小学六年级行程和工程问题

小学中经常遇到的行程问题

行程问题是小学数学中经常遇到的，解决起来往往有些困难，因为还没有学习方程，所以有些题目很不好理解，利用单位1解决问题，这里举一些例子，由浅入深，结合方程的解法，同学们自己比较一下。

我们先来了解一下，关于行程问题的公式：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

基本公式：路程＝速度×时间；

路程÷时间＝速度；

路程÷速度＝时间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程

相遇路程÷速度和=相遇时间

相遇路程÷相遇时间= 速度和

相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程

相遇问题：（环形）：甲的路程+乙的路程=环形周长

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

追及时间×速度差＝路程差

追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间

追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长

流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度＝船速－水速

静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速：（顺水速度－逆水速度）÷2

流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

我们由浅入深看一些题目：

一、相遇问题

1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？

2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B 地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。

3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。A、B 两成之间的路程有多少千米？

4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？

5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：3。余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？

6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。甲车每小时行多少千米？

7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲，乙两地相距多少千米？

8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？

9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。

10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？

11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时？

12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？

13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离、

15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。

16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？

17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？

二、追及问题

1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？

2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?、

3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？

4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？

5、猎犬发现距它8米远的地方优质本报的野兔子，立刻追。猎犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？

6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？

三、特殊的追及问题

我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的

圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。看下面的例题：

1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻?

2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？

小学比较典型的工程问题

工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率×工作时间，万变不离其宗。

1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？

解：首先我们知道6月有30天

将额定每天完成的任务看作单位1

每天超额15%，一共工作30-5=25（天）

每天超额完成15%，25天共超额25×15%＝375%

每天完成八成，5天少完成5×(1-80%)=100%

这个月共超额完成375%-100%=275%

660÷275%=240(个）

2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天

解：将这堆饲料的总量看作单位1

那么

3牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/15

5牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10

我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的

1/15+1/10=1/6

那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天

分析：此题看作是和工程问题无关，可是当我们把3牛和5羊看作1个整体，5牛和6羊看作1个整体以后，就相当于把题目变为甲乙完成1项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是这个意思。如果我们把此题认为8牛和11羊吃25天吃的是2倍的饲料，然后除以2，得出12.5天，就不对了，这一点要在学习中注意。

3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？

解：乙独做4小时完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6

乙的工作效率=（1/6）/4==1/24

乙独做需要1/（1/24）=24小时

乙工作效率提高1/5后为（1/24）x（1+1/5）=1/20

甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10

那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20

甲原来的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22

甲单独做需要1/（1/22）=22小时

4、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？

AB合作，每天可以完成1/6

A先做3天，B再做7天，

可以看做AB合作3天，B再单独做7-3=4天

AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2

B单独做4天，完成了1-1/2=1/2

B单独做，每天完成：1/2÷4=1/8

B单独完成，需要：1÷1/8=8天

5、某工程，由甲乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙两队承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙两队承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？

甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12

乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15

甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20

甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60

甲工效：31/60-4/15=1/4

乙工效：31/60-7/20=1/6

丙工效：31/60-5/12=1/10

能在一星期内完成的为甲和乙

甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元

乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元

甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元

甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元

甲每天工程款：855-400=455元

乙每天工程款：855-560=295元

甲总费用：455×4=1820元

乙总费用：295×6=1770元

所以应将工程承包给乙。

6、甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？

总的工作量为单位1

甲的工作效率=1/20

乙的工作效率=1/30

甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12

甲休息4小时，那么甲工作15-4=11小时，甲完成1/20×11=11/20

乙完成1-11/20=9/20

完成这些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小时

那么乙休息15-27/2=3/2小时=1.5小时

7、一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）

将工作量看作单位1

甲的工作效率=1/10

乙的工作效率=1/12

丙的工作效率=1/15

甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟

设丙帮甲a分钟

a分钟甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6

那么剩下的1-a/6需要甲独自完成

乙a分钟完成a/12

那么剩下的1-a/12需要乙丙完成

需要的时间=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）

根据题意

（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）

10a/6=20/3-5/9a

30a=120-10a

40a=120

a=3分钟

丙帮乙3分钟

算术法解

两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成1间需要4分钟，那么完成2间需要4×2=8分钟，甲8分钟完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5

所以丙帮甲（1/5）/（1/15）=3分钟

那么丙帮乙8-3=5分钟

8、装配自行车3个工人2小时装配车架10个，4个工人3小时装配车轮21个。现有工人244人，为使车架和车轮装配成整车出厂怎安排244名工人最合适？

解：

装配车架的工作效率=10/（3×2）=5/3个/人×小时

装配车轮的工作效率=21/（4×3）=7/4个/人×小时

设a个工人装配车架，则有244-a人装配车轮

a×5/3：（244-a）×7/4=1：2

427-7/4a=10a/3

40a/12+21/12a=427

61a/12=427

a=84人

装配车架84人

装配车轮244-84=160人

简析：我们要知道在实际生活中，一辆自行车需要一个车架和二个车轮，那么车架和车轮比为1：2，可以称为隐含条件，大家要注意。

9、光明村计划修一条公路，有甲、乙两个工程队共同承包，甲工程队先修完公路的1/2后，乙工程队再接着修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程队每天比甲工程队多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程队共修路多少天？

解：因为乙的工作效率高于甲，所以前20天里乙没有修

实际乙工作了120/8=15天

此题问题不难，但是关键在于处理前20天内是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助画图会更好的理解。

10、张师傅计划加工一批零件，如果每小时比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4；如果每小时比计划多加工10个，那么所用的时间比原来少1小时，这批零件共有多少个？解：张师傅比计划少加工2个，那么所用的时间是原来的3分之4，

也就是原计划用的时间和实际用的时间之比为1：4/3=3：4

那么原来的工作效率和实际的工作效率之比为4：3

实际工作效率是原来的3/4

那么原计划每小时加工2/（1-3/4）=8个

如果每小时多加工10个，那么实际每小时加工8+10=18个

原计划的工作效率和实际工作效率之比=8：18=4：9

那么原计划与实际所用时间之比为9：4

实际用的时间是原来的4/9

那么原计划用的时间=1/（1-4/9）=9/5=1.8小时

那么这批零件有8×1.8=14.4个

或者列方程

我们设时针和分针之间距离为a格

（120+60-a）/1=a/（1/12）

13a=180

a=180/13格

那么离家时间=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小时≈2小时46分

附：解答应用题的一点心得：

1、读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考得不是数学，而是语文的阅读能力，还要有转化问题的能力。

2、巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。例如：甲乙二人速度之比为3：2，在求甲乙的速度时，我们可以设甲的速度为a千米/小时，乙为b千米/小时，这就是二元一次方程组；或者设甲的速度为a千米/小时，则乙为2/3a 千米/小时，这样虽然是一元一次方程，但是有分数；或者设甲的速度为3a千米/小时，乙的速度为2a千米/小时

可见最后的设法最好。根据不同的题目设出未知数。

3、根据等量关系列出方程

4、解方程。此时我们可能会遇到二个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根

5、写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要站分数的。

6、勤加练习，熟能生巧。触类旁通，举一反三。

这是我个人对接应用题的一点心得，希望对你有所帮助。一点心得

此问题多见于平日练习之中，比较有代表性，总结给大家，希望有所帮助，时间紧迫，难免有纰漏之处，还望批评指正。