历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11
10
det d d =???
?
?
?-=， v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(????--=
--++
????----=---=10
2
1
00
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (
u u
u u u u u u u u v v u
u
v u u u u u ?
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
?+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
?
+-=10
42d )21(2t t t 15165132
21
53=
??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令?
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得3
4=
A 。因此310
3)(2-=x x f 。
3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22
22
-+=y x z 在
)
,(00y x 处的法向量为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知
0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''=
3
22
232)]
(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故
nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=
10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '
并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因?=
10
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===?f t f g ，
因此，当0≠x 时，?=x
u u f x x g 0
d )(1)(，故
0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='?， 2
00000d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ??→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='??→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ???
?????
?-??-??=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+=
?--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ???????
?-??
-??=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=- 因此
??-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
?????+=+=----D
x y L
D
x y y y
y x e e y x e e x ye y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
?????+++=----D
x
y L
D x y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ??????+=+++=
---D
x
x D
x x D y y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 20
sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=?
?-x x x e e x x 即2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
五、（10分）已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次
微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=??????+=+=? 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
??-+
=+=1
221
22dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ???-+-+=10221031
042dt )1(94
dt )1(34dt x a x a a x a ππ
π
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
45-=a ,2
3
=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='，
即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ?-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S
则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ?
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
解令2)(t x t f =，则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<，故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑? ? ? ? 即 ()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? ， 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑∑， 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==? ?? ? ∞+-∞ +-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1) (1),n n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞ ? ? + ??? 。 （3）设0s >，求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =? 。 （4）设函数 ()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ?? = = ??? ，求 2 222g g x y ??+??。 （5）求直线10 :0 x y l z -=?? =?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1) (1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1) (1)/(1)n a a a a -++-==1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ 全国大学生数学竞赛 百度简介 中国大学生数学竞赛 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 （非数学类） (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??== ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== （3）0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? （4）略（不难，难得写） （5 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数) 8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001. 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位:xx师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） xx数学会2010年８月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任： xx（东北大学） 副主任： xx（大连理工大学） B A 第21届“迎春杯”数学科普活动日 北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷 注意事项 1．本试卷共十二道题，共1页. 2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！ 问题一.计算:212)56 15 4213301120912731(3??-+-+ -的值为多少? 问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少? 问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … … 根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行? ② 在该行上从左向右数的第几个数? 问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值. 问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米? 问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条? 问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个? 问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222) 200320022001+-+. 求S 被2005除得的余数. 问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD . 如果△ABC 的面积等于a , 问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少? 问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的3 1 倒 入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的3 1 倒入甲容器,那 么三个容器中各有酒精3 1 千克.问甲容器中原来有酒精多少千克? 问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米? 参考答案及评分标准 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 2018 年全国初中数学联赛北京赛区获奖名单 一等奖（ 93 名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级王天齐男人大附中初三高国雄男北京二中分校初三张雨诗女清华附中初三李斯羽女清华附中初三曾冠宁男人大附中初三孙怿辰男北京二中分校初三刘陌溪男人大附中早八郭晟毓男十一学校初二鲍阳男北京二中分校初三李飞跃男十一学校初二张潇翰男北师大实验中学初一王惟雅女十一学校初三吴闻道男人大附中初三孙晓森女清华附中初二曹陈华睿男人大附中初三邹岳桐男人大附中初二谭立男人大附中初三赵轩男人大附中早七刘曜玮男人大附中早七李元桢男人大附中初三武正坤男人大附中早七李成竺男北京二中分校初三张世奇男人大附中早八罗方舟男人大附中早七周浩钧男人大附中早八王进一男清华附中初三王程男清华附中初三魏子淇男人大附中初三钟奕飞男十一学校初三仇成宇男清华附中初三高唯真男北京二中分校初三吴迪男北师大实验中学初二刘稼新男清华附中初二李效轩男北师大实验中学初三路原男清华附中初一周亚琪女清华附中初二姚亦李男人大附中初三侯翰飞男人大附中早八陈九如男人大附中早九贾天源男人大附中早八龙韬智男十一学校初二关乃粼男人大附中初一汪昕男人大附中早七王宇航男人大附中初三戴云初男北京二中分校初三马鸿远男北师大实验中学初三郭映阳男北师大实验中学初三李安之男北京二中分校初二张远洋男人大附中早七王誉景女北师大实验中学初二卢思翰男人大附中早六李沐冉女清华附中初三代奇岳男人大附中早七高萌彦男人大附中早九赵树祺男清华附中初三张皓中男人大附中早八李沐涵男人大附中早八李润时男清华附中初三周卞思宁男十一学校初三盖景初男人大附中初三李昊轩男人大附中早七高子昂男清华附中初一钱海天男人大附中早七钟嘉意男人大附中早八李沅臻男清华附中初三武远溪女北京二中分校初三肖子健男清华附中初一孙胤博男人大附中早七薄乃千男人大附中初二黄子萌男北师大实验中学初二王梓畅男人大附中早七许景粟男人大附中早七游天宇男人大附中早七田心洋男清华附中初二张绍博男清华附中初一陈誉霄男人大附中早八沈芸伍男清华附中初二闫昕男人大附中初一王雨轩男人大附中早八卜佳木男清华附中初三苏政渊男人大附中早九张海墨男人大附中早九葛皓天男人大附中早七王京逸男人大附中初三石昕潼男人大附中初一廖正阳男北京八中素五王孟晨男人大附中早九黄安辀男人大附中初一段睿思男清华附中初二蔡涵宇男人大附中早七董天诺男人大附中早八刘诺铭男人大附中初三严绍波男清华附中初三 2018年北京市中学生数学竞赛初二试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）． （A）25% （B）24% （C）23% （D）22% 2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形 （C）恰有两边相等的三角形 （D）恰有一个内角为60°的三角形 3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9 4．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）． ABCD （A）22 （B）25 （C）28 （D）32 （1）(2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分） 1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm． 2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________． 4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______． 5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________． 三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证： （1）a3+b3+c3=3abc； 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 2019-2020 北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题 （含答案） 1. 求证：若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆，且此圆半径不大于2 R ． 解析 如图，已知圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，垂足为P ，P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ，则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ，同理EF HG +也是此值，因此四边形EFGH 有内切圆． C F G P H D B E A 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠，故EP 平分FEH ∠，同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角，P 为 四边形EFGH 的内心．于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=．取到等号仅当P 为圆心时． 2. 如图(a)，已知O e 的直径为AB ，1O e 过点O ，且与O e 内切于点B ．C 为O e 上的点，OC 与1 O e 交于点D ，且满足OD CD >，点E 在线段OD 上，使得D 为线段CE 的中点，连结BE 并延长，与1O e 交于点F ，求证：BOC △∽1DO F △． (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F 解析 如图(b)，连结BD ，因为OB 为1O e 的直径，所以90ODB ∠=?，结合DC DE =，可得BDE △≌BDC △． 设BC 与1O e 交于点M ，连结OM ，则90OMB ∠=?，于是OM 平分COB ∠，从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠． 又因为BOC ∠，1DO F ∠分别是等腰BOC △，1DO F △的顶角，所以BOC △∽1DO F △． 3. I 是ABC △的内心，线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ，若3AB =，4AC =，且IBC DBC S S =△△， 求BC ． 解析 如图，设BC 与AD 交于E ，则IE ED x ==，2BD CD ID x ===，又设AE y =，由于在等腰三角形BCD 中，有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?，此即23x yx =，3y x =，故2AB AC AI BC IE +==，7 2 BC =．最新全国大学生数学竞赛简介
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