2015景润杯数学竞赛数学类试题

2015年景润杯数学竞赛专业组试题

1. （10分）证明： ()2f n n =- 是定义在整数集上满足下列条件

（1） 对所有整数n ，有(())f f n n =；

（2） 对所有整数n ，有((1)1)f f n n ++=；

（3） (0)2f =

的唯一整数值函数。

2. （10分）设函数，且，。求证：

3. （10分）函数()f x 在区间[0,1]上可导, 且满足()()f x f x '≤，[0,1]x ?∈， 以及(0)0f =, 求证: ()0, [0,1]f x x ≡∈。

4. （10分）设12, , , , n a a a 为任意的正数列, 求证存在不依赖于{}n a 的正常数A , 使得下列不等式成立

11121 n n n n n A a a a a ∞∞==≤+++∑∑ 。

5. （10分）设非负函数()[0,)f x C ∈+∞, 满足条件0lim ()()2x x f x f t dx B →+∞

=?，并且20()f x dx +∞

<+∞?。 求证：0B =。 6. （10分）设函数()f x 在区间[,]a b 连续，在点a 有n 阶导数, 且满足(1)()()()0,n f a f a f a -'''==???== ()()0n f a ≠，

()g x 在[,]a b 上连续，且不变号，且在点a 有m 阶导数, (1)()()()()0, ()0m m g a g a g a g a -'==???==≠，若()()()()x

x a a f t g t dx f g t dt ξ=??，(,)a x ξ∈。求证: 11lim 1n x a a m x a n m ξ+→-+??= ?-++??。

7.（10分）设()阶方阵满足。

（1）证明可逆；

（2）确定与的关系，并证明。

8.（15分）设是维线性空间的线性变换，是大于1的正整数。证明

9.（15分）设。试找出两个非常数多项式和，

使得

（1）可对角化；

（2）为幂零阵；

（3）。