高等代数北大版教案-第6章线性空间

------------------------------------------------------------------------------------------------------------第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号

与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:

1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.

定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为

).(,:a f a B A f α→

如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即

{}A a a f A f ∈=|)()(.

若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在

A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.

2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义

------------------------------------------------------------------------------------------------------------为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:

∑==+++n

i i n a a a a 121Λ, ∏==n

i i n a a a a 1

21Λ.

当然也可以写成

∑≤≤=

+++n

i i

n a

a a a 121Λ, ∏≤≤=

n

i i

n a

a a a 121Λ.

(2)求和号的性质 容易证明,

∑∑===n i n i i i a a 1

1

λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 1

1

1

)(,∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m j ij a a 111

1.

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

nm

n n m m a a a a a a a a a Λ

ΛΛ

Λ

ΛΛΛ21

2222111211

分别先按行和列求和,再求总和即可.

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点：线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ?→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量乘法“?”()K V V ?→,且“+”与“?”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ?∈,有αββα+=+；

2、 加法结合律 ,,V αβγ?∈,有()()αβγαβγ++=++；

3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα?∈+=；

4、 存在负元,即V α?∈,存在V β∈,使得0αβ+=；

5、 “1律” 1αα?=；

6、 数乘结合律 ,,k l K V α?∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==；

7、 分配律 ,,k l K V α?∈∈,都有()k l k l ααα+=+；

8、 分配律 ,,k K V αβ?∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,

则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“?”的定义,不光与集合V 有关.

(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.

证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=；

V α?∈,设,'ββ都是α的负向量,则

0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,

于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.

定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:

αβ-定义为()αβ+-.

命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+?=； 2、 可移项 αβγαγβ+=?=-； 3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1

k

αβ=

； 4、 00,α?= 00,k ?= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子

例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =?,V 中加法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.

4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.

定义4.3(线性组合) 给定V 内一个向量组12,,,s αααL ,又给定数域K 内s 个数12,,,s k k k L ,称1122s s k k k ααα+++L 为向量组12,,,s αααL 的一个线性组合.

定义4.4(线性表出) 给定V 内一个向量组12,,,s αααL ,设β是V 内的一个向量,如果存在K 内s 个数12,,,s k k k L ,使得1122s s k k k βααα=+++L ,则称向量β可以被向量组12,,,s αααL 线性表出.

定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 内一个向量组

12,,,s αααL ,如果对V 内某一个向量β,存在数域K 内不全为零的数

12,,,s k k k L ,使得11220s s k k k ααα+++=L ,则称向量组12,,,s αααL 线性相

关；若由方程11220s s k k k ααα+++=L 必定推出120s k k k ====L ,则称向量组12,,,s αααL 线性无关.

命题4.3 设12,,s V ααα∈L ,则下述两条等价: 1)12,,s αααL 线性相关；

------------------------------------------------------------------------------------------------------------2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.

定义4.6(线性等价) 给定V 内两个向量组

12,,,r αααL (Ⅰ), 12,,,s βββL (Ⅱ),

如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.

定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 内一个向量组12,,,s αααL ,如果它有一个部分组12,,,r i i i αααL 满足如下条件:

(i)、12,,,r i i i αααL 线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被12,,,r i i i αααL 线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.

由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到n K 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.

定义 4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.

例4.2 求证:向量组{}

12,x x e e λλ的秩等于2(其中12λλ≠).

证明:方法一:设12,k k ∈R,满足12120x x k e k e λλ+=,则1212x x k e k e λλ=-,假若12,k k 不全为零,不妨设10k ≠,则有12()2

1

x k e k λλ-=-

,而由于12λλ≠,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是120k k ==.

所以12,x x e e λλ线性无关,向量组的秩等于2.证毕. 方法二:若在(,)a b 上12120x x k e k e λλ+=, 两端求导数,得1211220x x k e k e λλλλ+=,

------------------------------------------------------------------------------------------------------------以(,)x c a b =∈代入,有12121211220,

0.

c c

c c

k e k e k e k e λλλλλλ?+=??+=?? 而

121222()2112()0c

c c

c c

e e e e e

λλλλλλλλλλ+=-≠, 于是120k k ==.证毕.

§3 维数、基与坐标

一 授课内容:§3 维数、基与坐标

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标

的有关定义及性质.

三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义. 四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义. 五 教学过程:

1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V 是数域K 上的线性空间,则有:

定义4.9(基和维数) 如果在V 中存在n 个向量12,,,n αααL ,满足: 1)12,,,n αααL 线性无关；

2)V 中任一向量在K 上可表成12,,,n αααL 的线性组合, 则称12,,,n αααL 为V 的一组基.

基即是V 的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------命题4.4 设V 是数域K 上的n 维线性空间,而12,,,n V ααα∈L .若V 中任一向量皆可被12,,,n αααL 线性表出,则12,,,n αααL 是V 的一组基.

证明:由12,,,n αααL 与V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等. 命题4.5 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n V ααα∈L ,则下述两条等价:

1)12,,,n αααL 线性无关；

2)V 中任一向量可被12,,,n αααL 线性表出.

定义4.10(向量的坐标) 设V 为K 上的n 维线性空间,12,,,n εεεL 是它的一组基.任给V α∈,由命题4.4,α可唯一表示为12,,,n εεεL 的线性组合,即!,(1,2,,)i a K i n ?∈=L ,使得1122n n a a a αεεε=+++L ,于是我们称

()12,,,n a a a L 为α在基12,,,n εεεL

下的坐标.

易见,在某组基下的坐标与V/K 中的向量是一一对应的关系.

§4 基变换与坐标变换

一 授课内容:§4 基变换与坐标变换

二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,

坐标变换公式.

三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式. 四 教学难点:坐标变换公式的应用. 五 教学过程:

1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵

设V/K 是n 维线性空间,设12,,,n εεεL 和12,,,n ηηηL 是两组基,且

11112121212122221122,,.

n n n n

n n n nn n t t t t t t t t t ηεεεηεεεηεεε=+++??=+++??

??=+++?L L L L L L L L L L L L L L

------------------------------------------------------------------------------------------------------------将其写成矩阵形式

1112121

22212121

2(,,,)(,,,)n n n n n n nn t t t t

t t t t t ηηηεεε?? ? ?

= ? ? ???

L L L L M M M L

. 定义4.11 我们称矩阵

11

12121

2221

2n n n n nn t t t t t t T t t t ?? ? ?

= ? ? ???

L L M M M L

为从12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵.

命题4.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεεL .T 是K 上一个n 阶方阵.命

1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=L L

则有12,,,n ηηηL 是V/K 的一组基,当且仅当T 可逆.

证明:若12,,,n ηηηL 是线性空间V/K 的一组基,则12,,,n ηηηL 线性无关.考察同构映射下的坐标在n n K V εεεαασ,,,,:21Λα→,构造方程

1122()()()0n n k k k σησηση+++=L , 其中,(1,2,,)i k K i n ∈=L , 1122()0n n k k k σηηη?+++=L 11220n n k k k ηηη?+++=L , 120n k k k ?====L ?12(),(),,()n σησησηL 线性无关.

12(),(),,()n σησησηL 构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；

反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

11220n n k k k ηηη+++=L ,其中,(1,2,,)i k K i n ∈=L ,

两边用σ作用,得到1122()()()0n n k k k σησηση+++=L ,

120n k k k ?====L .证毕.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.向量的坐标变换公式；n K 中的两组基的过渡矩阵 (1)向量的坐标变换公式

设V/K 有两组基为12,,,n εεεL 和12,,,n ηηηL ,又设α在12,,,n εεεL 下的坐标为()12,,,n a a a L ,即

1212(,,,)n n a a

a αεεε?? ? ?= ? ? ???

L M ,

在12,,,n ηηηL 下的坐标为12(,,,)n b b b L ,即

1212(,,,)n n b b b αηηη?? ? ?= ? ? ???

L M . 现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=L L

记

12n a a X a ?? ? ?= ? ? ???M ,12n b b

Y b ?? ? ?= ? ? ???

M ,

于是

12121212(,,,)(,,,)[(,,,)](,,,)()n n n n X Y T Y TY εεεηηηεεεεεε===L L L L .

于是,由坐标的唯一性,可以知道X TY =,这就是坐标变换公式.

(2)n K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设n K 中两组基分别为

------------------------------------------------------------------------------------------------------------11112122122212(,,,),(,,,),

(,,,).

n n n n n nn a a a a a a a a a εεε===L L L L L L L L L L L 和

11112122122212(,,,),(,,,),

(,,,).

n n n n n nn b b b b b b b b b ηηη===L L L L L L L L L L L

而 1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=L L

按定义,T 的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεεL 下的坐标. 将12,,,n εεεL 和12,,,n ηηηL 看作列向量分别排成矩阵

111212122212n n n n nn a a a a a a A a

a a ??

? ?=

?

? ???L L M M M L ；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ??

? ?

=

? ? ???

L L M M M L , 则有B AT =,将A 和B 拼成2n n ?分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩阵A 化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:

)|()|(T E B A ???→?行初等变换.

§5 线性子空间

一 授课内容:§5 线性子空间

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理. 三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理. 四 教学难点:线性子空间的判别定理. 五 教学过程:

1.线性空间的子空间的定义

------------------------------------------------------------------------------------------------------------定义4.12(子空间) 设V 是数域K 上的一个线性空间,M 时V 的一个非空子集.如果M 关于V 内的加法与数乘运算也组成数域K 上的一个线性空间,则称为V 的一个子空间.

命题4.7 设V 是K 上的线性空间,又设一个非空集合W V ?,则W 是子空间当且仅当下述两条成立:

i)W 对减法封闭； ii)W 对于K 中元素作数乘封闭. 证明:必要性由定义直接得出；

充分性:各运算律在V 中已有,所以W 满足运算律的条件. 只需要证明0W ∈且对于任意W α∈,W α-∈,且对加法封闭即可. 事实上,由于W 关于数乘封闭,则00W α?=∈；(1)W αα-?=-∈,于是对于,W αβ?∈,()W αβαβ+=--∈,W 关于加法封闭.于是W 是V 的一个子空间. 证毕.

事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.

命题4.8 设W 是V 的一个有限维子空间,则W 的任一组基可以扩充为V 的一组基.

证明:设dim V n =,dim W r =,()r n ≤,若r n =,则命题为真； 若r n <,对n r -作归纳:设12,,,r εεεL 为W 的一组基,取1\r V W ε+∈,则121,,,,r r εεεε+L 线性无关.于是令1'{|,}r W k W k K αεα+=+∈∈,易见,W ’是V 的一个子空间,且dim '1W r =+,此时dim '1n W n r -=--,对其用归纳假设即可.

§6 子空间的交与和

一 授课内容:§6子空间的交与和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维

数公式.

三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.. 五 教学过程:

1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设12,,,t V ααα∈L ,则

{}1122|,1,2,,t t i k k k k K i t ααα+++∈=L L

是V 的一个子空间,称为由12,,,t αααL 生成的子空间,记为12(,,,)t L αααL .

易见,生成的子空间的维数等于12,,,t αααL 的秩.

定义4.14(子空间的交与和) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义

1212{}V V v V v V =∈∈I 且,称为子空间的交； 12121122{|,}V V v v v V v V +=+∈∈,称为子空间的和.

命题4.9 12V V I 和12V V +都是V 的子空间.

证明:由命题 4.7,只需要证明12V V I 和12V V +关于加法与数乘封闭即可.

事实上,12,V V αβ?∈I ,则1,V αβ∈,2,V αβ∈.由于12,V V 均是V 的子空间,则12,V V αβαβ+∈+∈,于是12V V αβ+∈I ,12V V I 关于加法封闭；

12V V α?∈I ,k K ∈,12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈I ,12V V I 关于数乘封

闭.

12,V V αβ?∈+,则由12V V +的定义,111222,,,V V αβαβ?∈∈,使得

1212,αααβββ=+=+,而111222,V V αβαβ+∈+∈,则

1212112212()()()()V V αβααββαβαβ+=+++=+++∈+,

12V V +关于加法封闭；12,V V k K α?∈+∈,1122,V V αα?∈∈,使得12ααα=+,

由于1122,k V k V αα∈∈,则121212()k k k k V V ααααα=+=+∈+,12V V +关于数乘封闭.证毕.

命题 4.10 设12,,,m V V V L 是V 的子空间,则12m V V V I I L I 和

12m V V V +++L 均为V 的子空间.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.维数公式.

定理4.1 设V 为有限维线性空间,12,V V 为子空间,则

121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-I .

这个定理中的公式被称为维数公式.

证明:设1dim V s =,2dim V t =,12dim()V V n +=,12dim()V V r =I ,取

12V V I 的一组基12,,,r εεεL (若12V V I =0,则0r =,基为空集),将此基分别

扩充为12,V V 的基

1212,,,,,,,r s r εεεααα-L L , 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-L L ,

只需要证明121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--L L L 是12V V +的一组基即可.

首先,易见12

V V +中的任一向量都可以被

121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--L L L 线性表出.事实上,12V V γ?∈+,则12γγγ=+,其中1122,V V γγ∈∈,而

111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++L L 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++L L ,i j k l K ∈ 于是12γγγ=+可被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--L L L 线性表出.只要再证明向量组121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--L L L 线性无关即可. 设1122112211220r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++++++=L L L , 其中,,i j h k a b K ∈.则

112211221122r r s r s r t r t r k k k a a a b b b εεεαααβββ----+++++++=----L L L (*)

于是

112211221r r s r s r k k k a a a V εεεααα--+++++++∈L L ,

11222t r t r b b b V βββ------∈L ,

于是1122112212r r s r s r k k k a a a V V εεεααα--+++++++∈L L I ,记为α.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------则α可被12,,,r εεεL 线性表示,设

1122r r h h h αεεε=+++L ,

代入(*),有

112211220r r t r t r h h h b b b εεεβββ--+++++++=L L ,

由于1212,,,,,,,r t r εεεβββ-L L 是2V 的一组基,所以线性无关,则

12120r t r h h h b b b -========L L ,

代回(*),又有12120r s r k k k a a a -========L L ,

于是向量组121212,,,,,,,,,,,r s r t r εεεαααβββ--L L L 线性无关.证毕.

推论2.1 设12,,,t V V V L 都是有限为线性空间V 的子空间,则:

1212dim()dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++L L .

证明:对t 作归纳.

§7 子空间的直和

一 授课内容:§7 子空间的直和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性

质.

三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义. 四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义. 五 教学过程:

1.子空间的直和与直和的四个等价定义

定义 设V 是数域K 上的线性空间,12,,,m V V V L 是V 的有限为子空间.若对于1m

i i V =∑中任一向量,表达式

------------------------------------------------------------------------------------------------------------12,,1,2,,m i i V i m ααααα=+++∈=L L .

是唯一的,则称1m

i i V =∑为直和,记为

21m V V V ⊕⊕⊕L 或1

m

i i V =⊕.

定理 设12,,,m V V V L 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四条等价:

1)21m V V V +++L 是直和； 2)零向量表示法唯一；

3)1?(){0},1,2,,i i m V V V V i m ++++=?=I L L L ； 4)1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++L L . 证明: 1)2)?显然.

2)1)?设1212,m m ααααβββ=+++=+++L L 则

1122()()()0m m αβαβαβ-+-++-=L .

由2)知,零向量的表示法唯一,于是

,1,2,,i i i m αβ==L ,

即α的表示法唯一.由直和的定义可知,21m V V V +++L 是直和.

2)3)?假若存在某个,1i i m ≤≤,使得1?(){0}i i m

V V V V ++++≠I L L ,则存在向量0α≠且1?()i i m

V V V V α∈++++I L L ,于是存在j j V α∈,使得 1?i m ααα

α=++++L L . 由线性空间的定义,

1?()i i m

V V V V α-∈++++I L L , 则1()()0m ααααα++-++=+-=L L ,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

1?(){0},1,2,,i i m

V V V V i m ++++=?=I L L L . 3)2)?若2)不真,则有

------------------------------------------------------------------------------------------------------------10i m ααα=++++L L ,

其中(1,2,,)j j V j m α∈=L 且0i α?≠.于是

11??()i i m i i m

V V V V αααα-=++++∈++++L L I L L , 与3)矛盾,于是2)成立.

3)4)?对m 作归纳.

①m =2时,由维数公式得到

12121212dim()dim dim dim()dim dim V V V V V V V V +=+-=+I .

②设1(3)m m -≥已证,则对于m ,

12121121121dim()dim dim()dim(())

dim dim(),

m m m m m m m V V V V V V V V V V V V V V V ---+++=++++-+++=++++L L I L L

而,11i i m ?≤≤-,都有

111垐()(){0}i i m i i m V V V V V V V V -++++?++++=I L L I L L ；

由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++L L .

4)3)?,1i i m ?≤≤,都有

1112垐dim(())dim()dim()dim()0i i m i i m m V V V V V V V V V V V ++++=+++++-+++≤I L L L L L , 于是1?(){0},1,2,,i i m

V V V V i m ++++=?=I L L L .证毕. 推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: i)12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)12{0}V V =I ；

iv)1212dim()dim dim V V V V +=+. 2.直和因子的基与直和的基

命题 设21m V V V V =⊕⊕⊕L ,则21,,,m V V V L 的基的并集为V 的一组基.

证明: 设12,,,r i

i i i εεεL 是i V 的一组基,则V 中任一向量可被

------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

21

{,,,}r i

m

i i i i ε

εε=L U 线性表出.又121

dim dim m

i m i V V r r r ===+++∑L ,由命题4.5,

它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕.

3.补空间的定义及存在性

定义 设1V 为V 的子空间,若子空间2V 满足12V V V =⊕,则称为1V 的补空间.

命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.

证明: 设1V 为K 上的n 为线性空间V 的非平凡子空间,取1V 的一组基

12,,,r εεεL ,将其扩为V 的一组基1212,,,,,,,r r r n εεεεεε++L L 取

212(,,,)r r n V L εεε++=L ,则有

12V V V =+,且1212dim dim dim()V V n V V +==+,

于是12V V V =⊕,即2V 是1V 的补空间.证毕.

§8 线性空间的同构

一 授课内容:§1线性空间的同构

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空

间同构的判定.

三 教学重点:线性空间同构的判定. 四 教学难点:线性空间同构的判定. 五 教学过程:

1.线性映射的定义

定义 设,U V 为数域K 上的线性空间,:U V ?→为映射,且满足以下两个条件:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------i)()()(),(,)U ?αβ?α?βαβ+=+?∈； ii)()(),(,)k k U k K ?α?αα=?∈∈, 则称?为(由U 到V 的)线性映射.

由数域K 上的线性空间U 到V 的线性映射的全体记为Hom ),(V U K ,或简记为Hom ),(V U .

定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:

()()(),(,,,)k l k k U k l K ?αβ?α?βαβ+=+?∈∈.

例 ()m n M K ?是K 上的线性空间,()s n M K ?也是K 上线性空间,取定一个K 上的s m ?矩阵A ,定义映射

:()(),

.

m n s n M K M K x AX ???→a

则?是由()m n M K ?到()s n M K ?的线性映射.

例 考虑区间(,)a b 上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,令

(1,sin ,sin 2,,sin ),U L x x nx =L (1,cos ,cos 2,,cos ).V L x x nx =L

再令

:

,().

U V f x AX ?→a

则?是由U 到V 的一个线性映射.

定义 设:U V ?→是线性映射

i)如果?是单射,则称?是单线性映射(monomorphism)； ii)如果?是满射,则称?是满线性映射(endmorphism)；

iii)如果?既单且满,则称?为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U 与V 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；

------------------------------------------------------------------------------------------------------------iv)?的核(kernel)定义为ker {|()0}U ?α?α=∈=；

v)?的像(image)定义为im ={|,.()}V U s t ?βα?αβ∈?∈=,也记为

()U ?；

命题 ker ?和im ?是V 的子空间. 证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭. vi)?的余核定义为co ker /im V ??=.

命题 线性映射f 是单的当且仅当ker }0{=f ,f 是满的当且仅当coker }0{=f .

定理(同态基本定理) 设V U f →:是数域K 上的线性空间的满线性映射,则映射

:/ker ,

ker ().

U f V f f σαα→+a

是同构映射.

证明:首先证明σ是映射,即若'/ker U f αα=∈,则()(')σασα=.由于'αα=,存在ker f γ∈,使得'ααγ=+.于是

()(')(')()(')f f f f f ααγαγα=+=+=,即()(')σασα=.

再证明σ是线性映射.,/ker U αβ??∈,,k l K ∈,有

()()()()()()k l f k l kf lf k l σαβαβαβσασβ+=+=+=+.

易见σ是满射,且有im V f =.只要再证明σ是单射即可,即证明

ker {0}σ=.设ker ασ∈,则()()0f σαα==,于是ker f α∈,即有0α=.

证毕.

命题 设:U V ?→是线性映射,dim U n =,则下述三条等价: i)?单；

ii)?将U 中任意线性无关组映为V 中的线性无关组； iii)dim ()U n ?=.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------证明:i)?ii)若12,,,t V ααα∈L 线性无关,则令

1122()()()0t t k k k ?α?α?α+++=L ,

由线性映射的定义,1122()0t t k k k ?ααα+++=L .?单,于是

11220t t k k k ααα+++=L ,则120t k k k ====L ,ii)成立；

ii)?iii)若取U 的一组基12,,,n εεεL ,则由已知,

12(),(),,()n ?ε?ε?εL 线性无关,而im ?中任意向量可以被12(),(),,()n ?ε?ε?εL 线性表出,于是12(),(),,()n ?ε?ε?εL 构成im ?的一组基,iii)成立；

iii)?i)由同态基本定理知/ker im U ???,于是

dim dimker dimim U ??-=?dimker 0?=,即有ker {0}?=.证毕.