贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数()
J x
n
第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()
Y x
n
第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()
H x
n
第一类变形的贝塞尔函数()
I x
n
开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数
在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分
方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 § 贝塞尔方程的引出
下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：
2222
22222
22222
0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)??????
???
用分离变量法解这个问题，先令
(,,)(,)()u x y t V x y T t =
代入方程（）得
222
22()V V
VT a T x y
??'=+??
或
2222
2 (0)V V T x y a T V
λλ??+
'??==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程
20T a T λ'+= （）
22220V V
V x y
λ??++=?? （） 从（）得
2
()a t T t Ae λ-=
方程（）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件
222
0x y R V
+== （）
的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（）与条件（）写成极坐标形式得
22222110,,02, (5.7)
0,02, (5.8)
R V v V
V R V
ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤?????
?=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，
代入（）并分离变量可得
()()0θμθ''Θ+Θ= （）
22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （）
由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：
2220,1,2,,,n L L
对应于2n n μ=，有
0()2
a θΘ=
（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=L
以2n n μ=代入（）得
222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （）
这个方程与（）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换
r =，
并记
()F r P
=，
则得
222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.
这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。
由条件（）及温度u 是有限的，分别可得
()0
(0)P R P =???
<+∞
?? （） 因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（）在条件（）下的特征值与特征函数（（中第一个条件是在R ρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（）的解法，然后在§中再回过头来讨论这个特征值问题。 § 贝塞尔方程的求解
在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为
22
222
()0d y dy x x x n y dx dx
++-= （） 其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。
设方程（）有一个级数解，其形式为
2
0120
()c
k
c k k k k y x a a x a x a x a x ∞
+==+++++=∑L L ，00a ≠ （）
其中常数c 和(0,1,2,)k a k =L 可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（）来确定。
将（）及其导数代入（）后得
2
20
{[()(1)()()]}0c k k k c k c k c k x
n a x ∞
+=++-+++-=∑
化简后写成
2
2
2
2
1
220122
()[(1)]{[()]}0c
c c k k k k c n a x c n a x
c k n a a x ∞
++-=-++-++-+=∑
要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0a c n -=； 2°221[(1)]0a c n +-=；
3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+==L 。
由1°得c n =±，代入2°得10a =。先暂取c n =，代入3°得 4°2
(2)
k k a a k n k --=
+。
因为10a =，由4°知13570a a a a =====L ，而246,,,a a a L 都可以用0a 表示，即
22(22)
a a n -=
+，
424(22)(24)
a a n n =
++g ，
6246(22)(24)(26)
a a n n n -=
+++g g ，
…
20
2(1)2462(22)(24)(22)
(1)2!(1)(2)()
m
m m m
a a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++g g L L L .
由此知（）的一般项为
202(1)2!(1)(2)()
m n m
m
a x m n n n m +-+++L 0a 是一个任意常数，让0a 取一个确定的值，就得（）得一个特解。把0a 取作
01
2(1)
n
a n =
Γ+ 这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：
()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++L
使分母简化，从而使（）中一般项的系数变成
221
(1)2!(1)
m
m n m
a m n m +=-Γ++ （） 这样就比较整齐、简单了。
以（）代入（）得到（）的一个特解
2120
(1)(0)2!(1)n m
m
n m m x y n m n m +∞
+==-≥Γ++∑
用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作
220
()(1)(0)2!(1)n m
m
n n m m x J x n m n m +∞
+==-≥Γ++∑ （）
至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。
当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有
220
()(1)(0,1,2,)2!()!n m
m
n n m m x J x n m n m +∞
+==-=+∑L （）
取c n =-时，用同样的方法可得（）的另一特解
220
()(1)(1,2,)2!(1)!n m
m
n n m m x J x n m n m -+∞
--+==-≠Γ-++∑L （）
比较（）式与（）式可见，只要在（）右端把n 换成n -，即可得到（）式。因此不论n 式正数还是负数，总可以用（）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（）的通解为
()()n n y AJ x BJ x -=+ （）
其中,A B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数的情况，方程（）的通解除了可以写成（）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成（）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（）的一个特解
()cot ()csc ()
()cos ()
()
sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ
--=--=
≠整数（） 显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，（）的通解可以写成
()()n n y AJ x BY x =+ （）
由（）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§ 当n 为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（）的通解由（）或
（）式确定，当n 为整数时，（）的通解应该是什么样子呢
首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。事
实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（）中，
1
(1)
N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-L 时均为
零，这时级数从m N =起才开始出现非零项。于是（）可以写成
2224
24()(1)2!(1)! (1){}2!2(1)!2(2)!2!
(1)()
N m
m
N n m
m N
N N N N
N N N N N x J x m N m x x x N N N J x -+∞
--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑L
即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。
取哪一个特解自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为
()cos ()
()lim
()sin n n J x J x Y x n ααααπαπ
-→-=为整数 （） 由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限为“0
”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得
21
00200(1)()2212()()(ln )2(!)1
m m m m k x
x Y x J x c m k ππ∞
-==-=+-+∑∑
210211
0002
1(1)!()()(ln )2!2(1)()1112 (),(1,2,3,)!()!11
n m
n n n m m n m
n m m m k k x n m x Y x J x c m x n m n m k k πππ-+-=+∞+--===--??
=+- ?
??
--+=+++∑∑∑∑L （） 其中111lim(1ln)0.557223n c n
→∞
=++++-=L L ，称为欧拉常数。
根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与
()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷
大）。
综上所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程（）的通解都可表示为
()()n n y AJ x BY x =+
其中,A B 为任意常数，n 为任意实数。 §贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。
先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。 在（）中令0n =及1n =得
246202426222
()1(1)22(2!)2(3!)2(!)
k k
k x x x x J x k =-+-++-+L L
35721135721()(1)222!22!3!23!4!2!(1)!
k k
k x x x x x J x k k ++=-+-++-++L L g g g g g g g
取出第一个级数的第2k +项求导数，得
2221
21122222221(22)(1)(1)(1)2[(1)!]2[(1)!]2!(1)!
k k k k k k
k k k d x k x x dx k k k k ++++++++-=--=--+++ 这个式子正好是1()J x 中含21k x +这一项的负值，且知0()J x 的第一项导数为零，故得关系式
01()()d
J x J x dx
=- （） 将1()J x 乘以x 并求导数，又得
2422132132122222222
[()][(1)]222!2!(1)!
(1)22(!)
[1(1)]
22(!)k k
k k k
k k k
k d d x x x xJ x dx dx k k x x x k x x x k +++=-++-++=-++-+=-++-+L L g g L L
L L
即
10[()]()d
xJ x xJ x dx
= （） 以上结果可以推广，现将()n J x 乘以n x 求导数，得
22202121
1[()](1)2!(1)(1)2!()()
n m n m
n n m m n m n m
n m m n n d d x x J x dx dx m n m x x m n m x J x +∞+=+-∞
+-=-=-Γ++=-Γ+=∑∑
即
1[()]()n
n n n d x J x x J x dx
-= （） 同理可得
1[()]()n
n n n d x J x x J x dx
--+=- （） 将（）和（）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得
1()()()n
n n xJ x nJ x xJ x -'+= 及 1()()()n
n n xJ x nJ x xJ x +'-=-. 将这两式相减及相加，分别得到
112
()()()n n n J x J x nJ x x
-++=
（） 11()()2()n n n
J x J x J x -+'-= （） 以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（）式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。
第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式
11
1111[()]()[()]()2()()()
()()2()
n n
n n n n n n n n n n n n d x Y x x Y x dx d x Y x x Y x dx
n
Y x Y x Y x x Y x Y x Y x ---+-+-+?=??
?=-???+=??
'?-=? （） 作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算
12()J x ，1()J x -。由（）可得
1
22
120
(1)()()32!()
2
m m m x J x m m ∞
+=-=Γ+∑
而
13135(21)1()()222m m m ++Γ+=Γ=g g g L g 从而
21120(1)()(21)!m m J x x x m ∞+=-==+ （） 同理，可求得
12()J x x -=
（） 利用递推公式（）得到
3212123
2
32
1
()()()1
cos sin )
1sin ()1sin (
)()J x J x J x x x x x d x x dx x d x
x dx x
-=-=-+==g
同理可得
3232121211cos ()()()()()d x
J x J x J x x x dx x
--=-=
一般而言，有
1
2
12
1sin ()(1)(
)()n n n d x
J
x x dx x
+
+
=-
12
1
()
2
1cos ()(
)()n n d x
J
x x dx x
+
-+=
（） 这里为了方便起见，采用了微分算子1(
)n d x dx
，它是算子1d
x dx 连续作用n 次的缩写，例如21sin 11sin ()()[()]d x d d x
x dx x x dx x dx x
=，
千万不能把它与1n n n d x dx 混为一谈。
从（）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。 §函数展成贝塞尔函数的级数
利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数
按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个
正交系。
贝塞尔函数的零点
在§中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：
222()()()()0,0,(5.34)
()0, (5.35)(0)(). (5.36)
r R r P r rP r r n P r r R P r P λ=?'''++-=<
=??
<+∞?自然边界条件 方程（）的通解为
()))n n P r AJ BY =+，
由条件（）可得0B =，即
())n P r AJ =
利用条件（）得
)0n J = （）
这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值λ必须要计算()n J x 的零点。()n J x 有没有实的零点若存在实的零点，一共有多少个关于这些问题，有以下结论：
1°()n J x 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x 轴上关于原点实对称分布的，因而()n J x 必有无穷多个正的零点。
2°()n J x 的零点与1()n J x +的零点是彼此相间分布的，即()n J x 的任
意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个1()n J x +的零点。
3°以()n m μ表示()n J x 的非负零点（1,2,m =L ），则()()
1n n m m μμ+-当m →∞
时无限地接近于π，即()n J x 几乎是以2π为周期的函数。
0()J x 与1()J x 的图形见图。
为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详细计算出来，并列成表格。下表给出了()n J x (0,1,2,,5)n =L 的前9个正
零点()
(1,2,,9)n m
m μ=L 的近似值：
利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（）的解为
()
n m
μ=（1,2,m =L ） 即
()
2(
)n m
n R
μλ=（1,2,m =L ） （）
与这些特征值相对应的特征函数为
()()(
)n m
m n P r J r R
μ=（1,2,m =L ） （）
贝塞尔函数的正交性
现在来讨论特征函数系()
() (1,2,)n m n J r m R μ??
=???
?L 的正交性，我们将要证明
()
()
222()2()
110,,()()()(),,22
n n R
m
k n n n n n m n m m k rJ r J r dr R R R R J J m k μμμμ-+≠??
=?=
=???
当当 （） 由于贝塞尔函数系()
(
) (1,2,)n m n J r m R μ??
=???
?L 是特征值问题（～）的特征函数系，所以它的正交性由§中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明§中的结论3。下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆－刘维尔理论的另一个具体例子。
下面就来证明（）。为了书写方便，令
()
1()(
)n m
n F r J r R
μ=，
2()()()n F r J r αα=为任意参数，
按定义，1()F r ，2()F r 分别满足
()22
11()[][()]()0n m dF r d n r r F r dr dr R r
μ+-=
22
22()[][]()0dF r d n r r F r dr dr r
α+-= 以2()F r 乘第一个方程减去以1()F r 乘第二个方程，然后对r 从0到R 积分得
()
2211220
210
()
[(
)]()()()
[]()()
[]0n R R
m
R dF r d rF r F r dr F r r dr R
dr dr dF r d F r r dr dr dr
μα-+-=???
即
()
2
2
12211200[(
)]()(){[()()()()]}0n R
R
m
rF r F r dr r F r F r F r F r R
μα''-+-=? 由此可得
211212()
22
[()()()()]
()()(
)R
n m
R F R F R F R F R rF r F r dr R
μ
α''-=-
-?
因()
1()()0n n m
F R J μ==，故上式可写成 ()
()()
21()()
2222
()()
()()()()()()n n n R
m m n n m n n n n m m J R J RF R F R rJ r J r dr R
R
R
μμαμαμμαα''=-=---?
（） 若取()
,n k k m R
μα=
≠，则
()()()0n n n k J R J αμ==，
从而（）的右端为零，即（）中第一个式子已得证。
为了证明（）中第二个式子，在（）两端令()n m
R
μα→
，此时（）
右端的极限是“00
”形式的不定型的极限，利用洛必达法则计算这个极限得
()
()()()
22
()2
()()()lim [()]22n m
n n n R
n m
m n m n n
n m R
J J R R R rJ r dr J R μαμμμαμα→''-'==-?
g 由递推公式
1()()()n
n n xJ x nJ x xJ x -'+= 1()()()n
n n xJ x nJ x xJ x +'-=- 及()
()0n n m
J μ=可知 ()()()
11()()()n n n n m n m n m J J J μμμ-+'==-
从而()2222()2()
110
()()()22
n R
n n m
n
n m n m R R rJ r dr J J R μμμ-+==?，这就是（）中第二个式
子。通常把定积分
()20
(
)n R
m
n
rJ r dr R
μ?
的正平方根，称为贝塞尔函数()(
)n m
n J r R
μ的模。
利用§中关于特征函数系的完备性可知，任意在[0,]R 上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数()f r ，只要它在0r =处有界，在r R =处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程 的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z
小宗量z 0 ，为欧拉常数 见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近 展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得 又可得 如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np
J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式 贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程 方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp
大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题 一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数 图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线 （在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。） 第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）： 上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的 形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介 绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。 如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系： 于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。 贝塞尔积分
α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出： （α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页） 这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为： 和超几何级数的关系 贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式： 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数） 图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）
贝塞尔函数及其应用
题目：贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式
目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。
第二类修正贝塞尔函数(Fortran代码)
调试日期：2011年9月13日星期二 程序说明：计算第二类修正贝塞尔函数的Fortran代码，参看徐士良先生的《Fortran常用程序算法集》 PROGRAM BSL_XSL DOUBLE PRECISION MBSL4,X OPEN(1,FILE='BSL.DAT',ACTION='WRITE') DO X=0.05,3,0.05 WRITE(1,*),X,MBSL4(0,X-0.01),MBSL4(1,X) ENDDO CLOSE(1) ENDPROGRAM FUNCTION MBSL3(N,X) DOUBLE PRECISION MBSL3,X DOUBLE PRECISION T,Y,P,B0,B1,Q,A(7),B(7),C(9),D(9) DATA A/1.0,3.5156229,3.0899424,1.2067492, * 0.2659732,0.0360768,0.0045813/ DATA B/0.5,0.87890594,0.51498869,0.15084934, * 0.02658773,0.00301532,0.00032411/ DATA C/0.39894228,0.01328592,0.00225319, * -0.00157565,0.00916281,-0.02057706, * 0.02635537,-0.01647663,0.00392377/ DATA D/0.39894228,-0.03988024,-0.00362018, * 0.00163801,-0.01031555,0.02282967, * -0.02895312,0.01787654,-0.00420059/ IF (N.LT.0) N=-N T=ABS(X) IF (N.NE.1) THEN IF (T.LT.3.75) THEN Y=(X/3.75)*(X/3.75) P=A(7) DO 10 I=6,1,-1 10 P=P*Y+A(I) ELSE Y=3.75/T P=C(9) DO 20 I=8,1,-1 20 P=P*Y+C(I) P=P*EXP(T)/SQRT(T) END IF END IF IF (N.EQ.0) THEN MBSL3=P RETURN
贝塞尔函数
贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =
代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）
贝塞尔函数
6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 2 2 2 222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,) tt xx yy x y l t t t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ?ψ+===?=+≤+<>? =≥?? =??=?（6.1.1 ）
其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ?ψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 (,,)(,,)()(,) u x y t u t T t U ρ?ρ?==）得 2 2 0a T =（6.1.2） 2 2100 U U k U ρ? ρ′′′++=（6.1.3）
再令 (,)()() U R ρ?ρ?=Φ，得到2 ν′′Φ+Φ=(6.1.4) 2 22 2 ()0 R R k R ρρρν′′++?=（6.1.5） 于是(6.1.5)得到 22 d ()0d y x x y x ν+?=（6.1.6）
边界条件为 ()|()0 l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν x 和 可以为任意数．
贝塞尔函数的应用 数学物理方程
贝塞尔函数的应用（11.13） 形如 222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-= 的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。且 ()()v f x J x = 是方程的一个解。此外，当v 不是整数时， ()()v f x J x -= 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C J x -=+ 当v 是整数时， ()()v f x Y x = 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C Y x =+ 问题1：考虑极坐标下的二维波动方程 212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++ (,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ=== 根据变量分离法，首先假设 (,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ 代入原微分方程后可得
212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--??Θ=Θ+Θ+Θ?? 移项整理可得 1222''()''()()'()()()''()0()()() T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此 22''()()0T t c T t μ+= 同时 1222''()'()''()0()() R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此 2''()()0v θθΘ+Θ= 2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-= 分别求解上述三个微分方程 对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此 (,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+ 即 ()(2)θθπΘ=Θ+ 由于其通解为 012()(cos sin ) e C v C v θθθΘ=+ 同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++
贝塞尔函数
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数 是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法 对其进行定性分析。 这里，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为n 是整数，对 应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对 α和-α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0点的不 光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链 振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路 易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国 数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问 题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程 时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有： * 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题； * 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题； 贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径 方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各 阶类似振动形态的叠加。
7贝塞尔函数
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。 中文名贝塞尔函数外文名Bessel Function意义一类特殊函数的总称方程的解无法用初等函数系统地表示命名F.W.贝塞尔的姓氏分类数学 目录 1 基本概念 2 基本内容 3 分类 4 应用范围 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带
来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日
Bessel函数应用例
《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例 组别：第十三组 小组成员：唐文岐、高成振、 林慧平、邹三泳、 郭凯
目录 封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23)
文章说明： 本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。 摘要： 物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。 关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数
第五章_贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所
以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 222 22()V V VT a T x y ??'=+?? 或
贝塞尔函数释疑
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科） 一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中Bessel 方程来源 1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得
地下水动力学中Matlab的运用(井函数与贝塞尔函数)
地下水动力学中Matlab的运用 一、越流含水层中贝塞尔函数的实现 越流含水层中地下水向承压水井运动的问题中，贝塞尔函数大量运用，其中精确解中运用了零阶第二类虚宗量Bessel函数，一阶第二类虚宗量Bessel函数。 经简化后的Hantush-Jacob公式中也零阶第二类虚宗量Bessel函数。 在配线法中使用的是Hantush-Jacob公式，需要在双对数纸上绘制曲线，而这在Matlab中很容易实现。Matlab中内置大量函数，其中包括五类Bessel函数，即besselj(nu,Z)、bessely(nu,Z)、besselh(nu,Z)、besseli(nu,Z)、besselk(nu,Z)，分别对应第一类贝塞尔函数，诺依曼函数，汉克尔函数，第一类修正贝塞尔函数以及第二类修正贝塞尔函数。而我们利用的即为第二类修正贝塞尔函数，相应的语句及图像如下： x=0:0.01:10; y0=besselk(0,x); y1=besselk(1,x); loglog(x,y0,x,y1); grid on;
二、井函数的实现 地下水向完整井的非稳定运动中需要运用井函数，其指数积分式为 在Matlab中利用quad或quad8等积命令可实现求其近似值。但Matlab中内置的Maple函数库中包含Ei函数，但不可直接显示其函数值，可直接利用mfun函数调用Matlab中的Maple函数库，以达到求值的要求。相应的语句及图像如下：for i=1:160 u(i)=10^(-15+i/10); %生成等比数列，便于画双对数坐标图像 end for i=1:160 w(i)=mfun('Ei',1,u(i)); end loglog(u,w); grid on; U10-1510-1410-1310-1210-1110-10 W(u)33.961560731.65897629.35639127.05380524.75122022.448635 U10-910-810-710-610-510-4 W(u)20.14605017.84346515.54088013.23829610.9357208.633225 U10-310-210-1100101
贝塞尔函数
贝塞尔函数 1.贝塞尔方程及解: 令()()()(),,=R ,u ?τ?τΦZ 为分离变量的解，则()R ,满足本征值问题的方程， 2222210R dy dR m R dx d ω???++-= ???? （17.1.1） 其中2ω是分量的本征值问题的本征值。 若作变换()R()R()y(x);m x x x ωλνω =====或； 则上面方程可以变换：2//2/2(x )y 0x y x y ν++-= （17.1.1a ） 当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为： (x)AJ (x)BJ (x)y νν-=+ 当ν=整数时，由于J m -=(1)(x)m m J -，因此通解为 (x)AJ (x)BY (x)m m y =+ 式中A 与B 为任意常数，J (x)m 与Y (x)m 分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。 2.贝塞尔方程的的级数解 二阶线性齐次常微分方程2'''22(x )y 0,0x y xy x b υ++-=≤≤ 为贝塞尔方程 现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式 由p(x)=1x ,q(x)=1-22x ν可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)
的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式; 00n k k p k k k k y x C x C x ∞∞ +===∑=∑ 2.1.1 2.2指标方程 将2.1.1代入贝塞尔方程可得： 22300(k )0k p k k k k k C x C x ρρν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 2.1.2 由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得： 220()C 0x ρρν-= 因0C 0≠，即得指标方程220ρν-=。由此得指标 1,ρν= 2ρν=- 2.3．系数递推公式 为确定起见，令ν>0，并将ρ=1ρ=ν代入2.1.2中得到 22200(k )0k k k k k k C x C x νννν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 改变第二项的求和指标，可得 202k(k 2)0k k k k k k C x C x ννν∞∞ ++-==∑++∑= 由x 的同次幂数之和为0，1(12)0C ν+= 2k(k 2)0k k k C C ν-++= 由此得
bessel函数
新疆大学 《数学物理方法》课程教学大纲 英文名称：Methods of Mathematical Physics 课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课 总学时：64＋64 学分：8 适用对象：物理系各专业民、汉本科生 先修课程：《高等数学》、《线性代数》 使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版； 参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。 《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。 一、课程性质、目的和任务 《数学物理方法》是为物理专业篇写的。它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。 对于物理专业来说，我们认为，“数学物理方法”不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。它是数学课程，又是物理课程。在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。 二、教学基本要求 本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。 三、教学内容与要求 第一章：复数与复变函数 教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。 教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。 第二章：解析函数 教学内容：复变函数的可微性与解析函数概念，初等解析函数及其特性。 教学要求：1．了解初等多值解析函数(对数函数及一般幂指数函数)的定义及计算。 2．一般掌握初等单值解析函数及其特性。 3. 重点掌握复变函数的可微性与解析函数概念。 第三章：Cauchy定理、Cauchy积分 教学内容：复变函数的积分，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。 教学要求：重点掌握柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。 第四章：解析函数的幂级数表示
Bessel方程及Bessel函数
第一部分 Bessel 函数 (阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。) 一、Bessel 方程及其通解 0)(2 2 2 2 2 =-++y n x dx dy x dx y d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。 ●当n 为整数时，（1）式的通解为 )()(x BY x AJ y n n += （2） 其中，A 、B 为任意实数； )(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数； )(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。 ●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式 )()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4） 其中，A 、B 为任意实数； )(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。 另外，Bessel 方程的通解还可以表示为 )()()2()1(x BH x AH y v v += 其中，)()()() 1(x iY x J x H v v v +=，)()()() 2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。 ●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0 x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0 x Y n x ，当所研究的问题的区域 包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。 例1：02 2=+'+ ''y x y x y x λ （10<≤x ） 此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为 )()(00x BY x AJ y λλ+= 另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为
贝塞尔函数
贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来
好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；
贝塞尔函数及其应用
题目: 贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式
目录 一、起源?错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出?错误!未定义书签。 （二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 ２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。 ３. 第三类贝塞尔函数 (9) 4. 虚宗量的贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 (三) 半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （四）贝塞尔函数的零点...................................................................... 错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性?错误!未定义书签。 三、 Fｏurｉeｒ-Bessｅl级数 (16) (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义............................................................ 错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (16) 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 (29)
贝塞尔函数
20.3.1 贝塞尔函数的递推公式 由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出 1J () J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d v v v v x x x x x -= (20.3.2) 以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足 上述递推关系． 若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x -= (20.3.3) 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4) 把两式左端展开, 又可改写为 1()()() v v v Z x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()() v v v Z Z x Z x x ν-'+= (20.3.6) 从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得 11()()2()v v v Z x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v v Z x Z x Z x x +-=-+ 即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式. 上式也可以写成为 11()()2() v v v v Z x Z x Z x x -++= （20.3.7） 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8） 任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数． 例 20.3.1 求 2 J ()d x x x ? 【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有 201 J ()J ()2J ()x x x '=- 2 1 1 1 1 1 1 1 J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c '=-=--'=-+=--+????? 20.3.2贝塞尔函数正交性和模 1．正交性 对应不同本征值的本征函数分别满足 2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)