2015.1.1--实变函数-练习+模拟题(1)

同学们：元旦快乐！

1月4日，上课地点：1F-315，时间不变。

复习提示：这些是类型题。大家认真复习，掌握相关知识点。 考试要求：带学生证，不得作弊，否则清出考场！

第一次部分 一、分析题

A 集合、点集、测度论

1、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系.

答：⑴ 只有孤立点的集合不一定是无聚点的集合. 如：',1,

,31,21,1R n E ??

??

???= ，{}0'=E . ⑵ 无聚点的集合不一定只有孤立点. 如：φ=E ，φ='

E .

2、任意多个闭集的并集一定是闭集么？回答并举例说明.

答：不一定.例：),3,2(11,1

=??????-=n n n

F n ，则n F 为闭集，但)1,0(2==∞=n n F U F 是开集.

3、试举出1

R 中这样的点集:其极限点一部分在点集中，另一部分不在点集中. 答：令[]{1,0|∈=x x Q ，x 是有理数

}，则Q 的极限点全体就是[]1,0，则Q 就是1R 中这样的集合.

4、任意多个开集的交集一定是开集么？回答并举例说明.

答：不一定.例如：),,2,1(),1

1,11( =+--=n n

n G n 每个n G 是开集，但]1,1[1-=?∞

=n n G 不是开集.

5、（-1，1)与()+∞∞-,对等么？说明理由. 答：对等. )2

tan(

)(x x f π

=是（-1，1)到),(+∞-∞的一一对应. 6、设12,G G 是开集，且1G 是2G 的真子集，是否一定有12mG mG <？回答并举例讨论说明. 答：不一定有12mG mG <.

例如：111(0,)(,1)22

G =?，2(0,1)G =. 虽然1G 是2G 的真子集，但121mG mG ==. 7、(]1,0与[)1,0是否对等？若对等，做出它们间的一一映射.

答：对等. 因为 ()0,1

(),0,1x f x x x =??=?∈??

是(]1,0到[)1,0上的一一映射.

10、说明为什么可数集合在无限集中具有最小的基数？ 答：任一无限集都至少包含一个可测子集.

12、有界可测集与测度有限的可测集之间有什么关系？

答：若E 有界，则+∞

.反之不真，如有理数集全体，0=mE ，但无限.

13、回答并扼要说明集合的基数与集合的测度之间的关系. 答：当集合基数为0,n,a 时，其测度一定为0； 但反之不真，如康托尔集P 的测度为零但基数为c.

当集合E 的基数为c 时，E 可能是零测度集，如康托尔集P ；

E 可能是正测度集，如[0，1]； E 也可能是测度无限的集，如R.

14、平面上坐标为有理数的点组成的集合是否为可数集？回答并证明. 答：平面上坐标为有理数的点组成的集合是可数集. 设{}

(,),x y D P x y x y ==分别独立地跑遍有理数集，

则D 为平面上坐标为有理数的点的全体，D 中元素依赖于两个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D 为可数集.

15、设()

1

E R ?为正测度集，问是否12x x E ?∈,，使12x x -为无理数？

答：存在.

由0mE >，可知E 具有连续基数.现取1x E ∈，做集合{}

1x x x E A -∈=，则A 与{}1E x -一一对应，即A 亦具有连续基数.故1()x x x E -∈不可能全是有理数，即2x E ?∈，使12x x -是无理数，从而12x x -为无理数.

16、证明：设A 是以平面上有理点（即坐标都是有理数)为中心、以有理数为半径的圆的全体，则A 为可数集.

证：用xyr a 表示以平面上(,)x y 为中心，以r 为半径的圆，则

{},,x y r A a x y r Q =分别独立地跑遍有理数集，

则A 中元素依赖于三个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D 为可数集. 17、1

R 中至少有一个内点的集合若可测，问其测度可否为零？为什么？ 答：不可能.

设0x E ∈是E 的一个内点，则00δ?>使0000(,)x x E δδ--?.由测度的单调性知

00000(,)20mE m x x δδδ≥--≥>.

B 可测函数与积分理论

1、从()f x 可测能否推出)(x f 也可测？回答并举例说明.

答：不能.设1E 是[]1,0中的不可测子集(具正测度的集合，一定有不可测子集)，令

[]1

12,()2,0,1x E f x x E ∈??=?-∈-??

，

则因[]10E f E =>是不可测集，可知f 不是[]1,0上的可测函数.然而()2f x ≡于[]0,1，为可测函数.

2、设()f x 于E 上可积，令n E E f n =?≥???，是否有lim 0n x mE →∞

=？回答并证明. 答：一定有lim 0n x mE →∞

=.

因为()f x 于E 上可积，所以

()E

f x dx S =<∞?

.但是

(),n

n

n

E E S f x dx ndx n mE ≥

≥

=??

?

所以1

n mE S n

≤

，因而有lim 0n x mE →∞=.

3、设311,,()1,,

x x P f x x Q ?∈=?∈?其中[]{1|0,1Q x x =∈，x 是有理数

}， []{1|0,1P x x =∈，x 是无理数}，

)(x f 在]1,0[上黎曼可积么？勒贝格可积么？为什么？若可积，计算10

().f x dx ?

解：在]1,0[上)(x f 不是黎曼可积的，因为除1=x 外，]1,0[上的点全是)(x f 的间断点，即)(x f 的间断点所成之集[0,1)是一个正测度集. )(x f 是勒贝格可积的.因]1,0[是测度有限集,且)(x f 在]1,0[上是有界可测的.令3(),[0,1]x x x ?=∈,显然()x ?在[0,1]上黎曼可积,则..)()(e a x x f ?=于],1,0[()f x 在

[0,1]上也黎曼可积，且10

().f x dx ?11

300

1

()()4

L x dx x dx ?===

??. 5、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？ 答：

E

f f n 于?E

u a f f n 于..→E

e a

f f n 于..→叶果洛夫定理mE<+∞

Lebesgue 定理

mE<+∞

叶果洛夫逆定理

子列

Riesz 定理

子列

计算题

1、求集列10,1(1)

,1,2,3,n

n n ??

+-= ??

?

的上、下极限集.

解： 1lim 0,1(1)(0,1);n

n n →∞??+-= ??? 1lim 0,1(1)(0,1]n n n →∞??+-= ???

. 2、求极限nxdx x

n nx R n 3

1

022sin 1)

(lim ?+∞

→. 答：∵

nx x

n nx

32

2sin 1+在[]1,0上连续，∴R 可积，且()()[]??+=+1,03

221

322sin 1sin 1nxdx x

n nx L nxdx x n nx R . 又由于

[]1,02121sin 12

23

22L nx nx x

n nx nx x n nx ∈=≤+≤+，) 且0sin 1lim

3

2

2=+∞→nx x n nx n ，[]1,0∈x .故由勒贝格控制收敛定理得，

()

()[]??+=+∞

→∞→1,03221

03

22sin 1lim sin 1lim nxdx x n nx L nxdx x n nx R n n [][]

00sin 1lim

1,01,03

22==+=??∞→dx nxdx x n nx n 3、设在Cantor 集上定义函数f(x)=sinx ，而在Cantor 集的长为n 3

1

的

邻接区间上定义f(x)= n 3

1

。计算f(x)在[0,1]上的L 积分值。

解：设n E 是邻接区间中长为n 31的构成区间之并，则n n n m E 3

21

-=，因此

()[

]

()∑

∑??∞

=∞

===1

1

1,031

n n n n E mE dx x f dx x f n

71

323

111=?=∑∞

=-n n n n

所以()x f 的积分值为

7

1

。 4、依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛的么？回答，并证明或举例. 答：不一定.例如：

取]1,0(=E .将E 二等分，在E 上定义两个函数：

????

?∈∈==]1,21(,1]21,0(,0)()()1(11x x x g x f ， ??

???

∈∈==]

21

,0(,1]1,21(,0)()()1(22x x x g x f 将E 三等分，在E 上定义三个函数：

????

??∈==]31,0(,1]31,0(,0)()()2(13x x x g x f ，??

???

?∈==]

32

,31(,1]32,31(,0)()()2(24x x x g x f ，

,

]

1,32

(,1]1,32(,0)()()2(35??

???

?∈==x x x g x f

则)}({x f n 为所求函数列，因为在每一点处)}({x f n 都有两个聚点0，1，从而)}({x f n 处处不收敛； 又因为0]|1[|,0→≥->?σσn f mE ，从而)}({x f n 在E 上依测度收敛到1.

5、设{}()n f x 是可测集q

E R ?上一列可测函数，且()0n f x ≤，则

1

1

[()]()n n E

E

n n f x dx f x dx ∞

∞

===∑∑??

（利用列维定理完成).

证明：令()()n n g x f x =-，()n g x 是可测集q

E R ?上一列非负可测函数.令

1

()(),1,2,3,

n

n i i h x g x n ===∑，

则()n h x 为可测集q

E R ?上非负递增的可测函数序列， 由列维定理有

lim ()lim ()n n E

E

n

n

h x dx h x dx =?

?. （*)

因为 1

lim ()()n i n

i h x g x ∞

==

∑， 1

()()n

n i E

E

i h x dx g x dx ==∑?

?，

代入（*)式即得

1

1

[()]()n n E

E

n n g x dx g x dx ∞∞

===∑∑??

，

即

[][]11()()n n E

E n n f x dx f x dx ∞∞

==??

-=-????

∑∑?

?，

亦即

1

1

[()]()n n E

E

n n f x dx f x dx ∞

∞

===∑∑??

.

6、试从

231

(1)(),(0,1)1x x x x x

=-+-+∈+，求证： +-+-

=4

1

312112ln . 证：在[]1,0上，01

≥-+n n

x

x .

()

∑∑??∞

=+∞=+??? ?

?+-+=-=+00101

221

02211211k k k k k k dx x x x dx +-+-=4131211.

第二部分 “模拟题”

一、判断题（“×”或“√” )（本大题14分，每小题1分)

（ × )1、任意多个闭集的并集一定是闭集. （ √ )2、[,]C a b 的是完备的度量空间.. （ × )3、E 的界点一定是E 的聚点. （ × )4、康托尔集没有内点.

（ × )5、有理数全体所成之集Q 是完备集.

（ √ )6、平面上有理点为中心、以有理数为半径的圆的全体，成一可数集. （ × )7、任何点集E 上的常数函数(),f x c x E =∈都是E 上的可测函数.

新加的（ √ )8、可测函数)()(E L x f ∈的充要条件是),(+f E mG 与),(-f E mG 都有限. （L 积分的几何意义，p128-130：定义3、定理3、推论1、推论2） （ × )9、 若mE <∞，则E 是有界集. （ √ )10、n

R 是可分的度量空间.

（ × )11、],[b a C 按照通常的函数加法和数乘运算成为有限维线性空间.

( √ )12、设,X Y 是度量空间，:T X Y →是线性、保距算子，则T 一定是单射.

( √ ) 13、设,X Y 是赋范线性空间,:T X Y →是线性算子,若T 在X 上连续,则T 在X 上一定有界． （ √ )14、有限集合，其测度一定为0. 新加的（ × )15、n

R 中存在不具外测度的集合.

二、填空题（本大题16分，每空2分）

1、设E 是函数1sin ,0,0,0.

x y x

x ?≠?=??=? 的图形上的点所作成的集合，在2R 内求E 的,o E E '. 解：{}

1(,)sin ,0(,)

1,0E x y y x x y y x x ??

'==≠≤=??

??

， .o

E =Φ

2、求集列(1)(0,1),1,2,3,n

n A n n

-=+=的上、下极限集.

解：lim (0,1);n n A →∞

= l i m (0,1]n n A →∞

=

3、无限集的描述：

4、()f x 是E 上任意的可测函数，则()f x 简单函数的关系： .

5、设)(x f 在[,]a b 上L 可积，则其不定积分与绝对连续函数的关系 . 7、设{ E n }是一列单调增加的可测集，则：)lim (n n E m ∞

→ = )(lim n n mE ∞

→.

8、设{ E n }是一列单调递降可测集且+∞<1mE ，则：)(1

∞

=n n

E

m = )(lim n n mE ∞

→.

三、大题

1、（0，1)与()+∞∞-,对等么？说明理由. 答：对等. )2

tan()(π

π-

=x x f 是（0，1)到),(+∞-∞的一一对应. 2、依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛的么？回答，并证明或举例. 答：不一定.例如：取(]1,0=E ，将E 二等分，定义两个函数：

????

?∈∈==]1,21(,3]21,0(,1)()()1(11x x x g x f ， ??

???

∈∈==]

1,21

(,1]21,0(,3)()()1(22x x x g x f 将E 三等分，定义三个函数：

????

?

?∈==]

31,0(,3]31,0(,1)()()

2(13x x x g x f ，??????∈==]32

,31(,3]

32,31(,1)()()2(2

4x x x g x f ，

,]

1,3

2(,3]

1,32(,1)()()

2(35????

??∈==x x x g x f 则)}({x f n 为所求函数列，因为在每一点处)}({x f n 都不得有两个聚点1，3，从而)}({x f n 处处不收敛； 又因为,0>?σm j ,1=?，有01

l i m

]|3[|lim )

(==≥-∞→∞

→m

g mE m m j

m σ.而当∞→m 时，一定有∞→n ，所

以,0>?σ0]|3[|lim =≥-∞

→σn n f mE ，从而)}({x f n 在E 上依测度收敛到1. 3、构造一列处处收敛但不依测度收敛的函数列. 答：取()+∞=,0E ，作函数列： ()(]()

???=+∞∈∈=.,2,1,,0,0,1 n n x n x x f n

显然()()∞→→n x f n 1，当E x ∈.

但是当10<<σ时，[]

()+∞=≥-,1n f E n σ，且()∞=+∞,n m .这说明{}n f 不依测度收敛于1.

4、求证：∑?∞

=+-=-12

1

0)1(1

1ln n n dx x x x . 证: 因x x x x x n n

ln 1ln 1∑∞

==-,而当)1,0(∈x 时,0ln ≤x x n , 故∑∑??∞=∞=+-==-12

11

01

)1(1ln 1ln n n n n dx x x x x x . 5、设∞

n me ?=.

证明： f 在E 上可积，则[]0,mE f =∞=而1

[]n n E f e ∞

==∞=

，又因{}n e 是单调减少集列且

1me mE <<∞,所以1

[]lim n n n n E f e e ∞

→∞

==∞=

=且1me mE ≤<∞，于是 l i m []0.n n m e m E f

→∞

==∞= 由L 积分的单调性得n

n n e e f dx n dx n me ≥=??

?.而根据L 积分的绝对连续性，

有0lim 0,n

n e me f dx →=?

于

是lim lim

0n

n e n n n me f dx →∞

→∞?≤=?

，即lim 0n n

n me ?=.

6、设()n f x 是E 上一列非负可测函数，且12()()()n f x f x f x ≥≥≥≥,lim ()()..n n f x f x a e →∞

=于E ， 证

明：当{}()n f x 中至少有一个可积时，有

()lim ()n E

E

n f x dx f x dx →∞=?

?.

证明：由题设知，存在0n ，使0()n f x 是E 上的可积函数，又由于 000012()()()()0n n n n k f x f x f x f x +++≥≥≥≥≥

≥ ，

且

00()()

()n n E

E

f x dx f x dx n n ≥≥?

?，故当 0n n ≥时，()n f x 都是E 上的可积函数，于是由勒贝格

控制收敛定理有

()lim ()n E

E

n f x dx f x dx →∞=??

7、设)(x f 在],[b a 上绝对连续，且..0)(e a x f ≥'于],[b a ，则)(x f 为增函数. 证明:f 在],[b a 上绝对连续，所以对任意2121:],[,x x b a x x <∈，有2

1

21()()(),x x f x f x f t dt '-=?

又由于..0)(e a x f ≥'于[,]a b ,所以2

1

21()()()x x f x f x f t dt '-=

≥

?

2

1

00x x dt ?=?

，即),()(12x f x f ≥ 所以

)(x f 为增函数.

8、对[],f L a b ?∈，定义积分算子:T ()()()x

a

Tf x f t dt =?，将T 看成[][],,L a b C a b →的算子时，求

T 的范数.

解： (1)

记()1b

a f

f t dt =?，则

()()()max max

x

c

a

a x b

a x b

Tf

T f

x f t dt ≤≤≤≤==?

()(

)1max x b

a

a

a x

b f t dt f t dt f

≤≤≤≤=?? ，

所以0

1

sup

1c f Tf T f

≠=≤.

（2）取()[]01

,,f t t a b b a

=

∈-， 则110=f ，从而

10

1

sup c

c

f T Tf

Tf ==≥11max 1x

b a

a a x b

dt dt b a b a

≤≤===--?

?，于是1≥T .

综合（1）（2）得1T =. 大题知识点：

计算：求算子范数；计算勒贝格积分值；求积分的极限；计算积分（L逐项积分定理）；

证明：

与L积分性质相关的证明；

与积分的极限有关的证明（列维定理、L逐项积分定理、L控制收敛定理）；

可测函数列收敛性（p91-Riesz定理，p92-lebesgue定理）（书后原题）

压缩映射原理（见过）；

(书后原题)可测函数的判断与证明{知识点：可测函数定义及简单判定与连续函数性质结合（p51-11，p52-13）}