= a b 。 2．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. （3）两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量； 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0；
3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别地a ?a = |a |2或||=a 4? cos θ =
||||
?a b
a b
5? |a ?b | ≤ |a ||b |。
（4）向量的数量积满足下列运算律
已知向量a b c
，，与实数λ。 ①a b ?
＝___________（______律）
②()a b λ?
＝___________
③()
a+b c ?
＝___________
（5）平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=???
（6）平面内两点间的距离公式
设a=(x,y),
2a = ___ 或a =___________ 。
3.向量垂直的判定
()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,
则a ⊥b ? a ?b = 0；12120x x y y ?+=
小结：向量共线的两种判定方法()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,
a ∥ｂ(0≠
b )12210x y x y λ?=?-= a b 。
向量垂直的两种判定方法()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,
则a ⊥b ? a ?b = 0；12120x x y y ?+=
4．平面向量的应用
（1）能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。
（2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。
随堂练习
1．下列说法中，正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③
2．若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c
等于( ) A 、21-a +23b
B 、21a 23-b
C 、23a 2
1-b
D 、2
3-a + 21b
3.已知向量=-=-
(2,4) (1,2)a b 则a 与b
的关系是（ ）
A ．不共线
B ．相等
C ．同向
D ．反向
4.已知=-=-
(,),(,)a b x 131，且//a b
，则x=（ ）
A ．3
B ．-3
C ．
13 D ．13
- 5. 设,1e 2e
是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. 1e +2e 和1e -2e
B. 31e -22e 和41e -62e
C. 1e +22e 和21e
+2e D.1e +2e 和2e
6.已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b 与|
a +
b |
7．设向量,a b
满足 1a b == 及 32a b -= （1）求 ,a b
所成角的大小。
（2）求 3a b +
的值。
平面向量的应用
能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。
随堂练习
1．已知ＡＭ为△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝a
，＝b ，则＝（ ）
Ａ．21（ a － b ） Ｂ．－2
1
（ a － b ）
Ｃ．－21（ a ＋b ） Ｄ．2
1
（ a ＋b ）
2．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ . 3.（安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22??
=
???
b ，则下列结论中正确的是（ ）
A 、=a b
B 、2
?=
a b C 、-a b 与b 垂直 D 、a ∥b
4.在△ABC 中，AB →＝a ，BC →
＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.不能确定
5、设 a 表示“向东走3km ” b 表示“向北走3km ”则 a +
b 表示 。
6.设=a +5b ，=-2a +8b ，=3a -3b
，那么下列各组的点中三点一定共线的是
（ ）
A. A ，B ，C
B. A ， C ， D
C. A ，B ，D
D. Ｂ，Ｃ，Ｄ
7．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.
8.在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →
＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.
9.某人在静水中游泳，速度为4 3 千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳. （1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
10．已知)1,2(=a
与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。 11．（重庆卷理2）已知向量,a b
满足0,1,2,a b a b ?=== ，则2a b -= ( )
A. 0
B.
C. 4
D. 8
课后习题
一、 选择
1、下列命题正确的个数是（ ）
①0AB BA += ；②00AB ?= ；③AB AC BC -= ；④00AB ?=
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
2、若向量(1,1)a = ,(1,1)b =- ,(1,2)c =-
,则c 等于 （ ）
A 、1322a b -+
B 、1322a b -
C 、3122a b -
D 、3122a b -+
3、已知(1,2)a = ,(2,3)b x =-
且a ∥b ,则x = （ ）
A 、－3
B 、34-
C 、0
D 、3
4
4、下列命题中： ①若0a b ?=
,则0a = 或0b = ; ②若不平行的两个非零向量a ,b 满足
a b = ,则()()0a b a b +?-=
; ③若a 与b 平行,则a b a b ?=? ；④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c
;其中真命题的个数是（ ） A 、1 B 、2
C 、3
D 、4
5、已知a = b = 3a b ?=-
，则a 与b 的夹角是（ ）
A 、150?
B 、120?
C 、60?
D 、30?
6、若)()(),1,2(),4,3(x -⊥+-==且,则实数x= （ ）
A 、23
B 、223
C 、323
D 、4
23
7、在ΔABC 中,0
60,43=∠==BAC ,则=?（ ）
A 、6
B 、4
C 、-6
D 、-4
二、填空题
8、已知===x x 则,13,5(
9、已知(2,4),(2,6)MA MB =-= ，则12
AB =
10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝ 11、已知向量(6,2)a = 与(3,)b k =-
的夹角是钝角,则k 的取值范围是
三、解答题 12、向量(,12)OA k = ，(4,5)OB = (10,)OC k =
,当k 为何值时，A,B,C 三点共线？
13、在直角△ABC 中，AB
＝（2,3），AC ＝（1，k ），求实数k 的值。（10分）
14、 已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =- ，1223b e e =- (1)求a b ? (2)求a b + 与a b -
的夹角.
15、 已知(1,2)a = ，(3,2)b =-
当k 为何值时？（1）ka b + 与3a b - 垂直？
（2）ka b + 与3a b -
平行？平行时，它们是同向还是反向？
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
平面向量及其加减运算(教师版)
【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。 2.向量 既有大小又有方向的量叫做向量。 向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模） 3.向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。 （2）常见的表示方法 ①向量AB u u u r ，长度记为AB u u u r ； ②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r 。 4.相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。 例1:判断下列语句是否正确： （1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。 （2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相 同。 （3）向量AB u u u r 与向量BA uu u r 是同一个向量。 （4）相等向量一定是平行向量。 （5）互为相反的向量不一定是平行向量。 （6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。 解：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）× 例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向 平面向量的减法 平面向量的加法 平面向量的概念平面向量
线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。 （1）所有与AB u u u r 相等的向量。 （2）所有与AB u u u r 互为相反的向量。 （3）所有与AD u u u r 平行的向量。 解：（1）DE AB =u u u r u u u r ； （2）与AB u u u r 互为相反的向量：BA uu u r 、ED u u u r ； （3）所有与AD u u u r 平行的向量为：DA u u u r ，BE uuu r ，EB uu u r ，EC uuu r ，CE u u u r ，BC uuu r ，CB u u u r 。 二.平面向量的加法 1.向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r 。 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。 对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r 。 3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r 。 4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r 。 5.向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以 第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。 例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r 。 略 例2 计算：（1）AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ；OE EF +u u u r u u u r OF u u u r . （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r 。 （3）AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r 。 三、平面向量的减法 1.向量的减法
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
平面向量线性运算教案
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
平面向量的运算法则
平面向量运算法则 （1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ=（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式：
平面向量基本运算小题专练
1．已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B．C．D． 2．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D． 4．已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣6 5．设向量=（x﹣2，2），=（4，y），=（x，y），x，y∈R，若⊥，则||的最小值是（） A．B．C．2 D． 6．已知，则=（） A．9 B．3 C．1 D．2 7．在△ABC中，+=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则?（+）等于（） A．B．C．﹣D．﹣ 8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（） A．B．C．D．1 9．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（） A．λ+μ=2B．λ﹣μ=1C．λμ=﹣1 D．λμ=1 10．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）
A．B．C．D．5 11．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=（）A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（） A．B．C．1 D．3 13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（） A．1 B．2 C．D． 14．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1） 15．已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为cosθB． C．D． 16．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（） A．1 B．C．2 D．2 17．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（） A． B．C．D． 18．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
平面向量公式
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
平面向量的概念及线性运算
§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
平面向量及其运算
平面向量及其运算 Prepared on 22 November 2020
1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。 ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。 ⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。 2、向量加减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向量的减法向量→ a 加上→ b 的相反向量，叫做→ a 与→ b 的差。即：→ a → b = → a + (→ b )； b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点。 ③实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方 向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 <λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ④两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ。 3、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作 a =(x,y)。 （2）平面向量的坐标运算：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12.
① 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-= ④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=?+?；若 a b ⊥，则02121=?+?y y x x 注意：与x 轴、y 轴方向相同两个单位向量i 、j 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1i +λ2j 我们把不共线向量i 、j 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线； 由定理可将任一向量ａ在给出基底i 、j 的条件下进行分解； 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，i 、j 唯一确定的数量。 ⑤向量运算运算律： 2 2 || a a a a ?==； ()()2 2 2 2 a b a b a b a b +?-=-=-； ()()() ()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈ () 2 2 2 2a b a a b b ±=±?+2 2 2a a b b =±?+ ； ()a b c a c b c ±?=?±?()c a b =?± 4、平面向量的数量积： （1） “投影”的概念：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影 （2）() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤；规定00a ?=； 几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 （3）设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时， a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2 2a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤．
平面向量数量积运算专题(附标准答案)
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )
A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.
(整理)平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题).
平面向量 1 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不 能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母a,b等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相 同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向 线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a与b相等，记作a=b； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无 关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量a、b、c平行，记作a//b//c。 二、向量的运算法则 三角形法则四边形法则 1.向量的加法 某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：AB BC AC； ⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：a b AB BC AC ⑶四边形法则：a b OA OB OA AC OC 精品文档
练习：化简（1）（AB BC）CD（2）(AB MB)BO OM（3）OA OC BO CO 7.向量的减法 ⑴相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。 ①(a)a； ②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：a(a)(a)a0； ③如果a，b是互为相反的向量，则：a b,b a,a b0。 ⑵向量的减法： 向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即a b a(b) 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向 量。 注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。 练习：（1）AB AC（2）OD OA（3）OA OD AD（4）AB AD DC 例1.平行四边形ABCD中，AD a,AB b，用a、b表示向量AC,DB。 例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。 8.向量的数乘运算 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下： ⑴|a||||a|； 精品文档
平面向量的基本运算学案
x y o A B 2.3.3 平面向量的坐标运算学案 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案 2. 掌握两个平面向量共线的条件及坐标 课前准备：（预习教材P 96~ P 100，找出疑惑之处） ※ 预习探究 探究任务： 1.已知),(),,(2211y x b y x a ==，你能得出a b a b a λ,,-+的坐标吗？ 结论：(1)已知向量),(),,(2211y x b y x a ==和实数λ，那么 = +；=-； 这就是：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） (2)=a λ。 这就是：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2.如图，已知),(),,(2211y x B y x A ,求的坐标。你能在图中标出坐标为),(1212y y x x --的P 点吗？ 结论:已知),(),,(2211y x B y x A ，则=-=， 即一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． 3.如何用坐标表示两个共线向量？如：),(),,(2211y x y x ==，若a 与b 共线，它们的坐标满足什么条件？ 结论： 若),(),,(2211y x b y x a ==，0≠b ，则a ∥b 当且仅当____________________． ※ 预习检测 1．),(),,(222111y x P y x P 则21P P 的中点P 的坐标为________________________． 2.已知)4,3(),1,2(-==b a ，则= +b a ；= -b a ；= +b a 43 3.已知)6(),24(y b a ，， ==，∥，则=y 。 4.已知)35(),31(),40(),12(-，，，，D C B A ,判断与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
沪教版平面向量及其加减运算教案
平面向量及其加减运算教案 【学习目标】 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3. 理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】要点一、平面向量 1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： uuur uuur （1）“有向线段AB”符号标记为AB ，且AB 表示点B 相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2. 平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. 其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: rrr ①小写英文字母表示法: 如a,b,c,L 等. uuur uuur ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量: 长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1 个单位的向量. 相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
平面向量的基本定理及坐标运算] · [提高] · [知识点+典型例题]
平面向量的基本定理 及坐标运算 知识讲解 一、平面向量的基本定理 1.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任 一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +． 2.基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作 {}1 2 ,e e ．11 22 a e a e +叫做向量a 关于基底{} 12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量； ②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底． 3.平面向量基本定理的证明： 在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图： 过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+ 证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+， 即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0， 不妨设20y a -≠，则1 212 x a e e y a -=- -，
由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =． 4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法： 已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP 关于基底{} ,OA OB 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点 P 一定在l 上． 证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =()t OB OA =-， ∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+ 设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即P 在l 上． 其中①式可称为直线l 的向量参数方程式 5.向量AB 的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2 OM OA OB =+．可推广到 OAB ?中，若M 为边AB 中点，则有1 ()2 OM OA OB =+存在． 二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算： 1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在 正交基底下分解向量，叫做正交分解． 向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设 点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标． 3.