渗流力学课后习题答案 第二章

第二章 单相不可压缩液体的稳定渗流

【2-1】在圆形油藏中心有一口完善井，穿透四个K 、h 不同的小层（见表）。各层的孔隙度0.2φ=，2000m e r =，10cm w r =，9MPa e p =，8MPa w p =，03mPa s μ=?， 求：(1) 油井总产量Q 。

(2) 平均地层渗透率p K 。

(3) 绘制地层压力分布曲线，求从供给边线到井距10m 处和1000m 处的压力损失。 (4) 求液体从供给边线处运动到井底所需的时间。

表 不同厚度的渗透率

厚度

m 渗透率

2m μ 1h

1K 2h 2K 3h

3K 4h

4K

【解】(1) 记四个小层的产量分别为1Q ，2Q ，3Q ，4Q ，则总产量为

4

12341

2()ln

e w i i e

w

p p Q Q Q Q Q K h r r πμ-=+++=∑ 612332(98)10(30.160.480.610 1.0)10319.6m /d 2000

310ln

0.1

π---?=?+?+?+??=??

(2) 令 Q Q =虚拟实际 则有

112233442()2()

()ln ln

p e w e w e e

w w K h p p p p K h K h K h K h r r r r ππμμ--=+++

∴ 112233441

()p K K h K h K h K h h

=

+++ 230.160.480.610 1.00.6536810

μ?+?+?+?==+++m

(3) 由达西公式有

图 压力分布曲线

e

p

()1

2w w r

p r r p Q dr dp Kh r μπ?=?? ln ()2w w

Q r

p r p Kh r μπ=- ()ln ln e w w e w w

p p r

p r p r r r -=+

110

(10)8ln 8.47MPa 20000.1ln 0.1

p =+

= 10(10)98.470.53MPa e p p p ?=-=-=

同理 1000(1000)98.930.07MPa e p p p ?=-=-= 压力分布曲线如图所示。

(4) t dr v dt

=-

2Q dr

rh dt

πφ=- 0

2w

e

r r T

h rdr Qdt πφ-=??

∴ 22()e w r r h T Q

πφ

-=

又因为 e w r r ? w r 可以忽略不计

222000(36810)0.2

581.4319.6365

e r h T Q

πφ

π??+++?=

=

=?年

【2-2】一圆形油藏10km =e r ，10MPa e p =，21 1.5m K μ=，5m h =，0.1m w r =，

9.6MPa w p =，06mPa s μ=?求：

(1) 流量0Q 。

(2) 如果由于技术上的原因，使得井周围半径11m r =范围内的渗透率下降到

220.3m K μ=，求井的产量1Q 和10/Q Q ，并画出压力分布曲线。

(3) 对该井进行酸化处理，使得半径250m r =内地层的渗透率提高到233m K μ=。求此时井的产量2Q ，绘出压力分布曲线。

【解】(1) 由丘比（Dupuit ）公式知

102()

ln

e w e

w

K h p p Q r r πμ-=

126332 1.5105(109.6)1023.6m /d 10000

610ln

0.1

π--????-?==?

(2) 111122()

1

1(ln ln )e w e w

h p p Q r r K r K r πμ-=

+

6

331212

25(109.6)1013.1m /d 11000011

610(ln ln )1.51010.3100.1π---??-?==?+??

1013.1

0.55523.6

Q Q == (3) 221232()

1

1(ln ln )e w e w

h p p Q r r K r K r πμ-=

+

6

33121225(109.6)1032.28m /d 110000150

610(ln ln )

1.510503100.1

π---??-?=

=?+?? 压力分布曲线如图所示。

图 油藏横向渗透率生变化的压力分布

e

p w

p

【2-3】如果距生产井1km 处有一停产井，井底压力18MPa w p =，生产井的

24MPa w p =，井底半径10cm w r =，生产井位于圆形地层中心，地层的供给半径10Km e r =，已知整个地层内，达西定律都成立，求供给边线压力e p 。

【解】流经两口井的流量相等 即

12212()2()

ln ln

w w e w e

w w

Kh p p Kh p p r r r r ππμμ--=

解得 2121ln

()44 1.259MPa ln e

w

e w w w w

r r p p p p r r =+-=+?= 【2-4】圆形地层中心有一口生产井，液体渗流服从达西定律，10Km e r =，

10cm w r =，求距井多远的点的压力恰好等于e p 和w p 得平均值：()/2e w p p p =+。

【解】由达西公式

()1

2w w r

p r r p Q dr dp Kh r μπ?=?? 解得 ()ln ln e w w e w w

p p r

p r p r r r -=+

当 ()()/2e w p p r p p ==+

ln

1000020.1ln

0.1

e w e w w p p p p r

p +-=+ 解得 31.62m r =

【2-5】若压力用MPa 表示，粘度以mPa s ?，厚度以m 为单位，渗透率以2m μ为单位，产量单位为3m /d ，并将自然对数化为常用对数，试改写丘比公式。

【解】丘比公式

2()

ln

e w e

w

Kh p p Q r r πμ-=

其中:Pa p ，:Pa s μ?，:m h ，2:m K ，3:m /s Q

转换为使用单位 ':MPa p ，':mPa s μ?，':m h ，2':m K μ，3':m /d Q 则丘比公式转为

12632'10'('')10'

360024('10lg )/lg e w e w

K h p p Q r e r πμ--?-?=

?? 整理有 ''('')

'75'lg e w e

w

K h p p Q r r πμ-=?

【2-6】若渗流服从二项式定理，试推导平面单向流和平面径向流的渗流规律，（产量，地层性质，流体性质与压力差的关系）。

【解】达西二项式公式

2dp v b v dx K

μ

ρ=-+ 平面单向流 2

dp Q Q b dx K BH BH μρ????=-+ ? ????? 两边积分得 2

w

e p L

p Q Q dp b dx K A A μρ??

??=-+?? ???????

??

2

e w QL

Q p p b L KBh Bh μρ??

-=- ???

平面径向流 2

22dp Q Q b dr Khr hr μρππ??

=- ???

两边积分得 2

22211

24e

e w

w w e

p r r p r r Q b Q dp dr dr Kh r h

r

μρππ=-???

22211ln 24e e w w e w r Q b Q p p Kh r h r r μ

ρππ??-=+- ???

【2-7】设地层是均质等厚各向同性的，液体作等温径向渗流，试推导柱坐标形式的连续性方程和基本微分方程式。

答案详见书后附录1

【2-8】设有一夹角为θ的扇形油藏，在该油藏的顶点有一生产井（如图），设地层、流体和生产数据都已知。试推导：①油井产量公式；②压力分布公式。

【解】(1) K dp

Q Av rh dr

θμ== 分离变量并积分

H

?2

Z 1

Z 1

h 2

h Q Kh dr dp r θμ

= e

e w

w r p r p Q

Kh dr dp r θμ

=?

?

油井产量 ()

ln e w e

w

Kh p p Q r

r θμ-=

图 角度为θ的扇形油藏

(2)由 ()w w

r

p r r p Q

Kh dr dr r θμ=?

? 积分得 ln

(())w w r Kh Q p r p r θμ

=- 带入Q 整理后得，压力分布公式为

()ln ln e w w e w w

p p r p r p r r r -=+

【2-9】设有一岩心如图所示，岩心、流体以及测压管的高差H ?为已知，试从达西定律的微分形式出发证明流量公式为。

KA g H

Q L

ρμ?=

解：达西定律的微分形式为

K dp

v dx

μ=-

KA dp

Q Av dx

μ==-

2211()0

()

L

p g Z h p g Z h KA

Q dx dp ρρμ

++++=-

??

()()2211ρρ?μ

μ

=-

+-+=-

-KA

KA

QL g Z h Z h g H

e

p w

p θ

图 一维稳定渗流装置图

KA g H

Q L

ρ?μ=

【2-10】均质不可压缩半球地层的中心钻了一口半径为w r 的半球形井，见图，设地层渗透率为k ，液体粘度为μ，供给边线半径为e r ，供给压力为e p ，井底压力为w p ，求产量和压力差的关系。

【解】由达西公式可知

Q Av =

其中2

2A r π=，K dp

v dr

μ=?

带入上式有 22K dp Q r dr

πμ=?

? 分离变量并积分

212K dr dp r Q πμ

= 2

12e

e w

w r p r p K dr dp r Q πμ=?

? 积分得

112()πμ

??--=- ???w e e w K

p p r r Q 产量与压力关系

2()

11πμ-=

??-

???

w e e w K p p Q r r

【2-11】某一油井以不完善井关井测得的平均地层压力为25.60MPa p =，已知供给半径250m e r =，井底半径0.1m w r =，流体粘度4mPa s μ=?，地层有效厚度8m h =。现对该井进行稳定试井，实测产量和压力见表，试求地层的渗透率。

表 产量与压力关系

图 半球形油藏

【解】生产压差与油井产量的数据见表，以p ?为横坐标，Q 为纵坐标的直角坐

标系中描点（i p ?，i Q ）得到图。

表 压差与产量关系

p ?(MPa )

Q 3(m /d)

图 压差与产量关系

3(m /d)

Q

得到直线斜率 103tan 3.4310(m /s Pa)J α-==??

2ln 0.5e w Kh

J r S r πμ=

??+-????

假定 0S =

解得 10322503.4310410ln 0.50.10.20m 28

K μπ--??????- ?

??=

=?? 【2-12】若地层渗透率随地层压力的变化规律为0()0a p p K K e -=，流体粘度与压力的关系式为0()0b p p e μμ-=，供给半径为e r ，供给压力为e p ，井半径为w r ，井底压力为w p ，地层有效厚度为h ，求液体做平面径向稳定渗流的产量公式。

【解】由达西定律有 K dp

v dr

μ=

2Q rhv π= 2Kh

dp Q r dr

πμ

=

?? 分离变量有 00()

()021e

e w w

a p p r p

b p p r p hK e Q dr dp r e

πμ--=?? 当a b =时， 002()

ln

e w e

w

hK p p Q r r πμ-=

当a b ≠ 00()()()()

002()ln e w a b p p a b p p e

w

hK e e Q r

a b r πμ----??-??=

- 【2-13】对某井进行试井的结果表明：该井受到伤害，表皮系数 3.8S =，地层渗透率20.4m K μ=，油层有效厚度为6m h =，流体粘度 4.5mPa s μ=?，原油体积系数0 1.2B =，井底半径10cm w r =。问：(1) 该井的折算半径为多少(2) 若该井以332m /d 的产量生产时，由表皮效应引起的附加阻力为多少

【解】(1) 折算半径 *-=s w w r r e

代入数据有 3.8*0.10.0022m w r e -== (2) 由表皮效应引起的附加阻力为：

(MPa)

p ?

31232 4.510 3.80.42MPa 224360020.4106

S Q S p Kh μ?ππ--??==?=????

【2-14】证明单相流体的连续性方程

y x z v v v x y z t

ρρρρφ

????++=-????可以写成，B 为体积系数。()()()()y x z v v v x B y B z B t B

φ

????++=-????

【证明】∵ M M

V V B

ρ=

=地下地上 ∴y y x x z z v Mv v Mv v Mv x y z x V B y V B z V B ρρρ????????????++=++ ? ? ? ? ? ?????????????

地上地上地上 ∵

M t t V B ρφφ??

??= ? ?????地上 ()M C const V =地上

∵ y x z v v v x y z t

ρρρρφ

????++=-???? 可写为: ()()()()y x z v v v C

C C C x B y B z B t B

φ????++=-???? 证得

()()()()y x z v v v x B y B z B t B

φ

????++=-????