阶梯电价分析

阶梯电价的效用分析

摘要

2010年10月，国家发改委关于向社会公开征求居民生活用电实行阶梯电价意见时明确指出，在我国全面实行居民阶梯电价，居民阶梯电价的改革，体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。本文考虑阶梯电价实施前后两年的情况，进行对比分析，看看实施前后生活费的支出情况，支出的影响程度，进而进行模型的推广，得出实施阶梯水价的必要性和合理性。

针对问题一，本文运用线性函数画出改革前后，月用电量与电费之间的关系，根据曲线的走势，得出当用电量小于第一梯度用电标准的情况下，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小，当居民用电量较高时，用户的用电支出比非阶梯电价时要高。用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这与阶梯电价“多用者多付”的机制相符合，有利于资源的节约。

针对问题二，我们先收集了河南省人均支出费用与人均用电量的数据，运用Matlab算出相关系数r= 0.679 ，说明两者有很好的相关性。再通过对比分析、层次分析的方法，得出第二档的影响程度最大。

针对问题三，本文运用效用函数，在数据的分析中，把电费占居民家庭收入的比值看做电费支出来计算，把用电费用改革前后波动大小来衡量对居民生活费用的影响程度。定量的计算出实行阶梯电价后每户居民月平均用电量减少2.15 KW h，对于城镇低收入的居民来说每月电费支出减少1.204元。另外随着阶梯电价的实施，居民的消费支出在购买节能电器方面有所增加，节能意识增强。

针对问题四，参照问题三的思路，我们建立城市居民阶梯水价计量模型，收集了北京市居民用水的相关数据，根据北京市提供的不同的阶梯水价方案，通过计算、分析、比较、综合的方法，给出合理的水价阶梯方案为1:3:5.

关键词：阶梯电价线性函数效用函数

一、问题重述

阶梯电价的效用分析

2010年10月，国家发改委关于向社会公开征求居民生活用电实行阶梯电价意见时明确指出，在我国全面实行居民阶梯电价，主要考虑建立3个机制：一是合理电价机制；二是公平负担的用电机制；三是促进节能减排机制。通过实行居民阶梯电价政策，可以充分发挥价格杠杆的作用，引导用户特别是用电量多的用户调整用电行为，促进合理节约用电。从2012年7月1日到今年上半年，全国除新疆、西藏以外的大部分省市都陆续开始实行居民用电阶梯价格新方案，由此引发了一系列与老百姓日常生活息息相关的问题：新的阶梯电价主要变化有哪些？实行阶梯电价后居民日常用电的费用是增加还是减少？居民的生活水平将受到怎样的影响等。到今年4月末，阶梯电价已经实行了近两年。请你搜集相关数据，并根据搜集到的数据，建立数学模型，给出相关的分析结果，并回答以下问题：

1. 阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况；

2. 阶梯电价实行后，居民的生活费用支出情况有怎样的变化；

3. 通过分析、构建模型，说明阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度；

4. 对照阶梯电价实行的目的和建立机制，分析实行阶梯水价的可能性，并给出合理的居民用水阶梯水价。

二、模型假设

假设1：河南省各市县采取统一分档以及收费标准。

假设2：收集到的数据都真实有效。

假设3：短期内没有大量的人口流动。

假设4：每个家庭平均人口为四人。

假设5：电力的供应能满足居民的需求，不会出现长时间大面积的断电。

三、 符号说明

为了输入方便，特引入以下符号： y:居民用电费用；

x ：居民用电量；

xy r ：相关系数；

U ：效用函数；

i x ：基本生活水平下第i 种商品的需求量；

n ：其他商品的种类与用电量档次数m 的和；

i a ：第i 种商品的边际预算份额，即基本消费需求支出额之外的剩余支出额追对于第i 类

商品需求的比例；

X 总：一户居民月平均用电总量

四、模型的建立与求解

4.1阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况

4.1.1 以河南省为例，进行研究探索，查询得知，河南省在实行阶梯电价前的电价为0.56

元/度，居民用电费用为：

y=0.56x

按照以上方案可以得到以下方程组：

0.56x x<=2160

y= 0.56*2160+0.61*(x-2160) 2160

0.56*2160+0.61*960+0.86*(x-3120) x>3120

利用Matlab（程序见附录1）可以做出图像：

注：蓝色直线根据阶梯电价实施前的电价绘制，红色曲线根据阶梯电价绘制由图看出：

1.当居民的用电量小于等于2160度时，其日常用电费用没有变化；

2.当居民的用电量大于2160度小于等于3120度时，对于多余2880度的每度要多支出0.05元。

3.当居民的用电量多于3120元时，对于2160-3120间的每度要多支出0.05元，对于多出3120度的每度要多支出0.25元。

由以上信息可知，y 随x 的增大而增大，即阶梯电价实行后居民的用电量越大，用电费用受到的影响越大，用电费用越高。第二档居民的用电费用有较小提升，第三档居民的用电费用有很大的升高。阶梯电价的实质，是用电越多，电价越高。这种方式，在公平性上能够相对更多地补贴低收入居民，更有利于鼓励居民节约用电，减少能源浪费。

4.1.2 下面收集了河南某小区月平均用电量随机抽样调查，统计如下：

运用Matlab 绘图（程序见附录2）并用正态分布

22

(-)-

2()

x f x m s =

拟合如下图：

从图中看出，月用电量多于180的居民占总人数的一半左右，所以说，阶梯电价实施后对于大多数居民的日常用电费用有影响。

4.2问题二的模型建立与求解

对于问题二，我们收集了河南省2008-2013年的人均支出费用，统计如下：

运用Matlab绘图（程序见附录3）如下：

河南省城镇居民人均支出费用图

并且收集了河南省2008-2013年的人均用电量，统计如下：

运用Matlab绘图（程序见附录4）如下：

河南省人均用电量图

运用相关系数的计算公式

()()

n

i

i xy X

X Y Y r --=

∑算得相关系数r =0.636r =0.785农村城镇

由相关系数可以看出，两者具有很好的相关性。

截至2014年05月，河南省一档用电量的用户覆盖率86.75%，二档用户覆盖率10.86%，三档用户覆盖率2.39%。使用一档电量和二档电量用户覆盖率为97.61%。下表为河南省按收入等级分居民家庭平均每人全年消费性支出的情况：

从图表可以看出中等以下收入的人群占到全国的80%，和阶梯电价的第一档、第二档相对应。统计出三个档次平均可支配收入、评价用电量情况以及对电费的承受能力等状况如下表所示：

根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户的人均电费支出和人均收入的关系有如下规律：（ki（i=1、2、3）表示每个档次的人均收入）

首先，居民的电能消费倾向在不同的收入阶段，其变化规律是不同的。当居民的人均收入小于k1时，居民增加的收入主要是解决基本生活消费问题，没有多余的钱购买电器设备,居民的电能消费倾向几乎为零，所以阶梯电价的实施对其影响甚微；当居民的人均收入大于k1时，随着收入的增加，居民有多余的钱购买少量的家用电器设备，在此阶段，居民的收入水平相对较低，当基本生活消费品的物价不上涨或上涨的速度和居民收入的增长速度相比很小时，居民增加的收入主要用于提高生活质量，居民的电力消费倾向逐渐增加，但是，当基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大时，居民增加的收入主要用于支付基本生活消费品的增加费用和储蓄，这样，边际电能消费倾向马上变成减少。这种边际电能消费倾向增加和减少交替出现的情况一直持续到居民的收入增加到k2时，才能改变；当居民人均收入大于k2时，由于收入水平相对较高，居民随着收入的增加，将有多余钱购买大量家用电器设备，居民的用电量也大幅度增加，居民的边际电能消费倾向是逐步增加的，即使基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大，边际电能消费倾向也不会减

少，这种情况一直到居民的收入增加到k3时，才能改变；当居民人均收入大于k3时，虽然收入逐渐增加，但是大多数家用电器已经购买，居民主要是增加用电时间来提高生活质量，电能的边际消费倾向将逐渐降低或维持不变。

4.3问题三的模型建立与求解

在本题中，我们选用效用函数的阶梯电价模型来分析。

4.3.1假设用电量被划分为m 个档次，设电量的划分密度为t （即每t 个单位的电量为一个档次），可将m 个档次看作为m 种商品。设消费者购买的各种商品的价格为i p ，需求量为i x 。根据Klein 和H.Rubin 提出的效用函数（亦称Stone-Geary 效用函数），将商品i 的效用表示为实际需求量i x 与基本需求量i x 之差的对数，然后利用效用的可加性建立总效用函数，消费者所用的各个档次上的用电量以及其他各种商品满足如下所示的效用函数：

1

1

1

=ln()ln()ln()n m

n

i i i i i i i

i

i

i i i m U a x x a x x a x x ===+-=-+

-∑∑∑ (1)

式中

1

ln()m

i

i

i

i a x x =-∑——阶梯式电量的效用之和；

1

l n ()

n

i

i

i

i m a x

x =+-∑——其他商品的效用之和； i x ———基本生活水平下第i 种商品的需求量;

n ———其他商品的种类与用电量档次数m 的和;

i a ———第i 种商品的边际预算份额，即基本消费需求支出额之外的剩余支出额追对

于第i 类商品需求的比例；

居民用户的消费预算约束为：

1

0n

i i i p x M =-=∑...................................... .. (2)

式中M ——居民家庭的总支出。

根据式(1)应用拉格朗日乘数法，得到居民效用最大化的一阶条件：

()//1,2,...,i j i j

U U

p p i j n x x λ??==≠=??……..………… ......（3） 即

()1,2...,()()

j i

i i i j j j a a i j n p x x p x x =≠=-- (4)

将其化简得到

()()()1,2,...j i i i i j j j a p x x a p x x i j n -=-≠=.. (5)

两边分别对j 求和，得

()1

1

()1,2,...,n

i

i i i i j j n

j i

i a p x p x M p x i n a

===+

-=∑∑ (6)

令 1

i

i n

i

i a a

β==

∑

则 1n

i i i j j i j x x M p x p β=?

?

=+

-??

??

∑),2,1(n i = 居民总用电量等于各个梯度上电量相加,即

∑∑∑∑====??

?

?????????????-+==m

i n j j j i i m

i i m

i i x p M p x x x 1111β总 (7)

本题中阶梯电价是三个阶梯，所以，居民总用电量表示为

∑∑∑∑====??

?

?????????????-+==3

113

13

1i n j j j i i i i i i x p M p x x x β总 (8)

4.3.2实行阶梯电价后居民的月用电量

根据参考文献，可以用类比的方法来确定i β，一般情况下，对于维持基本生活的必需品和奢侈品的消费倾向小于一般正常的消费品，即231βββ<<，且10<

2=β。第三级电消费为了满足奢侈需求，类比为休闲娱乐，因为休闲娱乐看成奢侈品补充型消费支出，04.0'

3=β，考虑电费支出占人均收入的比率为2.0%，所以得到

10β=

320.150.020 3.0010β-=?=? 430.040.020810β-=?=?

因此,满足基本需要后,消费者用剩余货币消费后面两个梯度上的电量。

根据分析第二档的用户灵敏程度最高。假设城镇一户家庭中有四口人，2012年河南省城镇月人均消费支出1144.4元，M=4×1144.4=4577.6（元）；每户居民月生活用电量为139.44

千瓦时，即

3

1

139.44i

i x

==∑；城镇居民每户每月基本生活需求支出为2936.5元；

1230.560.610.86p p p ===

由（8）式得，每户每月用电总量：

34=139.44+-++810x --????总（41144.42936.5）（0/0.56 3.0010/0.61/0.86） =151.44

4.3.3不实行阶梯电价月用电总量

123p =p =p =0.56

由（8）式得每户每月用电总量：

34=139.44+-++810x --????总（41144.42936.5）（0/0.56 3.0010/0.56/0.56） =153.59

通过定量计算出，不实行阶梯用电每户居民的月平均用电量为153.59 KW h ，实行阶梯电价后每户居民的月平均用电量为151.44 KW h ，每户居民每月减少的用电量为2.15 KW h.对于城镇低收入居民来说每月电费支出减少1.204元，对于城镇中等及其以上收入居民来说月平均用电量减少2.15 KW h 。低收入居民用电费用占生活总支出的比例减小，高收入居民的用电费用相对增加，越多用电的居民用电费用越大。另外，居民购买节能减排设备和物品的支出占居民用电费用支出的比例增大，可见阶梯电价对增强居民节能减排的环保意识的影响程度较大。

4.4问题四的模型建立与求解

长期以来,我国水价的制定一直由政府控制,过低的水价造成城市供水企业连年亏损,政府为维持城市供水的正常运行,继而也背上沉重的财政包袱。而通过水价改革,可以保证供水企业的正常经营和扩大再生产,保证供水企业的利润。因此,我国城市水价改革的目的可以概

括为节约用水、补偿自来水企业的成本并使其收益尽可能合理。但由于城市居民供水具有公共必需品的特性,缺水会给人民生活带来巨大的负面影响。在制定阶梯式计量水价时,必须充分考虑各类用水情况的需水函数,兼顾不同用户的承受能力,稳步有效地推进水价改革。

通过上述分析,确定城市居民用水水价计量模型的评价标准为:

(1)民生保障,水价要在用户的可接受范围内,从而做到不影响居民正常生活。

(2)节约用水,尽可能地减少用水量,从而达到节约水资源的目的。

(3)自来水集团利润,价格调整可保证自来水集团盈利,从而达到改变自来水集团亏损运转局面的目的。

4.4.1模型一：

1.阶梯水价模型的建立

三阶式阶梯水价体系可用如下数学模型来表示

(1) 价格模型

()11

2123

20P Q Q P Q P Q Q Q P Q Q

≤≤??

= <≤??

(2) 费用模型

()11

1121121122

13220((()PQ Q Q R Q PQ P Q Q Q Q Q PQ P Q Q P Q Q Q Q

≤≤??

=+-) <≤

??+-)+-

式中：Q 表示居民家庭每月实际用水量；1Q 、2Q 分别表示居民家庭每月基本生活水量点和富裕生活水量点；1P 、2P 、3P 分别表示一至三阶的用水价格。

根据阶梯式水价的定价原则，可将一级水量0～Q 1称为基本生活用水量，二级水量1Q ～

2Q 称为富裕生活用水量，大于2Q 的水量为三级水量，称为奢侈生活用水量。

模型参数估计方法：

合理估算阶梯水量和水价标准是阶梯式水价顺利实施的基础，是能否发挥阶梯式水价作用的关键。阶梯水量与水价的设定应以促进节约为前提，综合考虑水资源状况和用户承受能力。

参数1Q 、2Q 的估计方法：

Q 1和Q 2因各城市的水资源秉赋程度、经济和社会发展水平及居民生活用水习惯等不同而不同，准确确定比较困难，实践中常采用对居民生活用水量进行抽样调查或直接利用历史资料数据，通过估算求得1Q 和2Q 。

方法1：

采用有针对性的调查资料估计1Q 和2Q 。根据抽样调查的结果，按居民收入高低将调查人口分为3类，即20%的低收入群体、60%的中等收入群体和20%的高收入群体。将居民人均生活用水量数据从小到大排成数列，由于居民收入与用水量基本呈正相关趋势，即低收入群体用水量较小，高收入群体用水量较大，故数列前20%人均用水量的最大值即可认为是1Q ，数列后20%人均用水量的最小值即可认为是2Q 。

方法2：

采用统计年鉴历史资料数据估计1Q 和2Q 。。城市统计年鉴一般按经济收入水平将调查对象分为5组，即低收入户、中等偏下收入户、中等收入户、中等偏上收入户和高收入户，每组各占调查对象的20%。由于居民收入与用水量基本呈正相关趋势，考虑到我国水资源短缺的现实和居民的节水意识不强等因素，可通过对连续三年以上统计年鉴中低收入户生活用水量的平均值进行算术平均，其值可视为1Q 。，用同样方法所得中等偏上收入户生活用水量

的算术平均值可视为2Q 。

参数1P 、2P 、3P 的估计方法：

1P 对应的是居民基本生活水价，对1P 的确定应主要考虑供水企业的成本回收及水价的

公益性原则。以居民人均可支配收入（I ）的1%作为基本生活水费推求1P ，即1P = 1%I/1Q 。笔者认为，此方法确定的1P 往往偏大，实际实施难度大。基于我国大部分城市现行水价偏低的现实和水价调整幅度不宜过大的客观要求，笔者认为：阶梯式水价中1P 的确定应遵循循序渐进的原则，即1P 应满足：自来水成本价格+污水处理服务成本价格≤1P ≤现行居民用水价格。根据对供水和污水处理企业的成本监审，可获得自来水成本价格和污水处理服务成本价格。当现行居民用水价格低于自来水成本及污水处理服务成本价格之和时，1P 取自来水成本价格和污水处理服务价格之和。理由如下：有研究表明，居民用水量一般只占城市全部用水量的10%~15%，对基本用水点以下的居民生活用水按成本水价收取水费，对供水企业盈利产生的影响不大，供水企业的合理利润可通过对富裕和奢侈性生活用水，以及对工业、经营服务、特种用水等其他用水类别中获得。当现行居民用水价格高于自来水成本及污水处理服务成本价格之和时，1P 取现行居民用水价格。2P 、3P 可通过三阶式阶梯水价的各级价差关系确定。我国现行《城市供水价格管理办法》中建议1P 、2P 和3P 的三者价差关系为1∶3∶5，该比价关系是对城镇自来水供水价格的界定，未包含污水处理服务费。事实上，国内已实施阶梯式水价的城市中，绝大多数城市采用的1P 、2P 和3P 三者价差关系仍然为1∶3∶5，有的甚至更低。

4.4.2模型二：

长期以来，我国水价结构一直采用单一计量水价。这种水价模式已经远远不能适应供水体制改革的需要，也严重制约了城市供水事业的发展，水价改革势在必行。阶梯式计量水价通过多阶梯定价，在初级阶段设定较低的水价，保证了广大人民群众的基本生活需要，解决了低收入群体的支付能力问题；同时以边际成本方法确定出超额的用水分段水价，为用水户

提供了一个边际价格信号，提高了用户的节水意识。阶梯式计量水价克服了边际成本定价在实施中的各种阻力，有利于水价改革的顺利进行。对于高收入群体，他们可能要使用一些高耗水设备，因此，实行阶梯水价改革十分之必要。因为每个城市的消费水平不同，含有水量的多少也不同，因此，实行阶梯水价的基础价格也是不同的。

假定用水量为x 的用户占总人口的比例为f (x),它服从正态分布, 即

2

2

()

2

()

x

f x

μ

σ

-

-

=用户的用水量为?

∞

)

(dx

x

xf, 设居民户数为m。

阶梯水价

[]

[]

[]

20

1201

221

0,;

,

,

P x c

P k P x c c

k P x c

? ∈

?

= ∈;

?

?

∈+∞

?

。

（1）若用户的原用水量,[]0

0,

x c

∈ 水价由

1

P变为

2

P，此部分用户的用水总

1

Q量与水

费的支出

1

E分别为：

1

1

2

()

e

c P

Q m x f x dx

P

??

= ?

??

?；（1）

2

1

12

2

()()

c P

E mP cx f x dx

P

=? (2)

其中e表示城市居民用水量的相对变化对城市居民用水水价相对变化的灵敏程度, 即水价弹性指数。

(3)若用户的原用水量[]

01

,

x c c

∈ ，水价由

1

P变为

11

k P此时用户用水需求量大于

c此部分的用水量与用户水费支出分别为

()

1

1

200

12

()()

c

c

P

Q m f x c x c dx

k P

??

=+-

??

??

?（3）

()1

12120012()()c c P E mk P f x c x c dx k P ??

=+-?????, （4）

(3) 若用户的原用水量x ∈ [1c , ∞), 水价由P1变为22k p , 此时用户用水需求量大于1c , 此部分的用水量与用户水费支出分别为

()1131122()()c P Q m f x c x c dx k P ∞

??

=+-????? , (5)

()1

13221122()()c P E mk p f x c x c dx k P ∞

??

=+-?????, (6)

因此, 全体用户的总用水量Q 以及水费支出总和E 分别为123Q Q Q Q =++;

123=++E E E E 。人均水费支出占可支配收入的比例E R Q ?=

?人均年用水量

人均可支配收入

。

4.4.3北京市阶梯水价计量模型参数的确定：

北京市于2004年水价调整听证会上提出了阶梯水价改革方案, 设置了阶梯水价级差, 但一直没有实施。本文通过对该方案进行计量评价, 得到相应的预测数据, 为有关部门提供一定的参考价值。

模型中的参数的确定如下:

调前的水资源费1P = 2. 9元/ ；t 调整后的水资源费2P = 3. 7元/ t ；参数μ为12； 查阅居民用水量相关资料, 北京市平均每户月用水量取值范围在6~18t ，依据正态分布函数特征, 我们可以估算出模型中的σ = 2；按照听证会上提出的水价及水量级差可知, 1k = 2或3, 2k = 5, 0C = 12, 1C = 16, 用户数按北京市有关统计数据可知m = 378.84万户；水价弹性指数e 取全国平均值e = 0.33, 居民年均可支配收入为17 653元。

据分析, 水费支出占居民家庭收入的1%时, 对居民心理影响不大。由此可见,1:2:5与

1:3:5与的水价级差方案均在居民的可接受范围内。计算得出如下数据：

北京市水价调整后居民用水情况

据此1:1:1、1:2:5和1:3:5个评价标准对阶梯水价方案结果显示, 进行水价改革可以节约城市居民用水并使自来水集团由亏转盈, 实行阶梯市水价方案比不实行阶梯水价方案的效果更为明显。在1:2:5与1:3:5的阶梯水价方案中,1:3:5的阶梯水价方案效果最显著。

五、模型评价

本文针对阶梯电价实施前后居民的电费支出情况变化、消费支出以及对消费支出的影响程度，最后参照阶梯电价的思路，给出阶梯水价实施的可行性。对于问题一的正态分布模型，虽然可以大致反应出居民的实际用电情况，但就收集的数据而言，由于农村数据的丢失，造成数据没有普遍的代表性。问题二的模型中运用相关系数的模型来说明人均支出费用与人均用电量的相关性，然后根据不同阶层收入人群来分析、比较。问题三、四基于效用函数模型以及阶梯水价计量模型，以居民购买商品的效用实现最大化为目标，推算出居民累进式阶梯电价方案评估模型，用以评价不同阶梯电价方案所起到的节电效果。通过模拟数据分析了某市实行梯式电价后的节电效果，结果表明，实行居民阶梯电价、水价方案可以减少居民家庭月用水、电总量，促进终端能耗的减少。

参考文献

[1]朱柯丁，宋艺航，谭忠富，吴海林.居民生活阶梯电价设计优化模型.华东电力[J].39（6）:0863-0866.2011年。

[2]王莉芳, 陈春雪, 熊霆.城市居民用水阶梯水价计量模型及应用[J].长江科学学院报，第28卷，第5期。

[3]中华人民共和国国家统计局.https://www.360docs.net/doc/f518849056.html,

[4]河南省统计网https://www.360docs.net/doc/f518849056.html,/hntj/index.htm