陪集与拉格朗日定理+循环群(屈版)

群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格

朗日定理。

主要内容：

z陪集定义

z陪集基本性质（4个定理+1个推论）

z拉格朗日定理及其推论

1

定义：设H是G的子群，a∈G. 令

Ha={ha | h∈H}

称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.

例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=是G的子群.

H所有的右陪集是：

He={e,a}=H, Ha={a,e}=H

Hb={b,c}, Hc={c,b}

可以看出：1) 不同的右陪集只有两个，且He= Ha , Hb=Hc,

Ha∩Hb=Φ

2) {Ha, Hb}是G的一个划分

3) |H|=|Ha|=|Hb|

2

定理1设H是群G的子群，则

(1) He = H

(2) ?a∈G 有a∈Ha

证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H

(2) ?a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha

3

定理2设H是群G的子群，则?a, b∈G 有

a∈Hb ?ab?1∈H ?Ha=Hb

证先证a∈Hb ?ab?1∈H

a∈Hb ??h(h∈H∧a=hb)??h(h∈H∧ab?1=h)?ab?1∈H 再证a∈Hb ?Ha=Hb.

充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb.

必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h?1a

任取h

a∈Ha，则有

1

h

a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ?Hb.

1

反之，任取h

b∈Hb，则有

1

h

b = h1(h?1a) = (h1h?1)a∈Ha , 从而得到Hb ?Ha.

1

综合上述，Ha=Hb得证.

4

定理2设H是群G的子群，则?a, b∈G 有

a∈Hb?ab?1∈H ?Ha=Hb

说明:

定理2给出了两个右陪集相等的充要条件

右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素a∈Hb?Ha=Hb

5

定理3设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：

?a, b∈G, ∈R ?ab?1∈H

= Ha.

则R是G上的等价关系，且[a]

R

证先证明R为G上的等价关系.

自反性. ?a∈G，aa?1= e∈H ?∈R

对称性. ?a, b∈G，则

∈R?ab?1∈H?(ab?1)?1∈H?ba?1∈H?∈R

传递性. ?a, b, c∈G，则

∈R∧∈R ?ab?1∈H∧bc?1∈H ?ac?1∈H ?∈R

= Ha.

下面证明：?a∈G，[a]

R

?b∈G，b∈[a]R?∈R ?ab?1∈H ?Ha=Hb ?b∈Ha

6

7

定理3的推论

推论设H 是群G 的子群, 则

(1) ?a , b ∈G ，Ha = Hb 或Ha ∩Hb = ?

(2) ∪{Ha | a ∈G } = G

证明：由等价类性质可得.

定理3设H 是群G 的子群，在G 上定义二元关系R ：

?a , b ∈G , ∈R ?ab ?1∈H

则R 是G 上的等价关系，且[a ]R = Ha .

左陪集的定义与性质

设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即

aH = {ah | h∈H}，a∈G

关于左陪集有下述性质：

(1) eH = H

(2) ?a∈G，a∈aH

(3) ?a, b∈G，a∈bH ?b?1a∈H ?aH=bH

(4) 若在G上定义二元关系R，

?a, b∈G，∈R ?b?1a∈H

= aH.

则R是G上的等价关系，且[a]

R

　

8

陪集的基本性质

定理4设G是群，H是G的子群，则：

(1) ?a∈G，有|Ha|= |H| = |aH|

(2) ?b∈G，有|Hb|= |H| = |bH|

(3) ?a, b∈G，有|aH| = |bH| =|Ha|=|Hb|

说明：从定理4可以看出，如果G是有限群，设|G|=n，则它的子群H也是有限群，设|H|= m，?a∈G，有

|Ha|= |aH| = m.

　

9

Lagrange定理

定理（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则

|G| = |H| · [G:H]

其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.

证: 设[G:H] = r，a

1, a2,…, a

r

分别是H 的r 个右陪集的代表元素，

G = Ha

1∪Ha

2

∪…∪Ha

r

|G| = |Ha

1| + |Ha2| + … + |Ha

r

|

由|Ha

i

| = |H|，i = 1,2,…,r, 得

|G| = |H|·r = |H|·[G:H]

拉格朗日定理简言之：G是有限群，H是G的子群，则H的阶整除G的阶.

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推论1阶为素数的群G只有平凡子群，而无真子群。

证：因为|G| 是素数，则|H| = 1，|H| = |G| ，所以H只能是G 的平凡子群。

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推论2设G 是n 阶群，则?a ∈G ，|a |是n 的因子，且有a n = e . 证：1）任取a ∈G ，则是G 的子群，由拉格朗日定理知

的阶是n 的因子. 又是由a 生成的子群，若|a | = r ，则 H = = {a 0=e , a 1, a 2,…, a r ?1}

这说明的阶与|a |相等, 所以|a |是n 的因子.

这说明有限群G 中任意元素的阶都整除群G 的阶。

||||G n k H r

==2）设，则a r =e, a n =(a r )k =e .

推论3对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = .

证: 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元.

任取a∈G，a ≠e，则是G的子群. 根据拉格朗日定理，

的阶是p的因子，即的阶是p或1. 显然的阶不是1，的阶为p，又是G的子集，所以G = .

说明：推论3说明素数阶群必定是循环群，并且除单位元（幺元）外的其它元素都是其生成元。

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陪集与拉格朗日定理的难点

1、设G是群，H是G的子群，由H可以定义G上的等价关系R：

?a, b∈G, ∈R ?ab?1∈H

由该等价关系可以计算等价类，其对应的等价类就是相应

= Ha.

的右陪集，即[a]

R

2、拉格朗日定理说明了群与子群之间的关系，因此，应用拉格

朗日定理时，首先要构建子群，并通过该子群利用拉格朗日定理得到所要求的结论，如证明元素的阶整除群的阶时（推论2），首先根据该元素构建一个子群（即由该元素的幂组成），该子群的阶等于元素的阶，然后由拉格朗日定理可得元素的阶整除群的阶。总之，应用拉格朗日定理时，要充分应用子群与群的性质。

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5-5 特殊群—阿贝尔群和循环群

本节我们主要介绍两类特殊的群：阿贝尔群和循环群，其中循环群是被研究的较透彻的群，是本节的重点和难点。主要内容：

z阿贝尔群

–阿贝尔群定义、实例

z循环群

–循环群定义、实例

–循环群分类

–循环群的生成元

–循环群的子群

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阿贝尔群

定义如果群中的运算＊是可交换的，则称该群为

阿贝尔群，或称交换群.

例：

,×>等是阿贝尔群, 因数的加法和乘法满足（1）,

+

交换律。

（2）n阶实可逆矩阵的全体, 对矩阵乘法构成了群,但由于矩阵乘法不满足交换律, 因而不是交换群。

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阿贝尔群的性质

定理1设是一个群，则是阿贝尔群的充要条件是对任意a, b ∈G 有, (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)

证明：充分性：对任a，b∈G

∵(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

∴a-1*(a*b)*(a*b)*b-1=a-1*(a*a)*(b*b)*b-1

∴b*a=a*b

∴是阿贝尔群

必要性：若是阿贝尔群，则a, b ∈G ，a*b=b*a

∴a*(a*b)*b = a*(b*a)*b

∴(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)

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定义设G是群，若存在a∈G使得

G={a k| k∈Z}

则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元.

说明：从定义可以看出，如果知道循环群的生成元a，就可以通过计算a的整数幂得到G的所有元素，这就是把a称为的生成元的原因。从定义还可以看出，计算群的生成元是判别一个群是否是循环群的关键。

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定理2任何一个循环群必定是阿贝尔群，反之不成立。

证明：设G=是循环群，那么?x, y∈G，必?r, s∈Z，使得

x=a r, y=a s

且有

x y = a r a s = a r+s = a s+r = a s a r = y x

因此G=是一个阿贝尔群。

Klein四元群是交换群，但不是循环群, 在四元群G＝{e, x, y, z}, x2＝y2＝z2＝e, G不是由某个元素生成的.

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例：证明整数加法群是个循环群，并求其所有的生成元。分析：要证明是循环群，就必须说明生成元存在。不妨设a ∈Z 是生成元，则由生成元的定义，?n ∈Z ，存在k ∈Z ，使得

n=a k =ka

特别地，取n=1，则有

1=ak

又a ，k 都是整数，所以必然有

a =1，或a = -1.

以上说明，如果a 是生成元，则a 必须是1或-1，因此，还需要进一步验证是否是的生成元。

1±