几何类：几何旋转专题

一几何变换——旋转

旋转中的基本图形

利用旋转思想构造辅助线

（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化

二利用旋转思想构造辅助线

（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度

（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形

三旋转变换前后具有以下性质：

（1）对应线段相等，对应角相等（2）对应点位置的排列次序相同

（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．

考点一

旋转与最短路程

?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。【例1】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B

逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌

⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；

②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++1时，求正方形的边长．

中考满分必做题

B A

【例2】阅读下列材料

对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点

②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点解决问题：

⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ，

证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++=

A Q

A B

⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值

考点二利用旋转求点的坐标

?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。

【例3】正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点

的坐标为（） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)，

【例4】如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A

的坐标为1)

逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________

考点三旋转与勾股定理

?考点说明：在等边三角形与正方形中，常见的一种题型，应重点掌握

【例5】如图，P 是等边ABC ?

中的一个点，2,4PA PB PC ===，则ABC ?的边长是________

【例6】如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，P 是ABC ?内的一点，且123PB PC PA ===，

，，求BPC ∠的度数．

【例7】如图点P 是正方形ABCD 内部一点，1PA =2PB =3PC =，则APB ∠= ．

考点四利用旋转的性质解决几何有关的计算

?考点说明：此类问题多以选择填空的形式出现，较为简单，有的时候也会再综合题中出现。

【例8】如图，将ABC ?绕点A 顺时针旋转45?得到ADE ?，点E 落在边BC 上，则_______BED ∠=

【例9】如图，将直径为4的半圆AB ，绕点A 逆时针旋转60?，则阴影部分的面积为

【例10】如图，将ABC ?绕点A 逆时针旋转80?得到AB C ''?．若50BAC ∠=?，则CAB '∠的度数为( )

A ．30?

B ．40?

C ．50?

D ．80?

B A

B'C'

小学数学常见几何模型典型例题及解题思路

* 小学数学常见几何模型典型例题及解题思路（1）巧求面积常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏斗等模型）；差不变 1、ABCG 是边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE ，求阴影部分的面积。答案：72 A H F E C B I D G 思路：1）直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2）整体减空白。关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求，且空白分别两个矩形面积的一半。 2、在长方形ABCD 中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1。△AEF 的面积是多少答案：20 |

A D B F C E 思路：1）直接求，无法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空白部分的面积都可求 3、如图所示的长方形中，E 、F 分别是AD 和DC 的中点。（1）如果已知AB=10厘米，BC=6厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米答案：（2）如果已知长方形ABCD 的面积是64平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米答案：24 B C D F E 思路（1）直接求，无法直接求；2）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空白的位置；3）也可以利用鸟头模型 4、正方形ABCD 边长是6厘米，△AFD （甲）是正方形的一部分，△CEF （乙）的面积比△AFD （甲）大6平方厘米。请问CE 的长是多少厘米。答案：8 @

A B D C F 思路：差不变 5、把长为15厘米，宽为12厘米的长方形，分割成4个三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，且S 1=S 2=S 3+S 4。求S 4。答案：10 D C E F S 1 S 2 S 3 S 4 思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度；FC 不能直接求，但是DF 可求，DF 可以由三分之一矩形面积S1÷AD ×2得到，同理EC 也求。最后一句三角形面积公式得到结果。 6、长方形ABCD 内的阴影部分面积之和为70，AB=8，AD=15。求四边形EFGO 的面积。答案10。 A B C D F O E G 思路：看到长方形和平行四边形，只要有对角线，就知道里面四个三

旋转类几何变换

旋转类几何变换一几何变换——旋转旋转中的基本图形利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化自检自查必考点

二利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的边先找出被旋转的三角形（2）根据对应边找出旋转角度（3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形三旋转变换前后具有以下性质：（1）对应线段相等，对应角相等（2）对应点位置的排列次序相同（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ．考点一旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。【例1】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．中考满分必做题 E N M D C B A

【例2】阅读下列材料对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值考点二利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。【例3】正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点的坐标为（） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)，【例4】如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，，若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O

用旋转法………作辅助线证明平面几何题

用旋转法………作辅助线证明平面几何题旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。 1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。 2、旋转时要注意旋转中心、旋转方向、旋转角度的大小（三要素：中心、方向、大小）； 3、旋转方法常用于竺腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。例1：例2 已知，在Rt ABC中 B=AC；∠BAC=90?； D为BC边上任意一点，求证：2AD2=BD2+CD2. 证明：把ABD绕点A逆时钍方向旋转90?，得?ACE，则ABD??ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE； ∠BAD=∠CAE， AD=AE。又∠BAC=90?；∴∠DAE=90? 所以： D E2=AD2+AE2=2AD2。因为：∠B+∠ACB=90? 所以：∠DCE=90? CD2+CE2=DE2=2AD2 即： 2AD2=BD2+CD2。注：也可以把ADC顺时针方向旋转90?来证明。注 E C D

已知，P 为等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求 ∠BPC 的度数。证明：把 ABP 绕点B 顺时钍方向旋转90 ?，得?CBD ，则 ABP ??CBD ，∴BP=BD AP=CD=5， ∠ABP=∠CBD ，所以 ∠BAP+∠PBC=∠CBD+∠PBC=60?，所以 BPD 为等边三角形。 ∠PBD=60? PD=PB=4所以： C D 2=PD 2+PC 2。因为： ∠DPC=90?所以： ∠BPC=∠BPD+∠DPC=60?+90?=150? 注：也可以把CAP 绕点C 逆时针方向旋转60?来证明。 D C 例3：如图：在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F 点。求证：BE=CF+AE 证明：把ABE 绕点B 顺时针方向旋转90?得BCN 。则：ABE ?BCN ，所以： ∠ABE=∠CBN ，BE=BN ，AE=CN 。因为：四边形ABCD 是正方形，所以：CD AB ，∠NFB=NBF 因为：∠ABF=∠ABE+∠EBF ，∠NBF=∠NBC+∠CBF ，而：∠EBF=∠FBC ；∠NBF=∠NFB 所以：BN=NF=CN+CF 所以：BE=AE+CF 。注：也可以把BCF 绕点B 逆时针方向旋转90?来证明。

中考数学几何旋转压轴题

中考数学几何旋转压轴题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

中考数学几何旋转综合题 1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 2. 在△ABC 中，＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A 1BC 1，A 1交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点． (1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 是怎样的数量关系?并证明你的结论；图23－4(a) (2)如图23－4(b)，当＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由；图23－4(b) (3)在(2)的情况下，求ED 的长． 3. 如图23－8(a)，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．图23－8 (1)当把△ADE 绕A 点旋转到图23－8(b)的位置时，D ，E ，B 三点共线，CD ＝BE 是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由； (2)当△ADE 绕A 点旋转到图23－8(c)的位置时，D ，E ，B 三点不共线，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB ＝2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 4. 如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P ，Q ．图23－9 (1)四边形OABC 的形状是______，当＝90°时， BQ BP 的值是______； (2)①如图23－9(b)，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴的正半轴上时，求 BQ BP 的值； A D E G D F A D C E G F A C E

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。（4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接 AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

3、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．（2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求PCQ 的度数。 Q

几何变换之旋转

【例1】如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠．在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．

∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-．即3AE = 【例5】如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】【例6】两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由：如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）模型三：对角互补模型（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时：以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：原结论变成：①；②；③；可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半；也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)

第2讲几何变换——旋转典型例题【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L

【例3】已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形．【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R

【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积．【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D

【例7】设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小．【例8】如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C

如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=．【例9】如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P

神奇的旋转几何题

例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形. （1）求证：AD=BE ；（2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系. 例2.课本例题推广：（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和. （2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°．求证：AD 是∠CDE 的平分线．（3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长．例3．已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF 的周长. 例4.已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 、E 在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数量关系练习： 1．在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 . 求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，（1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ．（2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ．（3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135° P C B A D C B A F E D C B A 2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ， F C M A E D C B A

盘点小升初平面几何常考五大模型

盘点小升初平面几何常考五大模型（一）等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析 ?【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4， S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少

【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。（二）课后练习题讲解与分析（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

初中数学几何专题旋转

初中数学几何专题——旋转一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D．二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．

8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是．三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的

(完整版)中考数学专题训练旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α?<

【练2】（2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

初中数学旋转解题几何

旋转基础练习一一、选择题 1．在26 个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个 2．从 5 点15 分到 5 点20 分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36° 3．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′的C位置，其中A′、B′分别是A、B 的对应点，且点 B 在斜边A′B上′，直角边CA′交AB 于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50° (图1) (图2) (图3) 二、填空题． 1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________． 2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠AED 都是直角，点 E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________． 3．如图3，△ABC 为等边三角形， D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________ 三角形．三、解答题． 1．阅读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置． (图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

初中几何模型及常见结论的总结归纳

初中几何模型及常见结论的总结归纳三角形的概念三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心）如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）

如等 OE ； r = 2

（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心）如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB，，的长度，求BE的长。特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。三角形全等三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。全等三角形的基本图形：平移类全等；对称类全等；旋转类全等；

巧用旋转法解几何题

巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A

几何辅助线之手拉手模型初

手拉手模型教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用知识梳理： 1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心： 2、等腰直角三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心： 3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；

核心图形：核心条件：；；典型例题：例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC 例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？

例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ， AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD 于点E. （1）如图1，猜想∠QEP=_______°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）模型三：对角互补模型（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时：以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<

?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：原结论变成：①；②；③；可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°

几何结构之折叠、旋转(讲义)

几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）（3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造）核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与旋转中心旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角；对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；旋转会产生圆（圆弧）．（3）常见组合搭配旋转会出现相似的等腰三角形；旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；

60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．（4）应用，作图（构造）当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；旋转方向不确定需要分类讨论；常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时只需保留研究目标即可）

2018年中考数学专题训练——几何题中用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程： 1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆（8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？生：绕点B 逆时针旋转60°得到． 2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转． H G F E D C B A

师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身图1 图2 图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．