(完整版)历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书
及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11
10
det d d =???
? ?
?-=, v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(????--=
--++
????----=---=10
2
1
00
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (
u u
u u u u u u u u v v u
u
v u u u u u ?
-=1
2
d 1u u
u (*) 令u t -=1,则21t u -=
dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,
?+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
?
+-=10
42d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令?
=
20
d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3.曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,
即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =,故
y y y f x
'=''+)(1
,即))(1(1y f x y '-=
',因此 2
222)]
(1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''= 3
22
232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、(5分)求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ΛΛ 故
nx
n e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ΛΛ2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→ΛΛ
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++Λ
三、(15分)设函数)(x f 连续,?
=10
d )()(t xt f x g ,且A x
x f x =→)
(lim
,A 为常数,
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知,0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因?=
10
d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(1
===?f t f g ,
因此,当0≠x 时,?=
x
u u f x
x g 0d )(1)(,故 0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时,
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='?, 2
00000d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ??→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='??→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:
(1)??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ;
(2)2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 (1)y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ???
?????
?-??-??=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+=
?--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ???????
?-??
-??=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
而D 关于x 和y 是对称的,即知
y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
因此
??-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin (2)因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-Λ
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
?????+=+=----D
x y L
D
x y y y
y x e e y x e e x ye y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
?????+++=----D
x y L
D x
y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ??????+=+++=
---D
x x D
x x D y
y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=?
?-x x x e e x x
即 2sin sin 25d d π?≥--L y
y x ye
y xe 五、(10分)已知x
x
e xe y 21+=,x
x
e
xe y -+=2,x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=,x
x
e xe y -+=2,x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解,则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点,故1=c ,于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=??????+=+=? 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
??-+
=+=1
221
2
2
dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ???-+-+=10221031
042dt )1(94
dt )1(34dt x a x a a x a ππ
π
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ, 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+=', 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ?-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知,0=C , 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和:
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S 则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ?
-+= 令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、(10分)求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =,则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<,故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞ ∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑? ? ? ? 即 0()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? , 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑ ∑, 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==? ?? ? ∞+-∞ +-∞+∞+, 所以,当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞ (2)求2 1lim 1x x x e x -→∞ ?? + ??? 。 (3)设0s >,求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =? L 。 (4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ?? == ???,求2222g g x y ??+??。 (5)求直线10:0x y l z -=??=? 与直线2213 :421x y z l ---== --的距离。 解:(1)22(1)(1)(1)n n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++-L =2 2 2(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++-L =L =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞ ??+== ??? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== (3)00001120 21 011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====????L 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。 证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开: ''' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0,所以 lim ()x f x →+∞ =+∞,lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、(15分)设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ?=+>-? =?所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切,求函数()t ψ。 解:(这儿少了一个条件22d y dx = )由()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ,'2(1)e ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t ψ==+ 22 d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、(15分)设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明: (1)当1α>时,级数 1n n n a S α+∞ =∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1n n n a S α +∞ =∑发散。 解: (1)n a >0, n s 单调递增 当 1n n a ∞ =∑收敛时,1n n n a a s s αα ,而1n a s α收敛,所以n n a s α 收敛; 当 1 n n a ∞ =∑发散时,lim n n s →∞ =∞ 111 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x αααα----==?Q 所以,1111 1211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑?? 而 1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--? ,收敛于k 。 所以, 1n n n a s α ∞ =∑收敛。 (2)lim n n s →∞ =∞Q 所以 1 n n a ∞ =∑发散,所以存在1k ,使得 1 12 k n n a a =≥∑ 于是,1 1 1 12221 2k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推,可得存在121...k k <<< 使得1 12i i k n k n a s α+≥∑成立,所以11 2N k n n a N s α ≥?∑ 当n →∞时,N →∞,所以 1n n n a s α ∞ =∑发散 五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中2 2 2 1)αβγ++=的直线,均匀椭球 222 2221x y z a b c ++≤,其中(0,c b a <<<密度为1)绕l 旋转。 (1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解: (1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω ===?????????Q 2 22 2 2 2 22 2 23214 (1)15c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤- ==-=???? ?? ? 由轮换对称性, 2 32344 ,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω ==?????? 2232323444 (1) (1)(1)151515 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-??? 2222224 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- (2)a b c >>Q ∴当1γ=时,22max 4 ()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4 ()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线 积分 422()c xydx x dy x y ?++??的值为常数。 (1)设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 422()0;c xydx x dy x y ?+=+?? (2)求函数()x ?; (3)设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()c xydx x dy x y ?++??。 解: (1) L 不绕原点,在L 上取两点A ,B ,将L 分为两段1L ,2L ,再从A ,B 作一曲线3L , 使之包围原点。 则有 132 3 4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???-+++++=-+++???j i i (2) 令4242 2() ,xy x P Q x y x y ?= =++ 由(1)知 0Q P x y ??-=??,代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=- 上式将两边看做y 的多项式,整理得 2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+ 由此可得 '()2x x ?=- '435()()42x x x x x ??-= 解得:2 ()x x ?=- (3) 取' L 为4 2 4 x y ξ+=,方向为顺时针 0Q P x y ??-=??Q '''424242 2 42()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???π ξ - - ++++∴=++++= -=? ???i i i i 2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 一. 计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分) (1).求11cos 0 sin lim x x x x -→?? ??? ; 解:(用两个重要极限): () () 20003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-? ---→→----- -→-???? =+ ? ????? ===== (2).求1 11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++? ?; 解:(用欧拉公式)令111 ...12n x n n n n =+++ +++ 11 1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n n n n n + ++-++++++-+L L L 由欧拉公式得(),则(), 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量, -ln2o 1n x ∴=两式相减,得:(),lim ln 2.n n x →∞ ∴= (3)已知()2ln 1arctan t t x e y t e ?=+? ? =-?? ,求22 d y dx 。 解:222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()() 222222412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+??∴=?== ???g 二.(本题10分)求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解:设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ??==∴??Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设 dz Pdx Qdy =+ ()()() (),0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-??? ,P Q y x ??=∴??Q 该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-?? 三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且 ()()()'"0,0,0f f f 均不为 0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明:由极限的存在性:()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=???? 即 []()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()()()()() 1232 '''1230 230lim 2233lim 0 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()''' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →??++=?? 即 ()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()()()()() ()()()'''1230 """1230 ""1232233lim 24293lim 02 490000 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠Q 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231 231230490 k k k k k k k k k ++=?? ++=??++=?的解 设1231111123,,01490k A x k b k ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ??????? ,则Ax b =, 增 广 矩 阵 *111110031230010314900011A ?? ?? ? ?=- ? ? ? ????? :,则 ()(),3R A b R A == 所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1 233,3,1k k k ==-=。 四.(本题17 分)设222 1222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>, 2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面 到原点距离的最大值和最小值。 解:设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222 222,,1x y z F x y z a b c =++-, 则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为: 222,,,x y z t a b c ?? =∴ ??? r 1∑在点M 处的切平面为∏: ()()()2220x y z X x Y y Z z a b c -+-+-= 原点到平面 ∏ 的距离 为 d = ,令 ()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则 d = 现在求 ()222444,,, x y z G x y z a b c =++在条件 222 2221x y z a b c ++=, 222z x y =+下的条件极值, 令 ()()222 22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ??? 则由拉格朗日乘数法得: '1242'12 42'124 2222 22222222202220 222010 0x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ?=++=?? ?=++=???=+-=?? ?++-=???+-=?? , 解得2222 220x b c y z b c =???==?+? 或22 22220a c x z a c y ?==?+?? =?, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222,,a c G x y z a c a c +=+ 此时的1d = 2d =又因为0a b c >>>,则12d d < 所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为: 2d = 1d =五.(本题16分)已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面 的上半部分(0z ≥)取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,() ,,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算: (1)(),,S z dS x y z ρ??; (2)()3S z x y z dS λμν++?? 解:(1)由题意得:椭球面S 的方程为()2 22310x y z z ++=≥ 令22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===, 切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r , ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=, 原点到切平面∏的距离( )22231,,x y z x y z ρ ++= = ( )1,,S S z I dS x y z ρ∴==???? 将一型曲面积分转化为二重积分得:记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ () 22 221 210 323244sin xz D z x z r r dr I dxdz d π θθ??-+-∴==?? ?? 22221 2 32sin 32sin 44r r dr d π θθθ --== ? ? 431322 2422π??=-= ???g (2)方法一: 3x y z λμν= = = ( )2132S S I z x y z dS I λμν∴=++=== ???? 六.(本题12分)设f(x)是在 (),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、, 其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明: ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 证明:()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=- 由拉格朗日中值定理得:ξ?介于12,n n a a --之间,使得 ()()()() ()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----= - ()() ()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-= -, 又 ()() f mf ξξ<、得 ()() 'f m f ξξ< 111210...n n n n n a a m a a m a a ----∴-<-<<-01m < ∴级数1 10 1 n n m a a ∞ -=-∑收敛,∴级数 1 1 n n n a a ∞ -=-∑收敛,即 () 11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 七.(本题15分)是否存在区间 []0,2上的连续可微函数 f(x),满足 ()()021f f ==, ()()2 01,1f x f x dx ≤≤?、 ?请说明理由。 解:假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得: 1ξ?介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得: 2ξ?介于x ,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+- 即()()[]()()()[]'' 121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤Q 、, ()[]()[]11,0,1;13,1,2x f x x x x f x x x ∴-≤≤+∈-≤=-∈ 显然, ()()2 00,0f x f x dx ≥≥? ()()()()()1 2 2 1 2 1 1 111133 x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=?????()20 1f x dx ∴≥?,又由题意得()()22 00 1,1f x dx f x dx ≤∴=?? 即 ()2 1f x dx =? ,()[][] 1,0,11,1,2x x f x x x ?-∈?∴=?-∈?? ()()()()1 1111111lim lim 1,lim lim 1111 1x x x x f x f f x f x x x x x x + +-+ →→→→----====-----Q ()'1f ∴不存在, 又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()' 1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。 第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 (非数学类) (150分钟) 一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ (2)求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 (3)设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 (4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ??== ???,求2222g g x y ??+??。 (5)求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解:(1)22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== (3)0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? (4)略(不难,难得写) (5 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <。 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数,直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明: (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明:将双曲线图形进行45度旋转,可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是,中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大 全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ,则()f x =. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且 1≠'f ,则=22d d x y . 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()() g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 山东省大学生数学竞赛(专科)试卷及标准答案 (非数学类,2010) 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 一、填空(每小题5分,共20分). (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续,且2 ()3lim 2 x f x x →--存在,则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →,则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '?= . (1) 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、(5分)计算dxdy x y D ??-2 ,其中 1010≤≤≤≤y x D ,:. 解:dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名: 身份证号 所在院校: 年级 专业 线 封 密 注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 三、(10分)设)](sin[2x f y =,其中f 具有二阶 导数,求 2 2 dx y d . 解:)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、(15分)已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ,求a 的值. 解:) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ,-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ,故]1)23([3 13 --?- a = 3 1,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 第二届全国大学生数学竞赛(辽宁赛区)通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排,第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日(星期六)上午9:00—11:30举行,决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下: 一、参赛对象: 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容: 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容(高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容)。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何(均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容),所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人,各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发(参赛名单统一按Excel格式,见附件); 2、报名费为每人60元,由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号(收到款后开发票): 单位:xx师范大学 开户行:中国建设银行大连市分行,沙河口支行(辽) 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况,我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间:2010年11月6—7日。 2、阅卷地点:另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师:每参赛50人推荐1名阅卷教师(不足50人按50计算);并注明阅卷科目,同一个学校阅卷教师要分布在不同科目(分析、代数、几何、高等数学);阅卷教师推荐名单10月20日前用电子邮箱发给韩友发(名单统一按Excel格式,见附件);由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话: 邮箱: (收到此通知后务请回复) xx数学会2010年8月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任: xx(东北大学) 副主任: xx(大连理工大学) 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下: 一、函数、极限、连续 1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2.函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. 8.连续函数的性质和初等函数的连续性. 9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤). (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+,求()f x . 二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、(10分) 设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、(14分)设1n >为整数, 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 浙江省首届高等数学竞赛试题(2002.12.7) 一. 计算题(每小题5分,共30分) 1 .求极限lim x →。 2.求积分 |1|D xy dxdy -??,11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3.设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解,求常数,,,a b c h 。 4.设()f x 连续,且当1x >-时,20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ,求()f x 。 5.设21 1arctan 2n n k S k ==∑,求lim n n S →∞。 6.求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题(2003.12.6) 一.计算题 7.求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8.设31()sin x G x t t dt =?,求21()G x dx ?。 9.求2401x dx x ∞+?。 10. 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1.计算:( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2.计算:20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。 3.求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4.计算:()3max ,D xy x d σ?? ,其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+,求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明:存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. (1)证明:当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. (2)设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ,求()()05f 。 6. 对k 的不同取值,分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ,b 均为常数且2->a ,0≠a ,问a ,b 为何值时,有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a , ,,,n ,a a n n 321121=+=+,证明:n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数,且()1≤x f ,()1≤''x f ,证明:()2≤'x f ,[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设 第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题(每小题3分,共30分) 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2.设)(x f 连续,在1=x 处可导,且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x -2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f -2 . 4.设函数()u ?可导且(0)1?=,二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??,则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 -2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S -1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导,且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内,方程()0f x =有且仅有一个实根. 证明 由于当x a >时,,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减,从而'()'()0f x f a ≤<,于是又有()f x 严格单调减.再由()0f a >知,()f x 最多只有一个实根. 下面证明()0f x =必有一实根.当x a >时, 第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题(每小题3分,共30分) 1.?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2.设)(x f 连续,在1=x 处可导,且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x -2 . 3.设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy -1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f -2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6.设函数()u ?可导且(0)1?=,二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??,则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S -1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则,,且满足方程函数设4 1 . 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令,则,, (*) 令,则,,,, 2.设 是连续函数,且满足, 则____________. 解 令,则, , 解得。因此。 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(- 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,? =10 d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim ,A 为常数, 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案(非数学类) 2016年3月27日 一填空题(5×6分=30分) 1.程微分方 0)(y 3 ' '' ''=-y 的通解是_______ 解:令p ='y ,则'''y p =,则dx p dp 3=,积分得到12 2 1- c x p -=-,即 () x c y p -±= =1'21 ,积分得)(2y 12x c c -±=(2,1c 为常数). 2.设D:412 2 ≤+≤y x ,则积分()( )dxdy e y x I x D 4 y 2 22-+-??+=的值是_______ 解:)52(2 2sin e 434 1 4 20 2 1 2 2 4 2 -= ==? ? ?--e du ue e rdr e r d I u r π π θθπ(对称性和极坐标). ()ds s f x t ?=0 3.设()t f 二阶连续可导,且()t f 0≠,若 ()t f y = , 则 ______2 2=dx y d 解:()dt t f dx =,() dt t f dy ' =,所以()() t f t f dx 'dy = ,则得 ()()()()()() t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32 ''''22-=???? ??= 4.设1λ,2λ,…,n λ是n 阶方阵A 的特征值,()x f 为多项式,则矩阵() A f 的行列式的值为_______ 解: ()()()()n f f f A f λ λλ 2 1 = 5.极限[])!sin(lim e n n n π∞ →的值为________ 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案(非数学类) 2016年3月27日 填空题(5 >6分=30分) 1.程微分方 y 一 (y ) = 0的通解是 _________ 解:令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3 dx ,积分得到-g p ,= X -G ,即 ―1 _______________________ p = y = = _ ,积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) * 2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2 + y 2 兰4,则积分I = J ] (x + y 2 $專刊* dxdy 的值是 _____________________ t Xjf SdS 3. 设ft 二阶连续可导,且f t =o ,若 y 二f t , 则 a dx 2 I 解:dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ,所以史二U ,则得 dx f t d 2 y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2 dt i f (t )J dx f 3(t ) 4. 设'1,' 2,…,’n 是n 阶方阵A 的特征值,f X 为多项式,则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f (A 卜f (匕)f (扎 2 广f (匕) 5. 极限 lim.hsin (二n!e ) 的值为 ____ 解: 卫 2 2 I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2 廿 rdr 1 4 =—e^ ue 』du = — (2e 3 - 5)(对称性和极坐标) ■: 4 第十届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试题及 一、填空题(本题满分24分, 共4小题, 每小题6分) (1)设(0,1),α∈则() lim (1)n n n αα→+∞ +-=_______. (2)若曲线()y y x =由+cos +sin 1 y x t t e ty t =?? +=?确定,则此曲线在0t =对应点处的切线方程为 (3)23/2 ln((1) x dx x ++?= (4)2 01-cos lim x x →=_______. f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导,且,求函数f x -y 22(),使得曲线积分 2222 L ?y (2-f (x -y ))???? dx +xf (x -y )dy 与路径无关,其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线. f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续,且 .证明: 11 14 1) 3f (x )dx dx (f x ?≤≤? . 四 (本题满分12分)计算三重积分 22 ??? x +y ()dV (V ) (V ),其中是由222x +y +(z -2)≥4,222x +y +(z -1)≤9,0z ≥所围成的空心立体. 五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤,11(,)A x y ,22(,)B x y 是D 内两点,线段AB 包含在D 内。证明:1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤,其 AB ||AB 中表示线段的长度. )0(f x >六(本题满分14分) 证明:对于连续函数,有1 1 ln f (x )dx ≥? ?ln f (x )dx . 第二届全国大学生数学竞赛(辽宁赛区)通知根据全国大学数学竞赛委员会工作安排,第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010 年10 月30日(星期六)上午9:00—11:30 举行,决赛于2011 年3 月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。现将辽宁省赛区竞赛的具体事宜通知如下: 一、参赛对象: 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容: 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容(高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容)。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何(均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容),所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人,各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发(参赛名单统一按Excel格式,见附件); 2、报名费为每人60元,由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号(收到款后开发票): 单位: 辽宁师范大学 开户行:中国建设银行大连市分行,沙河口支行(辽) 帐号: 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况,我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间:2010年11月6—7日。 2、阅卷地点:另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师:每参赛50人推荐1名阅卷教师(不足50人按50计算);并注明阅卷科目,同一个学校阅卷教师要分布在不同科目(分析、代数、几何、高等数学);阅卷教师推荐名单10月20日前用电子邮箱发给韩友发(名单统一按Excel格式,见附件);由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 韩友发联系方式 电话: 邮箱: (收到此通知后务请回复) 辽宁省数学会 第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+部分答案 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2 第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类,2012) 本试卷共2页,共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。 一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)计算下列各题(要求写出重要步骤). (1)222220sin cos lim sin x x x x x x →- 22222222224 004200sin cos sin cos lim lim sin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=g g 解: (2) 13611lim tan 12x x x x e x x →+∞????+--+ ??????? 1236 1 32363 022******** 3200336(1tan )111112:lim 1tan 1lim 2(1tan )1(1tan )1 22=lim =lim 2(1tan )+12x t t x x t t t t t t t t t e t x e x x x x t t t t t e t t t e t t t t t t e t =→+∞→→→+--+????+--+???→?? ?????+---+---=+∞??+-+?? ?? 令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且 0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22y x ?? 2 22222 3 (,)0=()()()20 x x y y y xx yx x yx yy x y y x y xx x yx x yx x yy y y xx x yx x yy y y y x z z f x y x f y y f f x x f y y f f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =??+?=-????+-+?? ??=-=-??--+-+=- =-=解:依题意有,是函数,、是自变量将方程两边同时对求导第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
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