优化练习-黄金分割法

一维搜索——黄金分割法

在迭代算法中，需要进行一维搜索。它的快慢、好坏，直接影响最优化问题的求解速度。迭代算法的基本公式，可写成

()()k

k

X X S α=+

其涵义是从()k X 点出发，沿()k S 方向，寻求最小值点。当()k

αα=时，则找到了最

小值点()1k X +，所以X 点的函数值可表示为：

()()(

)

(

)()k

k F X F X S α?α=+=

可以看出，当()k X 、()k

S 一定，()F X 只是α的函数，这就是一维搜索。其意义是寻求一最优的α，使函数值最小。

在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法，黄金分割法的

计算次数较少。黄金分割法也称做0.618法。是在给定的14~αα 区间内，搜索最优步长*α的值。如图1所示：

图1 黄金分割法区间分割 如果14~αα 区间很小，则可令

()*

141

2

ααα=

+ 如何使14~αα区间缩小，首先在区间内插入两个分割点1α ，2α ，且满足

1234αααα<<<，这样就可以根据分割点的函数值，决定割舍区间。可以证明，对于单峰函数，设*α已在14~αα区间内，且不管*α在哪一点上，只要经过()2?α 和()3?α函数值比较，将函数值大的邻近部份去掉，*α仍将保留在剩余段的区间内，如图2所示。

图2 缩小分割区间

图中阴影部分即为根据函数比较而去掉的部分。可以看出*α在任何情况下，都

将保留在剩余段中。用这种办法缩小区间，每一步都建立两个分割点，进行两次函数值计算。如把分割点按对称原则建立，就能利用前次保留的一个分割点，就可使计算工作量减少一半，使计算速度提高一倍。按这一思路形成的算法，就是黄金分割法。具体做法如图3所示。

图3确定缩短率

第一次区间是14~αα，假定()()32?α?α>,根据缩小规则，去掉34~αα段。此时区间缩短率λ为：

V l

λ=

式中V 、l 分别对应区段的长度。第二次区间是14~αα'，假定

()()3

2?α?α''>，去掉34~αα''段。此时的缩短率λ'是

(1)1l λλ

λλλ

--'==

如今两次的缩短率相等，即λλ'=，得到

210λλ+-=

5

1

0.61803392

λ-∴=

=

照此方法，第三次，第四次

按0.618的比例逐步缩小区间，直到最后求得最

优步长*α为止。黄金分割算法框图如图4所示

图4黄金分割法程序框图

实例：对于函数2()321f x x x =++,当给定搜索区间为[－3，5]时，试用黄金分割法求极小点*α。

1.黄金分割法程序设计：

#include "math.h" #include"stdio.h" double f(x) double x;

{

double f;

f=3*x*x+2*x+1;

return(f);

}

main()

{ double f2;

double f3;

double k;

double E;

double a1;

double a4 ;

double a2;

double a3;

a1=-3;

a4=5;

E=0.618;

k=0.001;

a2=a1+(1-E)*( a4- a1);f2=f(a2);

a3=a1+E*( a4- a1);f3=f(a3);

do

if(f2>=f3)

{a1=a2;a2=a3;f2=f3;a3=a1+E*(a4-a1);f3=f(a3);}

else

{a4=a3;a3=a2;f3=f2;a2= a1+(1-E)*( a4- a1);f2=f(a2);} }

while(fabs(a4-a1)> k);

printf("a*=%f f*=%f\n",(a1+a4)/2,f((a1+a4)/2));

}

2.程序测试结果如下：

a*=-0.333454 f*=0.666667

3.最终测试、结果：函数

2

()321

f x x x

=++，当给定搜索区间为[－3，5]时，黄

金分割法求得其极小点

() *0.3334540.666667

α=-

。