排队模型

第一节基本概念

1.排队与排队系统

一队汽车在加油站加油，则等待服务(加油)的车辆和正在被服务的车辆与加油站构成一个排队系统。其中尚未轮到加油的依次等候的车辆自成一个行列，这个等待服务的车辆行列则简称为排队。故排队车辆或排队(等待)时间都是仅指排队本身而言；而排队系统中的车辆或排队系统(消耗)时间，则把正在接受服务的车辆也包含在内。

2.排队系统的三个组成部分

1)输入过程

是指各种类型的“顾客”(车辆或行人)，按怎样的规律到来。如：

●定长输入：顾客有规律地等距到达。

●泊松输人：顾客到来符合泊松分布。这种输人的应用最广泛，并且最容易处理。

●厄尔兰输入：顾客到达间隔符合厄尔兰分布。

2)排队规则

是指到来的顾客按怎样的规定次序接受服务。主要有三种制式：

●损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占用，该顾客就随即离去。

●等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占用，他们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务即按到达次序接受服务(这是最通常的情形)，有优先权服务(如救护车、消防车)等规则。

●混合制：如队长有限制的情形。顾客到达时，若队长小于N，就排人队伍；若队长等于N，顾客就离去。

显然，我们经常遇到的是先到先服务的等待制系统。

3)服务机构

第133页

是指同一时刻有多少服务设施可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。服务设施可以没有B盼员，也可以有一个或多个服务员。

服务台的个数可以是一个或几个，可以是单个服务，也可以是成批服务。例如公共汽车一次就装载大批乘客。服务时间分为：

●定长分布：每一顾客的服务时间都是同一常数。

●负指数分布：即每个顾客的服务时间相互独立，具有相同的负指数分布。

●厄尔兰分布：即每个顾客的服务时间相互独立，具有相同的厄尔兰分布。

为了今后叙述上的方便，引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布，0代表定长输入或服务，zk代表A阶厄尔兰分布的输入或服务，c代表一般随机分布。于是泊松输入、负指数服务、C个服务台的排队系统可以写为M／M／C；泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写为M／D／1。同样可以理解M／Ek／C、D／M／C等记号的含义。如果不附加其他说明，则这种记号一般都指先到先服务，单个服务的等待制系统。

当有必要将排队长度的限制和排队规则也表示出来时，可以在上面的记号后加上(N／Disc)，其中N代表许可长度的最大值，在Disc处填上采用的纪律符号。通常以FIFO表示先到先服务，LIFO表示后到先服务，S／RO表示随机服务，PR表示优先权服务。例如，Ek／D／2(O ／FIFO)表示一个具有厄尔兰到达、定长服务、两个服务台、排队长度不受限制及先到先服务的排队系统。

3』[队系统的主要特征量

1)系统内的顾客数，也称队长，其平均(期望)值用i表示。

2)系统内排队等待的顾客数，也称排队队长，其平均值用iq表示。任何排队系统中，系统内的顾客总数都等于排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和。

3)顾客在系统内的时间，指顾客在系统内的停留总时间，简称停留时间，其平均值用D／表示。

4)顾客在系统内的等待时间，指顾客进入系统后的排队等待的时间，简称等待时间，其平均值用wq表示。在任何排队系统中，顾客在系统内的时间都等于顾客排队等待时间与接受服务时间之和。

5)顾客到达时不必等待就接受服务的概率，用几表示，于是，系统内有n位顾客的状态概率用尸。表示。

第二节 M／M／1(田)排队模型

设顾客随机单个到达，平均到达率为^，则两次到达时间的平均间隔为1／A。从单通道接受服务后出来的输出率(即系统的服务率)为／J，则平均服务时间为l～。比率"…A～叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。如"《1(即^…／<)并且时间充分，每个状态将会循环出现。当"，1，每个状态是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长，没有限制。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够消散的条件是"《l，即A《／／。

以月。表示在M／M／1(n)系统内有n位顾客时的状态。假设时间间隔At-~O，则在厶f内有两名以及两名以上顾客接受服务或者有两名以及两名以上顾客到达的概率为厶J的高阶无穷小，可以不考虑。这样，在时刻…经厶c时间后的时刻(…+厶c)，Jn所处状态可能为： 1．在时刻t内"。—：状态，在厶c时间内有一位顾客到达；