考研数学模拟试题数学二

考研数学模拟试题（数学二）

参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）

1.设0x 是多项式4

3

2

()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>

解 选择A. 由于0

lim ()x x P x →=+∞，又0x 是多项式()P x 的最小实根，故0()0P x '≤.

2.

设1x a

→= 则函数()f x 在点x a =（）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导

解 选择D. 由极限的保号性知，存在()U a ，当()x U a ∈

0>，当x a <时，()()f x f a <，当x a >时，()()f x f a >，故()f x 在点x a =不取极值.

()()lim

x a

x a f x f a x a →→-==∞-，所以()f x 在点x a =不可导.

3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则

221

(,)x y f x y dxdy +≤=??

（）.

（A

）1002(,)dx f x y dy ?? （B

）1

2(,)dy f x y dx ??

（C

）10

2

(,)dx f x y dy ?

?

（D

）1

2(,)dy f x y dx ??

解 选择B. 由题设知

22221

1

1,0

(,)2

(,)2(,)x y x y y f x y dxdy f x y dxdy dy f x y dx +≤+≤≥==??

????

.

4.微分方程22e x y y x '''-=的特解*

y 形式为（）.

(A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x

y ax =

(C) *22e x y ax = (D) *22()e

x

y ax bx =+

解 选择D. 特征方程220r r -=，特征根0,2r r ==，2λ=是特征根，特解*

y 形式为

*2()e x y x ax b =+.

5. 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）.

（A ）

2

()x f t dt ? （B ）20

()x

f t dt ?

（C ）

[()()]x t f t f t dt +-?

（D ）0

[()()]x

t f t f t dt --?

解 选择C. 由于[()()]t f t f t +-为奇函数，故0

[()()]x t f t f t dt +-?

为偶函数.

6. 设在全平面上有0)

,(

y x f ，0),(>??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）

（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.

（D ）21x x <，21y y >.

解 选择A.

(,)

0(,)f x y f x y x

?

0(,)f x y f x y y

?>??关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<.

7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（）. (A)A E λ-与B E λ-相似 (B) A 与B 合同 (C) A E B E λλ-=- (D) A E B E λλ-=-

解 选择D. A 与B 相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A ，C 正确，又A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，可以推出A 与B 合同，故B 正确. 8. n m A A ?=，r A R =)(，b 为m 维列向量，则有（）. (A)当r m =时，方程组Ax b =有解 (B)当n r =时，方程组Ax b =有唯一解 (C)当n m =时，方程组Ax b =有唯一解 (D)当n r <时，方程组Ax b =有无穷多解

解 选择A. 当r m =时，(),()r A b r A =，方程组Ax b =有解.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）

9. 10(1)e

lim

x

x x x

→+-= .

解 答案为e

2

-.

1

1

1

ln(1)ln(1)1000

(1)e e

e

e

1

lim

lim

elim

x x x x

x

x x x x x

x

x

++-→→→+---==

01ln(1)1elim x x x x →+-=20011

ln(1)e 1elim elim 22

x x x x x x x →→-+-+===-

10设f 有二阶连续偏导数，(,,)u f x xy xyz =，则

2u

z y

?=?? . 解 答案为2233233xf x yf x yzf '''''++.

3u

xyf z

?'=? 2223323333233()u

xf xy f x f xz xf x yf x yzf z y

?''''''''''=+?+?=++?? 11.设微分方程()y x y x y ?'=

+的通解为ln x y Cx

=，则()x ?= . 解 答案为21x -. 将ln x y Cx =代入微分方程，得21(ln )ln Cx Cx ?=-，故21()x x

?=-. 12.

数列

中最大的项为 .

解

【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】

设1

1ln ()e

x x x

f x x =

==，1ln 2

1ln ()e

0x x

x

f x x -'==?e x =， e x <时，()0f x '>，()f x 单调增加，故e n <

时，()f n =

最大， e x >时，()0f x '<，()f x 单调减少，故e n >

时，()f n =

=

>=

13.方程805201x

dt

x t --

=+?在区间(0,1)内的实根个数为 .

解 答案为1. 令8

0()521x dt f x x t =--+?，180(0)20,(1)301dt

f f t =-<=->+?， 由零点定理知，此方程在区间(0,1)内至少有一个实根，又8

1

()501f x x '=->+，()f x 单

调增加，故此方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根.

14.设n 阶矩阵A 的秩为2n -，123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解，则Ax b =的通解为 .

解 答案为1121231()()k k ααααα+-+-，12,k k 为任意常数.

123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解，则2131,αααα--是0

Ax =的两个解，且它们线性无关，又()2n r A -=，故2131,αααα--是0Ax =的基础解系，所以Ax b =的通解为1121231()()k k ααααα+-+-.

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分9分）

求极限1

0)x

x →

解

1

11

1

ln(1)ln(1)10000)(1)e e e e

1

2lim 2lim 2elim

x x x x x x

x x x x x x x x

++-→→→→+---===

01ln(1)1elim x x x x →+-=20011

ln(1)12elim 2elim e 2x x x x

x x x

→→-+-+===-

16. （本题满分9分）设()f x 单调且具有一阶连续导数，(())z f x y ?=+满足

()

0z z y x y

???-=??，求可导函数()y ?. 解

z

f x

?'=?，()z f y y ??''=??，代入方程()0z z y x y ???-

=??，得()()0y f f y ??'''?-=，

即()()y y ??'=，解得()e x

y C ?=，其中C 为任意常数. 17. （本题满分9分）

计算积分

131

1sin )dy y dx -?

?

解 画出二重积分区域D ，1D 是D 的第一象限部分，由对称性，得

1331

1sin )sin )D

dy y dx y dxdy -=?

?

??

1

2cos 240

22D dxdy d r dr π

θθ==???

3402(8cos 393

d πθθ=-=-? 18. （本题满分11分）

求微分方程2

()0(0)y a y a '''-=>满足初始条件00x y ==，01x y ='=-的特解. 解 令,dp

y p y dx

'''==

，代入原方程，得 20dp

ap dx

-=，2dp adx p =??，2dp adx p =??，11ax C p -=+，

由0,0,1x y y p '====-，得11C =，

11ax p -

=+，11p ax =-+，即1

1

y ax '=-+， 故211

ln(1)1y dx ax C ax a

=-

=-+++?， 由0,0x y ==得20C =，所以1

ln(1)y ax a

=-+.

19. （本题满分11分）

设()f x 和()g x 在区间(,)a b 可导，并设在(,)a b 内()()()0f x g x f x ''-≠，证明在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. 证 设()

()()g x x f x e

?-=，则()

()(()()())g x x e

f x f x

g x ?-'''=-.

若在(,)a b 内存在两个不同的点12,ξξ，使得12()()0f f ξξ==， 则由罗尔定理知，至少存在一点ξ介于12,ξξ之间，使()0?ξ'=，

即()

(()()())0g e

f f

g ξξξξ-''-=，于是有()()()0f f g ξξξ''-=，与题设矛盾，

故在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. 20. （本题满分11分）

设有抛物线Γ：2

y a bx =-，试确定常数,a b 的值，使得 ⑴Γ与直线1y x =+相切；

⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大. 解 设切点为00(,)x y ，2y bx '=-，

切线斜率0001121,24k bx x y a b b

=-=?=-=-， 代入切线方程，得111

14(1)42a a b b b -=-+?=-.⑴

又旋转体体积2

230002()a a a a y a y V x dy dy dy a a b b

ππππ--====-???，

22(23)0V a a π'=-=，解得0a =或者2

3

a =，2(26)V a π''=-，

2(0)40,()403V V ππ''''=>=-<，故2

3

a =时，体积V 最大，

将23a =代入⑴得34b =，所以23a =，34

b =.

21.（本题满分11分）

一质量为m 的物体以速度0v 从原点沿y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数0k >），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物

体上升的最大高度.

解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度()y y t =所满足的微分方程为

2

22d y dy m mg k dt dt ??=-- ???

， 初始条件为0(0)0,(0)y y v '==.

dy v dt =代入方程，得2dv m mg kv dt

=--，2dv kv g dt m =--，

记2

2

,k a g b m ==

，

222dv a b v dt =--，222

dv

dt a b v =-+??， 积分得1arctan bv t C ab a =-+，0t =时，0v v =，故01

arctan bv C ab a

=，