8滑移线法

第八章 滑移线法 返

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本章内容：滑移线法原理及应用。 本章重点：滑移线场的合理建立。

滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线

特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场

适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题，再适当推广

满足条件：静力学+运动学（速度场条件） 第一节 基本概念 平面变形的应力状态

????

?

??????=+32

120

0000

03

1σσεσσ 231σσσ+=m 塑变屈服时()K =-=3121

max σστ

莫尔圆为：

???

??±=+=-=ωτωσσωσσ2c o s 2s i

2s i k k k xy

m y m x ?????-==+==k k m m

m σσσσσσω3

2145时

第二节 最大切应力迹线——滑移线

变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 6

1τ为P 1点最大切应力方向

2τ为P 2

（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。

α族，β族

一 规定族线及转角ωβα.

1)

位于第一与第最大主应力族线构成右手坐标系，、1σβα 图7-3 2）逆时针方向线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,,.βα

3）()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω

二 滑移线方程

()()??

???-=+==族族）βωωαωπ

ctg tg tg dx dy

dx dy

2( Hencky 方程：ωσ~m 平面应变应力平衡微分方程为：

??

???=+

=+????????00y

x

y x y yx xy x

σττσ

将

屈服

准

则

式

代

入

有

()

???????=--??=+-????????02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2m y x m k y

k x ωωω

ωωωσ

ωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴轴轴βα,

注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！

在α点无限近处有：0=ω αs x d d =

βs y d d = αs x ??=?? βs y ??=?? 0≠??α

ωs

0≠??β

ω

s 因此变为：()线线βωσαω

σβ

βα

α02)(02=??+??=??-??s k s s k s m m

积分后得：()

()???=+=-线线βη

ωσαξωσk k m m 22 此式即

汉基应力方程（Hencky ） 第三节 滑移线特性 一 沿线特性

沿α线：ωσ?=?k m 2 沿β线：ωσ?-=?k m 2 证：设一条α线上有a 、b 两点

ξ

ωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22

()02=---∴b a m b m a k ωωσσ ωσ?=?∴k m 2

沿同一滑移线，平均应力的变化与角度的变化成正比

二 跨线特性（汉基第一定律） ()()?

???=??=?C B m D A m BC AD ,σσωω， 证明：先沿1α线， A →B

有

B B m A m A k K ωσωσ22-=-

沿2β线 B →C 有：

c m c B m B k k ωσωσ22+=+

()c A B m A m c k ωωωσσ--=-∴22 （a ）

再沿A →D （β1线）

D m D A m A k k ωσωσ22+=+ D →C （沿线2α）

c m c D m D k k ωσωσ22-=-

()D C A m A m c k ωωωσσ22-+=-∴

（b ）

由于（a ）,（b ）式相等

B c A D ωωωω-=- 或A B D

C ωωωω-=-∴

??

??

?

-=-?=?mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理

同一族的一条滑移线转到另一条滑移线

时，则沿另一族的任意一条滑移线角度的变化和平均应力的变化为常数。

即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。

推论1：如滑移线场为正交直线，则为均匀应力场

推论2：如一族某一段为直线，则被另一族所截的相应区域的皆为直线。

三 应力和曲率间断面的概念 奇点：滑移线场中应力不确定的点 曲率间断面：曲率不连续的面

第四节 应力边界条件

一般在边界上 已知正应力n σ切应力τ，需转化为边界处m σ、ω

ω的确定：由于有：ωτ

2cos k xy

±=

因此有：()k τω12

1

cos -±= m σ的确定：分以下五种：

一 自由表面

自由表面、法向n σ，切向τ均为0。 1）k 21=σ 03=σ

2）01=σ k 23-=σ πω±=

二 无摩擦接触表面

45±=ω 03≠σ （α、β判断需比较1

σ，3

σ值

大小）

三 摩擦切应力达到最大值K 的接触表面

k ±=τ得0=ω或2πω= m n σσ=

来历 ??

?

??±=+=-=ω

τω

σσω

σσ2cos 2sin 2sin k k k m y m x 0=∴ω 或

π，

m y x σσσ==∴

四 摩擦切应力介于其一中间值的接触面

k τ

ωarccos 21±= 若y σ已知则可判断α线、

β

线。

五 变形体对称轴

对称轴上切应力为0 4π

ωω±= 再确定α、β线。

第五节 滑移线场建立方法 一 常见的滑移线场 （一）均匀应力场 两族正交直线 （二）简单应力场

一族直线，另一族为与之正交的曲线 1）同心圆与半径族 （有心扇形场）

（2）无心扇形场 一族直线为包络线的切线。另一族曲线为极限曲线（包络线）的渐开线

（三）均匀应力场与简单场组合

注意：与均匀场相邻的区域只能是简单场 （四）两族正交曲线滑移线场

1） 圆形边界为自由表面或其上作用有均布的法向应力时为正交对数螺族线场

2） 粗糙平板压缩时 （相当于τ=k ）滑移线场为：正交圆摆线

3） 两等半径圆弧构成（扩展有心扇形场） 二 近似图解法建立滑移线场

方法：1.理论公式法

线）αω(----=tg dx

dy

线）－βω(----=ctg dx

dy

2.数值图解法（略）

3.分析推理法

（梯形受垂直力，钉子型楔入） 第六节 滑移线法解题

解题步骤： 1）建立滑移线场

2）判断α或β线族，确定目标

点和边界点

3）应用Hencky 方程

4）确定各点的σm 和ω参数值 5）解出目标值 一 冲头压入半无限体 （一）．光滑平冲头压入半无限体

1、确定滑移线场

(光滑平冲头－摩擦力为零)

在平冲头向下力的作用下，平冲头下的金属产生向下、靠近平冲头两侧外的金属受挤产生向上突起的塑性变形。远离冲头区域，力小，处于弹性状态，不产生塑性变形

由于边界上都是均布主应力，所有边界上滑移线都与边界成45度，得到

两个均匀场和一个扇形场 2、确定 α、β线

根据 E 、 F （已知）点的应力特征或应变特征，CD 为α线 ， AC 为β线

注意 扫描图标注为 a 、 b 对应为 E 、F 。 3、计算变形力 在F 点 4πω=F ， 0=Y σ， K x 2-=σ，所以

K mF

-=σ

在 E 点

4πω-=E ， p Y -=σ，p K x -=2σ，

所以 p K m E

-=σ

沿EF （α）线

m E m E F m F K K ωσωσ22-=-,

4

24

2π

π

K

K p K

K ++-=--

K K p 14.5)2

1(2≈+

=π

57.22

12≈+=π

K p 二 平面变形挤压

挤压的概念、特点与分类

体积成形；变形不均匀，存在死区；分为正挤、反挤和复合挤

1）挤压比为2

（1）、确定滑移线场 （光滑凹模壁）

扇形场，由于凹模出口无阻力，挤压力全作用于两死区的边界上。 （2）、确定 α、β线 以O （已知）点判断 BO 为α线 ， OA 为β线 （3）、计算变形力 在O 点

4

πω-=O ，0

=X

σ

，

K

Y 2-=σ，所以

K mO -=σ

在B 点

43πω-=B

，

沿BO （α）线

m B m B O m O K K ωσωσ22-=-

，)4

3(2)4

(2πσ

π-

-=---K K K mB

)1(πσ+-=K m B

)2()4

3(2s i n )1(2s i n πππωσσ+-=--+-=-=K K K K B mB xB ) 总挤压力 lh K h

h l ldy P h

h xB )2()2()2(2)(22

ππσ+=-+=-=?

单位挤压力

K K lH

P

p 57.22

)

2(≈+==π

2）挤压比不等于2

3）锥形凹模正挤压

4）反挤压 三 圆筒件拉深

拉深受力

（1）确定滑移线场及方程

根据轴对称受力,θσσ和r 为主应力，分别对应为31σσ和

对于极坐标为θ,r 的任意一点P ，滑移线的方程为：

1450==tg rd dr

θ

， 即 r dr

d =θ

积分得： c r +=ln θ 对数螺旋线

（2）计算力

最外边沿b 点 c D

b +=2ln θ 最内边沿a 点

c d

a +=2ln θ d D

d D a b ln 2ln 2ln =-=-θθ

在a 点 p r =σ， ( K p r 2=-=-θθσσσ，

K p 2-=θσ),

K p m a -=σ

在b 点 0=r σ （ K r 20=-=-θθσσσ, K 2-=θσ ）

K mb -=σ 从a 到b 沿β线，有：

b

mb a ma K K θσθσ22+=+，

)(2a b ma mb K θθσσ--=-

得

d

D

K p ln

2=