高中数学论文集：数形结合文章合集
创设“数形结合”情境 培养学生思维能力
“数形结合”即是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。 “数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导学生创设“数
形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻划与几何图形的直观 描述有机地结合起来，力图在这种结合中，寻找到解题的思想与方法，同时又有利于开拓学生解题思路，发展学生形象思维能力。
“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种： （1）将几何论证转化为代数计算的“解析法”；（2）利用数（式）来研究形的“以数（式）论形法”（3）利用形来研究数（式）的“以形促数（式）法”。
下面举例分别加以说明： 一、解析法：
例1、 在正方形OABC 中，?=∠15DOA OD=OB 连接 DA 。
求证：DA//BO
解：建立如图1所示的直角坐标系，设正方形的边长为1
则D 、A 的坐标分别为（2cos ?15，2sin ?15）,（1，0）
从而有K AD =
)
115cos 2(15sin 2-??=
12
123)
2123(
-+-=1 （图1） 又 K OB =1
OB OA //∴
总结评述：有些平面几何题用解析几何的工具证明较为方便，能发挥数形结合的优势。 二、以数论形法
例2：如图2一动圆M 在定圆x 2+y 2=r 2内且与定圆上半部以及X 轴都相切，求圆心M 的轨迹的方程。 解：由几何条件（即形）易得如下等量关系（即数）
M O =-C O C M （⊙o 与 ⊙M 内切于C ） C M =D M （⊙M 与X 轴切与D ）
M O 2=OD 2+MD 2 （ODM ?为Rt ?）
设圆心M 的坐标为（x ，y ）于是有 OM =r-y
又 OM =r-y ， OM =
22y x +
（图2）∴22y x +=r-y
∴ 平方整理得圆心M 的轨迹方程是
x 2=-2r （y-2
r
）
总结评述：以数论形是解析几何侧重的手法，象本例这种求曲线（轨迹）方程的问题其思考方法就是几何条件解析化，即几何条件（形）-------等量关系（数）-------代数方程（式），它是求曲线方程的关键和困难之处。
一、以形促数法
例3：求函数y=
84122+-++x x x 最小值
分析：由题意可知，函数的定义域为R ，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决
解：
()()()()222
222202100841-+-+
-+-=
+-++=x x x x x y
令 A (0,1) ， B(2,2) ， P(X,0)
则问题化为:在X 轴求一点P(X,0)使得B P A P +取最小值
Θ Ａ关于Ｘ轴的对称点为Ａ′（０，－１）
)(
B P A P +∴ｍｉｎ＝B A '＝
()
()1312022
2
=++-
注：此题也可这样问：当x 取何值时y=
84122+-++x x x 的值最小，X 的取值是
直线A ′B 与x 轴的交点横坐标。
总结评述：代数问题几何化，问题变得容易解决。
例4 若锐角α、β、γ满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 求证：tan ?αtan ?βtan 22≥γ
解：根据已知条件可设想一个如图4所示的长方体，使其对角线A 1C 的长为1个单位，且与三条棱a 、b 、c 分别交成α、β、γ角，
又tan a
c
b 2
2+=
α，tan b a
c 2
2+=β，tan c
b a 2
2
+=γ 由两个正数的的算术平均数不小于这两数的几何平均数的
定理。
γβαtan tan tan ??=
a c
b 22+。b
a
c 2
2+。c b a 22+22222=??≥abc
ab
ca bc C
D
B
A
D 1
A 1
B 1
C 1
α
β
γ
（图4）
x
y E
D C
B
O
当且仅当“a=b=c ”即长方体为正方体时取等号。 总结评述：对于三角问题学生往往只局限于三角知识解答，通过此题可以看出把三角问题恰当几何化，可以简化解题过程。
例5 已知正数a ， b 满足a+b=1，求证：)()(222
2
≥
+++b a 证明：方法一：构造坐标点M (-2,-2) ，N (a,b)。 由条件知N (a,b) 是直线x+y=1被两坐标轴截得的线段AB 的中点C )21,21(到M (-2,-2)得距离2
25=
C M C M Θ是等腰MAB ?底边AB 上的高
2
2
MC N M ≥∴
即()2
25)2(22
2
≥
+++b a 方法二：构造坐标点Ｎ（ａ，ｂ），直线ｌ：ｘ＋ｙ＝１及圆Ｍ：
如图６，设圆心Ｍ到直线ｌ的距离为ｄ 则由点到直线的距离公式得：d=
2
52
1
22=
---。`
而圆Ｍ的半径也等于
2
5。 （图6）
∴直线ｌ是圆Ｍ的一条切线
又ΘN )(b a ,))
((2
5222
2
≥
+++∴
b a 即)()(222
2
+++b a 总结评述：本例的证法2可以扩充到实数域上去，本例还可以用两个正数的算术平均数不小于这两数的几何平均数的定理与配方法证得。
例6：求 sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°的值
分析：仔细观察题目，发现这五个角成公差为72°的等差数列，五个72°的和为360°，于是我们的联想到正五边形的外角，试用作正五边形的方法来解决.
解：在平面直角坐标系内构造如图7所示的边长为1的正五边形ABCDE ，使?=∠6XAB 则， ，， 与x 轴正方向所成的角分别为78°，150°，222°，294°。
Θ 在y 轴上的投影分别为：sin6°
sin78°sin150°sin222°sin294°。根据任意ｎ（ｎ≥３）个首尾相
接的向量在ｙ轴上的投影之和为零得
sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°=0
总结评述：求若干个同名三角函数值的和，学生通常是应用“加法定理”来解，这样做往往比较繁琐，有时甚至难于求得正确结论。倘若我们巧用平面向量中任意n （n ≧3）个首尾相接的向量在x 轴（或y 轴）上的投影，投影之和为0。这一命题创设“数形结合”的情境，则可使这类问题的求解甚为直观且简捷。
变式练习： 求下列各式的值
1、 cos40°+cos60°+cos80°+cos160°
2、 sin13°+sin97°+sin103°+sin167° 例7 求函数)(θf =
1cos 1
sin --θθ的最大值与最小值
分析：)(θf =1
cos 1
sin --θθ可以看成两点P )sin ,(cos θθ, A (2,1)连线的斜率,而A 为定点，
P 是圆x 2+y 2=1上的动点，因此，求数)(θf 的最值问题就转化为求直线PA 的斜率的最值问题了
解：)(θf 可以看成P )sin ,(cos θθ,A (2,1)两点连线的斜率,且P 在圆x 2+y 2=1上运动，过定点A 作圆的两条切线AP 1,AP 2则AP 1的斜率最小,
求AP 2的斜率
设：AP 2的斜率为k,则直线AP 2的方程y-1=k(x-2) ΘAB 与圆x 2+y 2=1相切 ∴圆心到切线的距离为d=
2
112k
k +-=1
两边平方后并整理得3k 2-4k=0
∴k=0 或k=
34
（其中k=0是AP 1的斜率） ∴AP 2的斜率为34
∴)(θf max =3
4
)(θf min =0
总结评述：此题是属三角问题充分利用解析几何这一工具，使问题转化为容易计算的简单问题
总之，由于“数形结合”具有形象直观，易于接受等优点，且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，所以，我们要积极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维的转化；这样，我们就一定能逐步提高学生的数学水平，把学生逐步培养成具有创造思维能力和开拓精神的创造型人才。
（图8）
利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
3269100x x x -+-=，22ln x x -=x -+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。
一、有关三次方程根的问题：
对3
2
0Ax Bx Cx D +++=的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根0x ，然后转化为()()
200x x ax bx c -++=，再展开，应用待定系数法即可求出,,a b c 。再对
20ax bx c ++=求根得解。如32320x x -+=；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我
们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。 例1、方程3
2
69100x x x -+-=的实根的个数是 （ ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，
画出其草图，数形结合分析求解。
解：令()f x =3
2
6910x x x -+- 则()'
f x =2
3129x x -+
∴ ()'
f
x =()()313x x -- ∴当1x <或3x >时
()'f x >0 ()f x 为增函数
当13x <<时 ()'
f
x <0 ()f x 为减函数
∴()f x 极大值=()1f =6-0<
故()f x 的极大值在x 轴的下方，如图1，即()f x 的图象与x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
例2、已知函数()3
2
3
32f x x bx b =+-在(),0-∞上是增函数，在()0,2上是减函数，若
()16f x =恰有一解，求实数b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
应包含题中给出的单调区间，初步得出b 的范围。又据()16f x =恰有一解，即函数
值16对应惟一x 值。可先由单调性画出()f x 草图，然后数形结合分析求解。 解：Q 函数()32332f x x bx b =+-在(),0-∞上是增函数，在()0,2上是减函数
∴由()'236f x x bx =+0>得()(
,02x b ∈-∞-U 0b < ， ()'236f x x bx =+0<得(0,x ∈-由题意 ()()0,20,2b ?-
∴22b ≤- 即1b ≤- ①
又()f x 在(),0-∞和()2,b -+∞上递增， 在()0,2b -上递减。如图2
∴()f x 在[]0,2b -的值域为()()2,0f b f -???? 即 332,2b b ??-??
据图2可知，若()16f x =恰有一解，只需3
216b -< 得2b >- 结合①
∴ 21b -<≤-
二、有关超越方程根的问题：
这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与x 轴的交点，则可化难为易。很快得解。
例3、证明方程2
2ln x x -=x -+2有惟一解。
分析：这一方程形式比较复杂，观察易知1x =是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导
数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。 证明：移项得：2
2ln 2x x x --+=0 令 ()22ln 2f x x x x =--+ ()0x >
∴ ()'
f x 221x x =--+=
∴
()'
f x )(
)1222
x x
+=
Q x 0> ∴222
x x
0>
∴ 10>即1x >时 ，()'f x 0>，()f x
10<即01x <<时，()'0f x <，()f x 为减函数。
∴ ()f x =极小值()1f 0= 如图3，此时图象与x 轴相切。与x 轴只有惟一交点
故方程2
2ln x x -
=x -+2有惟一解1x =。
例4、若关于x 的方程()()22
1ln 1x x +-+2
x x a =++在[]0,2上恰好有两个相异的实根，
求实数a 的取值范围。
分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数
判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与x 轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。 解：方程可化为()2
1ln 10x a x -+-+=
令()()2
1ln 1f x x a x =-+-+ []0,2x ∈ 则()'
21
111
x f
x x x -=-
=
++ 由()'
f
x 0>得12x <≤，()'0f x <得01x ≤<
x
∴()f x 在(]1,2上递增，在[)0,1上递减。
∴ 要使关于x 的方程()()2
2
1ln 1x x +-+2x x =+在上恰好有两个相异的实
根，只需()f x 的图象与x 轴在[)0,1和(]1,2上各有一个交点。如图4
所以有：()()()001020f f f ≥??
即10112ln 20212ln 30
a a a -+≥??-+-
解之得：22ln 232ln3a -<≤-
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与x 轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
利用数形结合法解不等式问题说明
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。
1. 数形对照，相互渗透
例1. 使不等式||||x x a -+-<43有解的实数a 的取值范围（ ） A. a >7 B. a ≥7 C. a ≥1
D. a >1
分析：||||x x -+-43表示数轴上x 所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1，故选D 。
图1
例2. 已知x y x y y ，满足2
2
20+-=，欲使不等式x y c ++≥0恒成立，求实数c 的取值范围。
分析：欲使x y c ++≥0恒成立， 即 -≤+c x y 恒成立， 故 -≤+c x y ()min 。
于是问题转化为求x y y x y 2
2
202+-=+上一点，使有最小值问题。由图可 知，当直线l x y x y y x y 12
2
020平行于且与圆相切于下方时，取最小值+=+-=+
12-
图2
故 -≤-
≥-c c 1221，从而。
2. 由数想形，直观显现
例3. 解不等式42
x x x -<。
分析：设f x x x ()=
-42，
g x x x ()()=>0， 由y x x =
-42得：
()()x y y -+=≥2402
2
因为y x x =
-4202表示以，为圆心，()2为半径，在x 轴上方的半圆，
y x x =>()0表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，
由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得24<≤x ，
图3
故原不等式的解集是（2，4]
例4. 求使不等式log ()21-<+x x 成立的x 的取值范围。
（03年全国高考题14）
解：设f x x ()log ()=-2， g x x ()=+1
因为 函数f x x ()log ()=-2的图象与函数y x =log 2图象关于y 轴对称，
g x x ()=+1的图象是一条过点（0，1）的直线 由图4可得 -<<10x
图4
例5. 已知a b R ，∈+
且x ax b 220++=，x bx a 2
20++=都有实根，求a b +的取值范围。
解：依题意得
a b b a 2
2800-≥-≥，
即 a b b a 22
8≥≥， （*）
则满足（*）的点（a ，b ）在图5所示的阴影区域内。
图5
设z a b =+，则z a b =+所表示的直线系中，过点A （4，2）的直线在b 轴上的截距即为满足（*）的z 的最小值。 所以 ()min a b +=+=426 故 a b +≥6
3. 由数构形，抽象变形象
例 6. 设f x g x ()()、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，
f x
g x f x g x '()()()'()+>0且g ()-=30，则不等式f x g x ()()<0的解集是（ ）
A. ()(,)-+∞303，Y
B. ()()-3003，，Y
C. ()()-∞-+∞，，33Y
D. ()()-∞-，，303Y
（04年湖南高考题12）
解：设F x f x g x ()()()=， 因为 当x <0时， f x g x f x g x '()()()'()+ ==>[()()]''()f x g x F x 0 所以 F x ()()在，-∞0上是增函数
因为 f x g x ()()、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以 F x ()为奇函数 又 g ()-=30
所以 F f g ()()()-=--=3330 又 f x ()是奇函数，所以 f ()00= 故 F ()00=
根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F （x ）的图象，由图直接观察出所求解集是()()-∞-，，303Y
图6
故选D 。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识的注意数形结合思想方法的渗透。
利用"数形结合"求解函数问题
摘要:"数形结合"思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想解题。
关键词：数形结合、图形、函数
著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休。"有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。
1、利用数形结合求函数的定义域
面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。
例1：已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0
分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图
A∩B
解：∵函数f(x)的定义域为[a,b]
∴a≤x≤b
若使f(x)e有意义，必须有a≤－x≤b，即有－b≤x≤－a
∵a＜0＜b ∴－b＜0＜－a
又∵|a|＞b＞0 ∴.a＜－b
∴函数g(x)的定义域{x|a≤x≤b}∩{x|－b≤x≤－a}={x|－b≤x≤b}
小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。
2、利用数形结合求函数的值域
对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了
然，则达到事半功倍的效果。
例2．求函数y=|x+3|－|x+1|的值域。
分析：就自变量x 的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y 的范围
??
?
??-+=2422
)(x x f 3131-≤-≤≤--≥x x x
函数的图象如图，由图象即可得y ∈［－2，2］。
小结：数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想。
3、利用数形结合求函数的单调区间
例3、设函数f(x)=x2－2|x|－1 (－3≤x ≤3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。
解：当x ≥0时，f(x)=x 2－2x －1=(x －1)2
－2
当x ＜0时，f(x)=x 2+2x －1=(x+1)2
－2 即
?????-+--=2
)1(2
)1()(2
2
x x x f 00<≥x x
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图
函数f(x)单调区间为［－3，－1），［－1，0），［0，1）， ［1，3］。 由图形可看出函数在区间［－3，－1），［0，1）上为减函数，在区间 ［－1，0），［1，3］上为增函数。
小结：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解。
4、用数形结合解方程、不等式等有关问题
例4、已知关于x 的方程2kx 2
－2x －3k －2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，
令f(x)=2kx 2
－2x －3k －2则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示。 对应的条件是 ??
?<>0)1(0f k 或 ?
??><0)1(0
f k
解：由以上分析可知，令f(x)=2kx2－2x －3k －2,为使方程 f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使
?
?
?<>0f(1)0
k 或???><0)1(0f k 解得k ＞0或k ＜－4
小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分
布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。
5、用数形结合求函数的最值
求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其定义域求最值。这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类型的求最值的题型则是给出x,y 所满足的方程，再求另一个关于x,y 的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正
确地作出图像，必要时还要配合一定的计算。 例5、求函数x
x
y cos 3sin 2++=
的最大值和最小值
分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（－3，－2）与单位圆上的点P （cosx,sinx ）连线的斜率。 解：）
（）
（3cos 2sin cos 3sin 2----=
++=
x x x x y 这可以看作是定点A （－3，－2）与单位圆上的点P （cosx,sinx ）连线的斜率。因此，y 的最值就是当直线AP 与单位圆相切时的斜率。 ∵单位圆x 2+y 2
=1中斜率为k 的切线方程为
21k kx y +±=
由于该切线过点A （－3，－2），故
2132k k +±-=-
∴43
3±=
k ∴4
3
3max +=k 4
3
3min -=
k
以上是利用“数形结合”的方法来求最值的，让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什么区别。
解：原式可化为：
3y+ycosx=2+sinx
)32(1
1)cos(2
y y y x -+=
+
∵|cos(x+v)|≤1 ∴1|)32(1
1
|
|)cos(|2
≤-+=+y y y x
∴11
12942
2≤+-+y y y ∴8y 2
－12y+3≤0
4
3
3433+≤≤-y ∴4
3
3max +=
y 4
3
3min -=
y 例6、求函数1362222+-++-=x x x x y 的最小值
解：222222)20()3()10()1(13622-+-+-+-=+-++-=
x x x x x x y
∴y 表示x 轴上点P(x,0)到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和， 求出A 关于X 轴的对称点A （1，-1）。
∴|AP|=|AP| 又两点之间直线段最短
∴|AP|+|PB|=|A'P|+|PB| ∴y 的最小值为|A'B|=13)12()13(2
2
=++-
注:类似这种y=
'''22C x B x A C Bx Ax ++±++形式的函数求其最值,常采用这种找出
对称点,并利用两点之间线段最短的形式来解。 结束语
“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯的从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻划问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，解题思路顿开。本文仅针对函数的几个问题进行讨论“数形结合”，而“数形结合”的题型远不止函数的这些题型，我们应根据题目的结构特征，提倡使用“数形结合”。
参考文献：
1.陈桂云:构造几何图形解题 《中学数学教学》 1996,2
2.刘志联:构造几何模型巧解代数题 《中学数学月刊》 2003,1
3.薛金星: 《中学教材全解 》 陕西人民教育出版社
数形结合的思想方法的解题应用技巧
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。
数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。
在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有：
1 距离函数 2、
y a
x b
-- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、22
a a
b b ±+余弦定理
6、
ax b
cx d
++ 双曲线 例题分析
『例1』 函数y ＝－xcosx 的部分图像是（ ）
y
x
O
C
y x
O
y
B
A
y x O y
x
O
C x
y
B
A
y
x
O
分析：这是一道以数解形的题，显然y=－xcosx 为奇函数，可排
除A 、C ，取x ＝0.1，y ＝－0.1cos0.1<0，图象在
x 轴下方，排除B. 故
选D.
『例2』已知数列{}n a 满足n
n a a
=
n ＝ 。
分析 11n n a a =-=考虑函数：1y -=的图像，注意到
,x N +∈有n ＝9时，n a 最大。『例3』已知2(),f x ax bx =+满足不等式;1(1)2,2(1)4,f f ≤-≤≤≤试求f （－2）的取值范围。
错解：由1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤得：
12a b ???????≤-≤①; 24a b ???????≤+≤②
①+②得：326a ≤≤ ；∴ 6412a ???????≤≤③ （－1）×②+①得：320b ???????-≤-≤④ 由③、④得：34212a b ≤-≤ 3(2)12.f ∴≤-≤
错因：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：
错解：约束条件：3
32302
a b ?≤≤??
??≤≤?? 目标函数： z ＝4a －2b
正解：约束条件：12
24a b a b ≤-≤??≤+≤?
目标函数： z ＝4a －2b
∴54210a b ≤-≤，即5(2)10f ≤≤
从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。 『例4
』已知sin sin ,αβ>那么下列命题正确的是（ ） A 、若α、 β是第一象限角，则cos cos ,αβ> B 、若α、 β是第二象限角，则tan tan ,αβ> C 、若α、 β是第三象限角，则cos cos ,αβ> D 、若α、 β是第四象限角，则tan tan ,αβ> 分析 考察选项A ，作单位圆，如图，OA 、OB 分别为角α、β的终边，∵OC 为α的余弦线，OD 为β的余弦线，则有cos cos ,αβ>知A 错，依次判断知选D 。
高中数学专题-集合的概念及其基本运算
高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1．了解集合、元素的含义及其关系。 2．理解全集、空集、子集的含义， 及集合之间的包含、相等关系。 3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点； 2.集合间的基本关系 很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系； (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1．会求简单集合的并集、交集。 2．理解补集的含义，且会求补集。 【知识清单】 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N ＋ Z Q R 2．集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合
A 包含于集合 B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠． （3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． （4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 （2）三种运算的常见性质 A A A =I ， A ?=?I ， A B B A =I I ， A A A =U ， A A ?=U ， A B B A =U U ． (C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=． A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U ． 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A
2011年(第十一届)高中生数学论文竞赛评奖公告
2011年(第十一届)高中生数学论文竞赛评奖公告 为了反映学生的学习成果，鼓励学生的创新意识，支持中学生开展数学论文写作这一活动，我刊从2001年开始至今已开展了十一届高中生数学论文写作竞赛。2011年（第十一届）高中生数学论文竞赛得到了广大中学教师和学生的大力支持，来稿踊跃。经过评审委员会评定，评出特等奖5篇，一等奖18篇，二等奖77篇，现将获奖论文及作者名单公布如下（同等奖次排名不分先后）。 论文题目作者单位指导老师 特等奖 对一道习题的解法探究田前超河南省淮阳一中苏继付一正多边形一个优美定值的研究性学习 余敦刚潘明财湖北省阳新县高级中学邹生书构造法求异面直线所成角金铁勇浙江省绍兴县鲁迅中学高二（3）班施建昌一类向量系数和问题的探究柯恒湖北省大冶一中高三（18）班徐国辉鱼离水儿不活刘宇慧广东省江门市培英高级中学高三（17）班刘品德方茗萱 一等奖 正态分布实际问题的细节探微张乔湖北省天门实验高级中学肖家怀对双曲线中定长焦点弦的条数问题的探究王岩江西省兴国县第四中学刘衍荣一道高考题的空间移植冯虎安徽省霍邱县第一中学冯克永构造函数求解含参数的有关问题揭晨华中科技大学附属中学高三（7）班 一个不等式的简证刘鹏程湖北省公安县第一中学高2年级20班刘杰两道数学问题的简解张佳四川省绵阳东辰学校高二（8）班姚先伟另解《数学通报》第1894题刘鹏程湖北省公安县第一中学高2年级20班刘杰一道三角题的求解曹钰佳江苏省海门中学高三（8）班孙芸求函数值域慎用“平方”法王笑语江苏省射阳中学高一（10）班王克亮一道竞赛题的另解钱男江苏省常熟市中学高三（6）班查正开一道三角证明题的简证刘一伊黑龙江省大庆实验中学高二（20）班侯典峰一类二元绝对值函数的最值求法左嘉睿广东省深圳市高级中学高三11班黄元华也说WMTC好题王聪甘肃省定西市一中高二13班刘占溪椭圆和圆的一种奇妙变换——伸缩变换吴林峰浙江省湖州二中沈恒2010年高考山东卷解析几何题的推广潘明财湖北省阳新县高级中学高三（1）班邹生书意外的“错误”程自强江苏省徐州市第一中学高一（21）班张培强巧用镶嵌法解题陈帅福建省龙岩一中高一（5）班胡寅年多彩的代换黄灿广东省深圳市高级中学高一（2）班黄元华 二等奖 求椭圆和双曲线的离心率及离心率范围策略 穆蓝重庆南开中学高2012级14 班张光年线面角的四种求法刘倩云湖北省宜都市一中刘宜兵均值不等式求最值的常见结构温丽江西省瑞金第一中学谢小平公交车站顶棚的合适宽度陈卓均广东省广州市番禺区象贤中学李伟一道线性规划题的解法探析魏晓虎河南省舞阳县第二高级中学耿林波浅论海伦——秦九韶公式的推导杨世华河南省舞阳县第二高级中学耿林波平面向量在解题中的应用郭巧言河南省舞阳县第二高级中学耿林波
高中数学论文
高中数学论文 山重水复疑无路，柳暗花明又一村 ——对一个数量积性质的新认识 张广平 【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。 【关键词】：数量积 向量 角度 距离 高中数学教材中首次出现“向量和导数”的引入。我认为其目的很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册（下B ）》P 33中，关于空间向量的数量积有这样三条性质： （1）><=?,cos ||，（2）0=??⊥b a b a ，（3）?=2 ||。 作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。 （一）性质的产生与内含 已知向量=和轴l ，是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影' A ，作点 B 在l 上的射影' B 则'A 叫向量在轴l 上或在方向上的正射影，简称射 影。 可以证明得，B A ?>=<=,cos ||''（证明略， 图如下所示。） 此性质的内含理解有四点： ①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量e a 与所成角的范围决定；③加上绝对值| ||''|e a B A ?=便是一条线段长度（这里|||''| 、B A 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在
数形结合思想在高中数学解题中的应用
第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202
高一数学指对幂函数习题(含答案与解析)
指对幂函数试卷四 一、选择题 1.设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== 0的x 的集合是 . 3. )2log (2)9(log )(91-==-f f x x f a ，则满足函数的值是_____. ? 4.函数 1e 1e +-=x x y 的反函数的定义域是_________.
新高中数学《集合》专项测试 (1145)
高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足
高中数学知识应用参赛论文
高中数学知识应用参赛论文 倒数的计算与其补数的次幂的联系 作者姓名：谢长龙 性别：男 所在学校及年级：清华附中高一年级 指导教师：周建军
摘要： 本文提出并验证了一个实用的新型计算方法，它能更快地计算出一个已知正整数的倒数。通过引入“补数”这一概念，本文将一个正整数的倒数与它的补数的幂有规律地叠加之和建立起联系，从而更简便地求出这个数的倒数。 关键词： “补数次幂叠加法”，倒数，补数，叠加 一、问题引入 99-1=0.0101010101010101……，而100-99=01,发现100以内的数的倒数与100和它的差的次幂的叠加可能有联系。 二、概念引入“补数” 现规定，若已知一整数a 满足10n-1
这种方法计算其前27位（第一行为实际值，最末一行为叠加值）：010204081632653061224489795 001 102 204 308 416 532 664 7128 8256 9512 101024 112048 124096 13819 1416 010204081632653061224489795可以看出，这种计算方式和实际值完全相同。所以这种方法是有 可取之处的。那么，97呢？96呢？66呢？16呢？这些数字利用这种 方法计算出来的倒数都符合其实际值吗？ 五、计算验证： 用上述方法计算93-1的值。
数形结合思想在高中数学教学中的应用
数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间：2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，在高中数学教学中，必须要注重对这种思想的应用，培养学生的数形结合意识，从而提高学生的知识能力。针对这种情况，文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想；高中数学教学；应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用，有利于提高学生的数学知识能力，培养学生的思维能力和解题能力，提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中，对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足，因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用，采取有效的应用措施，从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 （一）数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中，数形结合的教学思想还没有得到充分应用，对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进，传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃，在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中，大部分教师还停留在传统的教学模式上，只重视对学生数学基础和应试能力的培养，忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下，
学生的综合素质发展受到了一定的限制，教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养，使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中，由于教师过于注重学生的成绩，导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象，不利于学生未来的发展。 （二）传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素，同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中，传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式，由教师主导整个课堂教学活动，向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下，学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中，没有形成一定的教学规模，导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异，导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降，甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中，可以通过观察图形，建立“数”与“形”的对应关系，找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来，在图形上分析数量之间的关系，进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的，数量可以在图形上展示出来，也可以用数量关系来表达图形联系。例如：在例1的教学中，直接将数量关系转化成式子不容易，但是教师
高考《指对幂比较大小》专题
高考《指对幂比较大小》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 2014—文数—辽宁卷 4.已知01a <<，log log a a x =1 log 52 a y =，log log a a z =，则 （ ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >> 4．C 2006—文数—天津卷 4. 设)2(log log ,2log ,3log 3232===R Q P （A ）P Q R << （B ）Q R P << （C ）P R Q << （D ）Q P R << （4）A 2014—文数—天津卷 4. 设a =log 2π，b =log π，c =π﹣2，则（ ）
【答案】C 【解析】log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b 2009—文数—天津卷 5. 设0.3 113211log 2,log ,3 2a b c ?? === ???，则 A. a b c << B.a c b << C. b c a << D.b a c << 【答案】B 【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10,0<<
高一数学集合练习题及答案(人教版)
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤
9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
信息技术与高中数学的整合论文大赛
高中数学与信息技术的整合 山西省临县一中林雪平 摘要：随着计算机为核心的信息技术的不断发展，我国的教育改革正在向纵深发展，教育走信息化之路已成必然。信息技术作为一种新的教学媒体与数学这门基础学科相结合，使的高中数学在研究范围、研究方法和实际应用中得到了空前的拓展。本文从激发学习兴趣、展现教学目标、协助建构模型等三个方面分析了信息技术在教学中的应用，从而实现高中数学与信息技术的整合。 关键词：信息技术；高中数学；课程整合 二十一世纪是信息化的社会，以网络化、数字化、多媒体化和智能化为代表的信息技术，正在以全新的面貌悄然改变着人们的生活、学习和工作方式，现代信息技术的发展，对教育的价值、目标、内容以及教与学的方式都产生了重大影响。 通过近几年来的不断学习与实践，作为一名高中数学教师，深深地体会到，先进的现代教育技术，正在为高中数学教学提供着广阔的展示平台和新的生长点，信息时代的数学应该把信息技术作为学生学习和解决问题的强有力的工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去。 一、利用信息技术强大的信息承载功能，激发学生学习兴趣。 高中生思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是与具体形象思维相联系的。而数学知识具有严密的逻辑性，高度的抽象性等特点。因此，抽象的数学知识对于部分高中生来说有些枯燥，很难激发他们的学习兴趣。利用信息技术多媒体动画创设一定的学习问题情境，使数学知识以一种学 生感兴趣的方式呈现出来，引发高中生的认知冲突，激发高中生的学习动机。促使其积极主动地思考、学习。如在《三视图》的学习中，普遍感觉到图画起来麻烦，说起来困难，学生想起来更难。面对这样的问题，我们就可以选用合适的信息技术来呈现。首先要让学生理解用平面图形来刻画
高中数学教学论文集锦
高中数学教学论文集锦 高中数学教学论文篇一 一、创新意识是培养创新能力的关键 1.教学应该注重问题 著名数学家华罗庚教授年轻时从事教学的时候，就很注重通过问题的形式让学生去思考，以此达到创新意识的培养，并且鼓励学生敢于向教师提问.他觉得在解决问题的过程中可以让学生收获自信、喜悦，从而让学生自己可以很有兴趣地去学习数学，能够在学习数学的过程中体会到快乐.一个好的问题的提出往往会伴随着新知识的出现，并且很多知识在这里很好地联系在一起，能够有利于创造性思维的培养;一个好的问题应该具有必要性和实用性的特征，能够激发学生的求知欲，让学生能够展开热烈的讨论和积极的参与，从而能够获得主动发现问题的机会. 2.重视例题的选择及变式，培养学生的创新意识 教师在教学的过程中，要适宜地引导学生自觉地对数学定理进行深刻的变换和延伸，进一步激发学生的创造性思维.还有教师在针对性地选择和设计教学中的例题时，要注重进行一道题多种解法的训练，最好能进行举一反三的训练. 3.激发主体意识是创新建设民主氛围的关键 学生对于身心的自控、自主和自知程度的发展在某种意义上是由学生主体意识的强弱所决定.主体意识越强，学生就会越自觉地积极参与到自身发展和学习等有关的活动中.高中数学作为研究结果的体现和传播的一门基础性学科，由于其本身抽象的性质和严谨的逻辑推理，所以，对于高中数学的学习，首先必须要把自己设定在一定的情景氛围内，引导和启发学生去探究以前的科学家们的实践活动，积极参与探索学习活动，诱发学习的主观能动性.所以，教师在教学过程中，学生主体意识的激活，自主精神的强化，就成为了能够让学生潜在的创新意识可以得到有效提升的主要任务. 二、各种能力的培养是培养创新思维能力的基础 1.培养逻辑推理能力 数学的演算、创新以及数学证明都离不开推理，数学的知识体系实质上是运用逻辑推理的方法构成的.在教学的过程中，应该注重培养推理能力，因为，数学和推理是密切连接在一起的.除了逻辑推理能力在数学学习中非常关键的地位之外，注重培养学生的直觉推理能力，也是十分重要的.因为在教学过程中，我们会发现直觉推理可以使数学思维更具创造性、敏捷性和灵活性.直觉推理可以让学生逐渐养成自己动手、动脑的的能力，注重引导学生自己去思考和分析问题.培养学生自己的推理能力，首先就要逐渐养成推理过
高中数学指对幂函数专题演练
指数函数 对数函数 幂函数 考点精要 指数函数： 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型． 对数函数： 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y=a x 与对数函数y =log a x 互为反函数（a >0，且1a ≠）． 幂函数 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y=x ，y=x 2 ，y=x 3 ，1 y x =，1 2y x =的图像，了解它们的变化情况． 基本公式： 1．对数的概念,运算 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以 a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ；
②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 1）1log log =?a b b a ；2）b m n b a n a m log log =。 热点分析 指数函数与对数函数是高中阶段学习的最重要的基本初等函数，其运算法则、定义域、单调性与图像是考查热点．这两类函数与其他函数简单复合，或以运算法则为模型的抽象函数形式出现成为命题的一个特征． 幂函数是高中数学所学习的基本初等函数之一，考试重点在了解幂函数的概 念，重点掌握五类幂函数，即y=x ，y=x 2 ，y=x 3 ，1 y x =及1 2y x =的定义域，值域， 单调性，奇偶性以及函数图像． 知识梳理 两类基本初等函数定义、定义域、值域、单调性、图象及图像通过的特殊点，运算法则性质及其抽象符号表示等如下表：
高一数学必修一《集合》专题复习
高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围．
高中数学论文题目大全
1、数学中的研究性学习 2、数字危机 3、中学数学中的化归方法 4、高斯分布的启示 5、a2 b2≧2ab的变形推广及应用 6、网络优化 7、泰勒公式及其应用 8、浅谈中学数学中的反证法 9、数学选择题的利和弊 10、浅谈计算机辅助数学教学 11、论研究性学习 12、浅谈发展数学思维的学习方法 13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法 14、数学教学中课堂提问的误区与对策 15、中学数学教学中的创造性思维的培养 16、浅谈数学教学中的“问题情境” 17、市场经济中的蛛网模型 18、中学数学教学设计前期分析的研究 19、数学课堂差异教学 20、浅谈线性变换的对角化问题 21、圆锥曲线的性质及推广应用 22、经济问题中的概率统计模型及应用 23、通过逻辑趣题学推理 24、直觉思维的训练和培养 25、用高等数学知识解初等数学题 26、浅谈数学中的变形技巧 27、浅谈平均值不等式的应用 28、浅谈高中立体几何的入门学习 29、数形结合思想 30、关于连通性的两个习题 31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学 32、情感在数学教学中的作用 33、因材施教因性施教 34、关于抽象函数的若干问题 35、创新教育背景下的数学教学 36、实数基本理论的一些探讨 37、论数学教学中的心理环境 38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则 39、不等式证明的若干方法 40、试论数学中的美 41、数学教育与美育 42、数学问题情境的创设 43、略谈创新思维 44、随机变量列的收敛性及其相互关系
45、数字新闻中数学应用 46、微积分学的发展史 47、利用几何知识求函数最值 48、数学评价应用举例 49、数学思维批判性 50、让阅读走进数学课堂 51、开放式数学教学 52、浅谈中学数列中的探索性问题 53、论数学史的教育价值 54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学 55、微分方程组中的若干问题 56、由“唯分是举”浅谈考试改革 57、随机变量与可测函数 58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题 59、一种函数方程的解法 60、积分中值定理的再讨论 对原函数存在条件的试探 分块矩阵的若干初等运算 函数图像中的对称性问题 泰勒公式及其应用 微分中值定理的证明和应用 一元六次方程的矩阵解法 ‘数学分析’对中学数学的指导作用 “1”的妙用 “数形结合”在解题中的应用 “数学化”及其在数学教学中的实施 “一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学 《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例 Cauchy中值定理的证明及应用 Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进 Hamilton图的一个充分条件 HOLDER不等式的推广与应用 n阶矩阵m次方幂的计算及其应用 R积分和L积分的联系与区别 Schwarz积分不等式的证明与应用 Taylor公式的几种证明及若干应用 Taylor公式的若干应用 Taylor公式的应用 Taylor公式的证明及其应用 Vandermonde行列式的应用及推广 艾滋病传播的微分方程模型 把数学和生活融合起来 伴随矩阵的秩和特殊值
高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)
数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0
指对幂函数经典练习题
高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>
高一数学集合练习题专题训练(含答案)
高一数学集合练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共__小题） 1．下列写法： （1）{0}∈{1，2，3}；（2）??{0}；（3）{0，1，2}?{1，2，0}；（4）0∈? 其中错误写法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 2．已知集合M={a|a=+，k∈Z}，N={a|a=+，k∈Z}，则（） A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=? 3．下列各式正确的是（） A．2?{x|x≤10}B．{2}?{x|x≤10}
C．?∈{x|x≤10}D．??{x|x≤10} 4．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．设A、B是两个集合，对于A?B，下列说法正确的是（） A．存在x0∈A，使x0∈B B．B?A一定不成立 C．B不可能为空集D．x0∈A是x0∈B的充分条件 6．设U为全集，集合M、N?U，若M∪N=N，则（） A．?U M?（?U N）B．M?（?U N）C．（?U M）?（?U N）D．M?（?U N） 7．设集合A={（x，y）|-=1}，B={（x，y）|y=}，则A∩B的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．1 8．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}的子集个数是（） A．5B．8C．16D．32 9．下列四个集合中，是空集的是（） A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2-1=0}D．{x|x＞4} 10．已知集合A={x|＜-1}，B={x|-1＜x＜0}，则（） A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=? 11．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）