中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题解题策略

专题攻略

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

例题解析

例? 如图1-1，抛物线213482

y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1-1

【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边．

△ABC 是确定的．由213482

y x x =

-+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．于是得到BA ＝4，BC ＝512

CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以5CF t =．因此4555(4)BF t t ==-．

于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：

①当BA BP BC BF =455(4)

t =-43t =（如图1-2）． ②当

BA BF BC BP =5(4)45t -207t =（如图1-3）．

图1-2 图1-3

例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴

上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连结O M ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图2-1

【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？

本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．

（1）如图2-2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．容易得到A (1,3)-．再由A (1,3)-、B (2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232333

y x x =-．（2）由2232333(1)3333y x x x =-=--，得顶点M 3(1,)3

-．所以3tan 3BOM ∠=

．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．

图2-2

（3）由A (1,3)-、B (2,0)，可得∠ABO ＝30°．

因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．

所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①当3BA OA BC OM ==时，23233

BC ===．此时C (4,0)（如图2-3）． ②当

3BC OA BA OM ==时，33236BC BA ==?=．此时C (8,0)（如图2-4）．

图2-3 图2-4

例? 如图3-1，抛物线y ＝ax 2

＋bx －3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图3-1

【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．

（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2

＋4x －3．

（2）由y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，得D (0,－3)，C (2, 1)．

如图3-2，由B (3, 0)、D (0,－3)、C (2, 1)，可知∠CBO ＝45°，∠DBO ＝45°．

所以∠CBD ＝90°，且21332BC BD ==．

图3-2 图3-3 图3-4

设点M 、N 的横坐标为x ，那么NM ＝－y M ，而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N 在A 右侧时，NA ＝x －1，分两种情况列方程：

①当

3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得103x =．此时M 107(,)39-（如图3-3）． ②当13

NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝6．此时M (6,－15)（如图3-5）．当N 在A 左侧时，NA ＝1－x ，也要分两种情况列方程： ①当

3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得83x =＞1，不符合题意（如图3-4）．

②当

NA BC

NM BD

==时，

(1)(3)3

x x

．解得x＝0，此时M(0,－3)（如图3-6）．

图3-5 图3-6

例?如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分∠OBA．点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果△ACP与△BPF相似，求直线CP的解析式．

图4-1

【解析】首先求得点C(3,0)．△ACP与△BPF中，相等的角在哪里啊？

①如图4-2，当点P在线段AB上时，△ACP与△BPF中，∠APC与∠BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的．可以求得F(0,－4)，于

是直线CF(CP)为

y x

=-．

②如图4-3，当点P在AB的延长线上时，△ACP与△BPF有公共角∠P．于是∠OFC＝∠PFB＝∠A，可

以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为

y x

=-+．

③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等．在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA．

图4-2 图4-3 图4-4

例?如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；

图5-1

【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(－4, 4)，B(－2,－2)．所以17

AO=，22

BO=，35

AB=，42

DO=．

△EOD∽△AOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．

由EO OD DE

AO OB BA

==，得

172235

==．所以217

EO=，65

DE=．

设点E的坐标为(x, y)，根据EO2＝68，DE2＝180，列方程组

68,

(4)(4)180.

x y

?+=

++-=

解得1

2 22, 8,

x y =

=-?

所以点E的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．

上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．

【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB∶OD＝1∶2，∠BOD＝90°．如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点．

按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′(4,－1)，点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,－2)．

如图5-3，点E(8,－2)关于直线OD（即直线y＝－x）对称的点为E′(2,－8)．

图5-2 图5-3

例?如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP交⊙A于点E，连结DE并延长交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t的值．

图6-1

【解析】△ABC是等腰直角三角形，⊙A是确定的，先按照题意把图形补充完整．

如图6-2，容易发现△ABP与△FBD有公共角∠B，如果根据对应边成比例列方程BA BD

BP BF

=或

BA BF

BP BD

=，

其中BA＝42，BP＝t，BD＝42＋2，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！

图6-2 图6-3 图6-4

我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．

△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：

第一种情况，如图6-3，∠BAP＝∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP ＝2∠D．

第二种情况，如图6-4，当∠BPA＝∠D时，在△ABP中，由于∠BAP＝2∠D＝2∠BPA，

因此45°＋3∠BPA＝180°．解得∠BPA＝45°．

此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t＝8．

解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA＝∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等．

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

中考数学压轴题解题策略(3)直角三角形的存在性问题解题策略(最新整理)

中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例? 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝．D 、E 为线段BC 上的两个45 动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1 【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝，所以BH ＝8．所以BC ＝16．45由EF //AC ，得，即．所以BF ＝．BF BE BA BC =31016BF x +=5(3)8x + 图1-2 图1-3 图1-4

中考数学(相似提高练习题)压轴题训练附详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE， ∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF， ∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE （2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°

∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，在△AEH与△FDH中， ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE， ∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．

2017年中考数学相似三角形压轴题(20200706220513)

相似三角形中考压轴试题、选择题 1. （2014 年江苏宿迁 3 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC , / ABC=90 °, AB=8 , AD=3 , BC=4 , 、填空题 1. (2015贺州)如图，在△ ABC 中，AB =AC =15，点D 是BC 边上的一动点(不与 B 、C 重合)，/ ADE = / B = Za, DE 交 AB 于点 E ,且 tan Za = 3 ?有以下的结论：①△ ADEACD ;②当CD =9时，△ ACD 4 与厶DBE 全等；③厶BDE 为直角三角形时， 21 24 BD 为12或：④0 v BE < ，其中正确的结论是 (填 4 5 入正确结论的序号) 三、解答题 1. (2014年福建三明14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为 A ( 2 , 0)，与y 轴的交点为C ,对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B . (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 经过B , C 的直线I 平移后与抛物线交于点 M ,与x 轴交于点 N ，当以B , C , M , N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 M 的坐标； (3) 若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点 P ,使得△ PBD ◎△ PBC ?若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 点P 为AB 边上一动点，若△ PA ^ PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是【 A. 1个 B. 2个 D. 4个 C. 3个 C

2 2. (2014年湖北十堰12分)已知抛物线C i: y=a(x+1)—2的顶点为A，且经过点B (- 2 , - 1). (1 )求A点的坐标和抛物线C i的解析式； (2)如图1,将抛物线 6向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C , D两点，求S A OAC : S A OAD 的值； (3)如图2，若过P (-4 , 0), Q (0 , 2 )的直线为I,点E在(2)中抛物线C?对称轴右侧部分(含顶点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m，使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由. 3. (2014 年湖南郴州10 分)如图，在Rt △ ABC中，/ BAC=90。，/ B=60 °C=16cm , AD 是斜边 BC上的高，垂足为D, BE=1cm .点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH .点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为t (s). (1 )当t为何值时，点G刚好落在线段AD 上? (2)设正方形MNGH与Rt △ ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP，当t为何值时，△CPD等腰

2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题

专题等腰三角形存在性问题题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）直接写出∠ABC的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当t=1时，求△ACP的面积．（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的相似三角形问题例1：如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1 满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入 k y x =，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入 8 y x =，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．所以S△ABC＝1 2 BA BC ?＝ 1 2242 2 ??＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况： ①如图3，当CE AD CA AC =时，CE＝AD＝22．图2

此时△ACD≌△CAE，相似比为1． ②如图4，当CE AC CA AD =时， 210 21022 =．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4 例2：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2 满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况： ①如果BP BA BQ BC =，那么 510 848 t t = - ．解得t＝1． ②如果BP BC BQ BA =，那么 58 8410 t t = - ．解得 32 41 t=．

九年级相似三角形压轴题

初三相似三角形压轴题一．选择题（共1小题） 1．（2013?江干区一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上，∠ABC=90°且AB=3AD，则tanα=（） A．B．C．D．二．填空题（共3小题） 2．（2013?宁波模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x 轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E， F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x 的函数关系式为． 3．（2012?南岗区一模）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E在边AD上，且AE：DE=1：3，连接BE，BE与AC相交于点M，若AC=6，则M0的长是． 4．（2004?深圳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．

三．解答题（共12小题） 5．（2012?重庆模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长． 6．（2012?亭湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM=∠CAH；（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为． 7．（2011?莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

中考数学压轴题常见辅助线

一、添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

中考压轴题等腰三角形存在性问题 -

中考压轴题等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射．动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题．在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类．原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．【答案】（122）或（122）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中，令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）．

数学“存在性”问题的解题策略(含解答)-

数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根， 390cos 5 a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且， 3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==903 5 cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴， ∵ ∴，，a b c ===91215 设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2 2 12319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 12122 31920+=+=-+() ∴x x x x x x m m m 1222 12212222312920+=+-=+--+()[()]() =+-736312 m m 由，x x c c 12 22 2 15+== 有，即7363122573625602 2 m m m m +-=+-= ∴，m m 124647 ==-

相似三角形选择压轴题精选

2014年1月发哥的初中数学组卷.选择题（共30小题） 1. （2013?南通）如图.Rt△ ABC内接于O O BC为直径，AB=4, AC=3 D是忑的中点，CD与AB的交点为E,贝偿等 DE 2. （2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中, AD// BC / BCD=90，/ ABC=45 , AD=CD CE平分/ ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE连接AF交CE于点G 连接DG交AC于点H,过点A作AN L BC垂足为N, AN交CE于点 M则下列结论；①CM=AF②CELAF;3A ABF^A DAH④GD 平分/ AGC其中正确的个数是（） J k\ C X F A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. （2013?海南）直线I1//I2//I,且l 1与l 2的距离为1, 12与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图 4. （2013?德阳）如图，在OO 上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q, 已知：OO半径为-,tan / ABC』，则CQ的最大值是（） 2 4 B. C. 3 D. AC与直线丨2交于点D,则线段BD的长度为（） C.- D.- rr4 于（） A. 4

OD=AD=3寸，这两个二次函数的最大值之和等于（ ) 5. （2012?宁德）如图，在矩形 ABCD 中, AB=2 BC=3 点 E 、F 、G H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF// AC// HQ EH// BD// FQ A . (1) ( 2) (3) B. ( 1) (3) C. (1) (2) D. (2) (3) A （4, 0）, O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点 O, A ）,过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数 y 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 BC,射线OB 与 AC 相交于点D.当B.丄 D. 20 T C. 2 ii D. 2. | ； 6. （2012?泸州）如图，矩形 ABCD 中, E 是BC 的中点，连接 AE ,过点E 作EF 丄AE 交DC 于点F ,连接AF.设一^ =k , F 列结论：（ABE^A ECF （2） AE 平分/ BAF （ 3）当 k=1时，△ ABE^A ADF 其中结论正确的是（ 7. （2012?湖州）如图，已知点 A . 5 A. . I

中考压轴题之相似(含非常详细的解答)

因动点产生的相似三角形例1：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2 思路点拨 1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ． 3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况： ①如果BP BA BQ BC =，那么 510 848 t t = - ．解得t＝1． ②如果BP BC BQ BA =，那么 58 8410 t t = - ．解得 32 41 t=．图3 图4 （2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝4 5 ，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以AC CD QC PD =，即 684 43 t t t - =．解得 7 8 t=．

图5 图6 （3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．例2：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得3 3 a = ．

二次函数压轴题之正方形存在性

正方形存在性问题作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点; 甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．

2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案

2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案一、相似 1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，解得：t=3（s），所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA?DC= （9-t）?18=81-9t．在△AMC中，AM=2t，BC=9， ∴S△AMC= AM?BC= ?2t?9=9t． ∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．由计算结果发现：在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA：AB=AM：BC 时，△NAP∽△ABC，那么有：（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC； ②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似

2017年中考数学相似三角形压轴题

相似三角形中考压轴试题一、选择题 1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题 1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE= ∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4 ．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5 ，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．三、解答题 1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1： 2 yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与 y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由． 3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°BC，=16cm，AD是斜边 BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CP是D等腰三角形？

2017年挑战中考数学压轴题(全套)

第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题第二部分图形运动中的函数关系问题 §2．1 由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的计算说理问题 §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

【压轴题】动点存在性问题集锦

【压轴题】动点存在性问题集锦 1如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，1），直线，y ＝k x +m 的图象与该二次函数的图象交于A ,B 两点，其中，点A 坐标为（52，13 4 ），点B 在Y 轴上，直线与x 轴的交点为 F , P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作X 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点．（1)求k 、m 的值及这个二次函数的解析式； (2)设线段PE 的长为h,点P 的横坐标为x,求h 与x 之间的函数关系，并写出自变量x 的取值范围； (3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在点p ，使得以点P 、E 、D 为顶点的三角形与△BOF 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 3已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

中考相似三角形专题复习2015-2018安徽中考相似压轴题

希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义学生：全慧第一讲相似三角形 1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若 322=-y y x , 则_____=y x ； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，，，4 D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ； 4．：若 43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a 5、已知，求代数式的值． 2、平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________．判定4.斜边和对应成比例的两个直角三角形相似常见的相似形式： 1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1）射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c

2017-2018学年最新中考数学压轴题解题策略《面积的存在性问题》

面积的存在性问题解题策略中考数学压轴题解题策略专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．例题解析例?如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线 y＝x2－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB 在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形 ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标．图1-1 【解析】先求出CB＝5，再进行两次转化，然后解方程．把上下两部分的面积比为1∶4转化为S上∶S全＝1∶5或S上∶S全＝4∶5．把面积比转化为点C的纵坐标为1或4． , 4)或(3－3, 4)．如图1-2，C (3, 1)．如图1-3，C(33

图1-2 图1-3 例?如图2-1，二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点M 的坐标为(1,－4)，AM 与y 轴相交于点C ，在抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB =S △BCM ，如存在，求出点P 的坐标．图2-1 【解析】△BCM 是确定的，△PBM 与三角形BCM 有公共边BM ，根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点C 画BM 的平行线与抛物线的交点就是点P ．一目了然，点P 有2个．由y ＝(x －1)2－4＝(x ＋1)(x －3)，得A (－1,0)，B (3,0)．由A 、M ，得C (0,－2)．如图2-2，设P (x , x 2－2x －3)，由PC //BM ，得∠CPE ＝∠BMF ．所以CE BF PE MF =．解方程2(1)4242 x x --+=，得25x =±．所以(25,225)P ++或(25,225)--．图2-2