弹簧类问题的几种模型和处理方法

弹簧类问题的几种模型及其处理方法

学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。

一、弹簧类命题突破要点

1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。

2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的

负值。弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。

二、弹簧类问题的几种模型

1．平衡类问题

例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将m1缓慢竖直

上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。

分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，，

其中，、分别是弹簧k1、k2的压缩量。

当用力缓慢上提m1，使k2下端刚脱离桌面时，，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量。

答案：m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1上升的高度为，增加的重力势能为。

点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。

例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是

A．7N，0 B．4N，2N C．1N，6N D．0，6N

分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。所以，此问题要分两种情况进行分析。

（1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、B受力分析可得：，

（2）若弹簧处于拉伸状态，则通过对A、B受力分析可得：，

答案：B、D。

点评：此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点，考查学生对问题进行全面分析的能力。有时，表面上两种情况都有可能，但必须经过判断，若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符，必须排除。所以，对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断。

平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况。只要学生静力学基础知识扎实，学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。

2．突变类问题

例3．（2001年上海）如图3所示，一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，小球处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时小球的加速度。若将图3中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图4所示，其他条件不变，求剪断细线l2瞬时小球的加速度。

分析：（1）当剪断细线l2瞬间，不仅l2对小球拉力瞬间消失，l1的拉力也同时消失，此时，小球只受重力作用，所以此时小球的加速度为重力加速度g。

（2）当把细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧时，在当剪断细线l2瞬间，只有l2对小球拉力瞬间消失，弹簧对小球的弹力和剪断l2之前没变化，因为弹簧恢复形变需要一个过程。如图5所示，剪断l2瞬间，小球受重力G和弹簧弹力，所以有：

，方向水平向右。

点评：此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题，学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决。

突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。所以，对于细线、弹簧类问题，当外界情况发生变化时（如撤力、变力、剪断），要重新对物体的受力和运动情况进行分析，细线上的弹力可以突变，轻弹簧弹力不能突变，这是处理此类问题的关键。

3．碰撞型弹簧问题

此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类，而其主要特点是与碰撞问题类似，但是，它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长，而碰撞类问题的作用时间极短。

例4．如图6所示，物体B静止在光滑的水平面上，B的左边固定有轻质的弹簧，与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿统一直线，则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是

A．A开始运动时 B．A的速度等于v时

C．B的速度等于零时 D．A和B的速度相等时

分析：解决这样的问题，最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化，明确两个物体在相互作用的过程中，其详细的运动特点。具体分析如下：

（1）弹簧的压缩过程：A物体向B运动，使得弹簧处于压缩状态，压缩的弹簧分别对A、B物体产生如右中图的作用力，使A向右减速运动，使B向右加速运动。由于在开始的时候，A的速度比B的大，故两者之间的距离在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的弹力越来越大，直到某个瞬间两个物体的速度相等，弹簧压缩到最短。

（2）弹簧压缩形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于压缩状态，A继续减速，B继续加速，这就会使得B的速度变的比A的速度大，于是A、B物体之间的距离开始变大，弹簧逐渐恢复形变直至原长。

（3）弹簧的拉伸过程：由于B的速度比A的速度大，弹簧由原长变为拉伸状态。此时，弹簧对两物体的弹力方向向内，使A向右加速运动，B向右减速运动，直到A、B速度相等时弹簧拉伸到最长状态。

（4）弹簧拉伸形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于拉伸状态，A继续加速，B继续减速，这就会使得A的速度变的比B的速度大，于是A、B物体之间的距离开始变小，弹簧逐渐恢复形变直至原长。

就这样，弹簧不断地压缩、拉伸、恢复形变。当外界用力压弹簧时，弹簧会被压缩，从而获得弹性势能，当弹簧开始恢复形变之后，它又会将所蓄积的弹性势能释放出去，这个蓄积和释放的过程，弹簧自身并不会耗费能量。能量在两个物体和弹簧之间进行传递。

点评：在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中，具有下面的特点：

（1）两个物体速度相等时，弹簧处于形变量（压缩或拉伸）最大的状态，弹簧的弹性势能达到最大。

（2）两个物体不停地进行着加速和减速运动，但加速度时刻在变化，所以有关两个物体运动的问题不能采用运动学公式来解决。但此模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统机械能守恒。

4：机械能守恒型弹簧问题

对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。

例5．一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B，它们竖直静止在水平面上，如图7所示。现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s 物体B刚要离开地面。求：

⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值。

⑵此过程中力F所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g=10m/s2）

分析：此题考查学生对A物体上升过程中详细运动过程的理解。在力F刚刚作用在A上时，A物体受到重力mg，弹簧向上的弹力T，竖直向上的拉力F。随着弹簧压缩量逐渐减小，弹簧对A的向上的弹力逐渐减小，则F必须变大，以满足F+T-mg=ma。当弹簧恢复原长时，弹簧弹力消失，只有F-mg=ma；随着A物体继续向上运动，弹簧开始处于拉伸状态，则物体A的受到重力mg，弹簧向下的弹力T，竖直向上的拉力F，满足F-T-mg=ma。随着弹簧弹力的增大，拉力F也逐渐增大，以保持加速度不变。等到弹簧拉伸到足够长，使得B物体恰好离开地面时，弹簧弹力大小等于B物体的重力。

答案：（1）开始时，对于A物体：，得弹簧压缩量是Δx=0.15m

B刚要离开地面时，对于B物体仍有：，得弹簧伸长量Δx=0.15m

因此A向上运动的位移是0.3m，由公式：求得：加速度是3.75m/s2。

所以：开始时刻F=ma=45N为拉力最小值；B刚要离开地面时F'-mg-kΔx=ma，得F'=285N为拉力最大值。

（2）拉力做的功等于系统增加的机械能，始末状态弹性势能相同。所以由和

，可得此过程中拉力做的功等于49.5J。

点评：此类题的关键是要分析出最大值和最小值时刻的特点，必须通过受力分析得出物体运动的详细过程特征，只要把物体做每一种运动形式的力学原因搞清楚了，这类问题就会迎刃而解。所以，学生在平时的训练中，必须养成良好的思维习惯，对于较复杂的物理过程，必须先分段研究，化一个复杂问题为若干个简单模型，针对若干个简单的物理情景，逐一分析出现这一物理情景的力学原因，当把每一个物理情景都分析清楚了，整个问题的答案就会水到渠成。

例6．如图8所示，物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水平面上。将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体B碰撞，碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中A、B不再分离。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力。求：

（1）A与B碰撞后瞬间的速度大小。

（2）A和B一起运动达到最大速度时，物体C对水平地面压力为多大？

（3）开始时，物体A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面？

分析：过程分析法：

第一阶段：A自由落体；

第二阶段：A、B发生碰撞，作用时间极短，时间忽略；

第三阶段：AB成为一体的瞬间，弹簧形变来不及发生改变，弹簧的弹力仍为mg，小于AB整体重力2mg，所以物体AB所受合力仍然为向下，物体仍然向下加速，做加速度减小的加速运动。当弹簧的弹力增大到正好为2mg时，物体AB合力为0，物体继续向下运动。

第四阶段：弹簧继续被压缩，压缩量继续增加，产生的弹力继续增加，大于2mg，使得物体AB所受合力变为向上，物体开始向下减速，直至弹簧压缩到最短，AB物体停止运动。所以，当物体AB所受合力为0时就是该物体速度最大的时候。

答案：（1）A自由下落由机械能守恒得：，求得

A与B碰撞，由于碰撞时间极短，由A、B组成的系统动量守恒得：。所以求得A与B碰撞后瞬间的速度大小

（2）由前面分析知，A和B一起运动达到最大速度的时刻，即为物体AB受合力为0的时刻：对C受力分析知地面对C的支持力。所以物体C对水平地面压力也为3mg。

（3）设物体A从距离B为H的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面。要使C 恰好离开地面，意味着当A上升到最高点时弹簧的弹力为mg，弹簧的伸长量为，A、B相碰结束时刻

弹簧的压缩量也为。所以，由A、B物体以及弹簧组成的系统，从A、B相碰结束开始到A、B上升到最高点的过程中，系统机械能守恒，初状态A、B的动能全部转化为末状态A、B的重力势能，弹性势能没有变化。所以有：

，求得：

点评：高中阶段的机械能守恒等式分为：“守恒式”、“转移式”和“转化式”三种，对于任何研究对象，无论是单个物体还是系统，都可以采用“守恒式”列等式，选好零势能面，确定初、末状态的机械能，此方法思路简单，但等式复杂，运算量较大。“转移式”只能针对一个系统，如两个物体A、B组成的

系统，，若A物体机械能减小，B物体的机械能一定增加，且变化量相等，A减小的机械能转移到B上导致B物体机械能增加。“转化式”体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外一种形式，在转化过程中总的机械能不变。即：，若物体或系统动能增加了，势能必然减小，且增加的动能等于减小的势能。

此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒，在这类模型中，一般涉及动能、重力势能和弹性势能，列等式一般采用“转移式”或“转化式”。

5．简谐运动型弹簧问题

弹簧振子是简谐运动的经典模型，有一些弹簧问题，如果从简谐运动的角度思考，利用简谐运动的周期性和对称性来处理，问题的难度将大大下降。

例7．如图9所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定。在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩。当弹簧被压缩了x0时，物块的速度减小到零。从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中，物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图像，可能是下图中的

分析：我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力，而弹力与形变量成正比，所以加速度与位移之间也应该是线性关系，加速度与位移关系的图像为直线。物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小关系应该是本题的难点，借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便。若物块正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时所受的合力也是mg，方向向上，所以弹力为2mg，加速度为g。现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于2mg，加速度必定大于g。

例8．如图10所示，一质量为m的小球从弹簧的正上方H高处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在压缩的全过程中（忽略空气阻力且在弹性限度内），以下说法正确的是

A．小球所受弹力的最大值一定大于2mg

B．小球的加速度的最大值一定大于2g

C．小球刚接触弹簧上端时动能最大

D．小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大

解析：本题是一个典型的简谐运动模型问题。可参考例8分析即可。

6．综合类弹簧问题

例9．质量均为m的两个矩形木块A和B用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k,将它们竖直叠放在水平地面上，如图13所示，另一质量也是m的物体C，从距离A为H的高度自由下落，C与A相碰，相碰时间极短，碰后A、C不粘连，当A、C一起回到最高点时，地面对B的支持力恰好等于B的重力。若C从距离A为2H高处自由落下，在A、C一起上升到某一位置，C与A分离，C继续上升，求：

（1）C没有与A相碰之前，弹簧的弹性势能是多少？

（2）C上升到最高点与A、C分离时的位置之间距离是多少？

解：过程分析法

（1）C由静止下落H高度。即与A相撞前的速度为，则：，得出：（2）C与A相撞，由动量守恒定律可得：得出：

（3）A、C一起压缩弹簧至A、C上升到最高点，由机械能守恒定律得：

得出

（4）C由静止下落2H高度时的速度为，则：

得出

（5）C与A相撞：得出：

（6）A、C一起压缩弹簧至A、C分离，由机械能守恒定律得：

得出：

（7）C单独上升X高度，由机械能守恒定律得：得出：

例10．如图12所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并

从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解：过程分析法

（1）开始时，A、B都静止，设弹簧压缩量为，则：得出：

（2）挂上C由静止释放，由B刚好离开地面得：得出：

（3）挂上C直至B刚好离开地面，由系统机械能守恒得：

其中为弹簧弹性势能的增加量

（4）若将C换成D后，当B刚好离开地面时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，得出：

以上两式联立得出：

综合类弹簧问题总结：综合类弹簧问题一般物理情景复杂，涉及的物理量较多，思维过程较长，题目难度较大。处理这类问题最好的办法是前面所述的“肢解法”，即把一个复杂的问题“肢解”成若干个熟悉的简单的物理情景，逐一攻破。这就要求学生具有扎实的基础知识，平时善于积累常见的物理模型及其处理办法，并具有把一个物理问题还原成物理模型的能力。