稳恒磁场(答案)

1

稳 恒 磁 场 习 题 课 (2008.3.13)

说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量

Ⅰ 教学基本要求 电磁学

1.掌握磁感应强度的概念。理解毕奥· 萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。

2.理解稳恒磁场的规律：磁场高斯定理和安培环路定理。理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。

3.理解安培定律和洛伦兹力公式。了解电偶极矩和磁矩的概念能计算电偶极子在均匀电场中，简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀电场和均匀磁场中的受力和运动。

4.了解介质的极化、磁化现象及其微观解释。了解铁磁质的特性。了解各向同性介质中D 和E 、H 和B 之间的关系和区别。了解介质中的安培环路定理。

Ⅱ 内容提要

一.磁感强度B 的定义

用试验线圈(P m )在磁场中受磁力矩定义： 大小 B=M max /p m ，

方向 试验线圈稳定平衡时p m 的方向.

二.毕奥—沙伐尔定律

1.电流元I d l 激发磁场的磁感强度

d B =[μ0 /( 4π)]I d l ×r /r 3

2.运动点电荷q 激发磁场的磁感强度

B =[μ0 /( 4π)]q v ×r /r 3

三.磁场的高斯定理 1.磁感线(略)；

2.磁通量 Φm =??S

d S B

3.高斯定理

0d =??S

S B

稳恒磁场是无源场.

四.安培环路定理 真空中 ?

∑=?l

i I 0 d μl B

介质中

?∑=?l

i

I

0d l H

稳恒磁场是非保守场,是涡旋场或有旋场.

五.磁矩 P m ：

1.定义 p m =I ?S d S

2.磁偶极子激发的磁场：

延长线上 B=[μ0/(4π)](2 p m /r 3

) 中垂线上 B=[μ0/(4π)](－p m /r 3) 3. 载流线圈在均匀磁场中受力矩

M= p m ×B

六.洛伦兹力

1.表达式 F m = q v ×B (狭义)

F = q (E ＋v ×B ) (广义) 2.带电粒子在均匀磁场中运动： 回旋半径 R =mv sin α / (qB )

回旋周期T=2πm /(qB)

回旋频率ν= qB /(2πm)

螺距d=2π mv cosα/(qB)

3.霍耳效应：

(1)磁场与电流方向不变的情况下正载流子与负载流子受磁场力方向相同;

(2)霍耳电压U H=R H IB/d

(3)霍耳系数R H=1/(nq)

七.安培力

1. 表达式d F m=I d l×B；

2. 安培力的功W= I(Φm2－Φm1)。

八.介质的磁化

1. 顺磁质(p m≠0)主要是转向磁化;

抗磁质(p m=0)是分子内电子受洛伦兹力;

2.磁化强度M(题库为J)M=∑p m/?V

各向同性介质M=χm H

3. 磁场强度矢量H=B/μ0－M

各向同性介质B=μ0μr H=μH μr=1+χm 4. 铁磁质:磁畴理论(略),磁滞回线(略)。九.几种特殊电流的磁场：

1.长直电流激发磁场

有限长B=μ0I(cosθ1－cosθ2)/(4πr)

无限长B=μ0I/(2πr)

方向都沿切向且与电流成右手螺旋；

2.园电流在轴线上激发磁场

B=μ0IR2/[2(x2+R2)3/2]

中心B=μ0I/(2R )

张角α的园弧电流中心的磁感强度

B=[μ0I/(2R )]?[α/(2π)]

方向都沿轴向且与电流成右手螺旋；

3.无限长密饶载流螺线管激发的磁场

管内B=μ0nI管外B=0

4.密绕载流螺饶环环内磁场

B=μ0NI //(2πr)

5.无限大均匀平面电流激发磁场

B=μ0 j/2

6.无限长均匀圆柱面电流激发磁场：

柱面内B=0, 柱面外B=μ0I /(2πr) 7.无限长均匀圆柱体电流激发磁场：

柱内B=μ0Ir/(2πR2) 柱外B=μ0I /(2πr)

Ⅲ练习九至练习十五答案及简短解答

练习9 恒定电流

一、选择题A B D A C

二、填空题

1.I1+ I2+ I3+ I4=0

2.-ε1+ I1r1+ I2R1-ε2+ I3r2+ I4R2=0

3.ε/(R+r), 0；0,

ε.

三、计算题

1.(1)在距球心r处沿

电流方向取微元长度

d r,导电截面为2πr2.

则此微元长度电阻为

d R=ρd r/(2πr2)

接地电阻为

()

[]

?∞

=

a

dr

r

R2

2π

ρ=ρ/(2πa)

(2) j=I/S=I/(2πr2)

j1/j2=[I/(2πr12)]/[I/(2πr22)]= r22/r12

2. 其等效电路如图,R'为电缆

漏电阻,其大小为

()

[]

?='b

a

dr

rl

Rπ

ρ2

=ρln(b/a)/(2πl)=109Ω

1/R=1/R'+1/R0

R=R'R0/(R'+R0)=98.5Ω

负载信号电压V=V0R/(R+r)=23.3V

2

3

练习10 磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律 一、选择题 A A B C D 二、填空题

1. 所围面积,电流,法线(n ).

2. μ0I/(4R 1)+ μ0I/(4R 2),垂直向外; (μ0I/4)(1/R 12+1/R 22)1/2,π+arctan(R 1/R 2).

3. 0.

三、计算题 1.取宽为d x 的无限

长电流元 d I=I d x/(2a )

d B=μ0d I/(2πr )

=μ0I d x/(4πar )

d B x =d B cos α=[μ0I d x/(4πar )](a/r ) =μ0I d x/(4πr 2)= μ0I d x/[4π(x 2

+a 2

)] d B y =d B sin α= μ0Ix d x/[4πa (x 2+a 2)]

()??-+==a a

x x a x x

I B B 2204d d πμ =[μ0I/(4π)](1/a )arctan(x/a )a a

-

=μ0I/(8a ) (

)

??

-+==

a

a

y y a

x a x Ix B B 2

204d d πμ

=[μ0I/(8πa )]ln(x 2+a 2)

a a

-=0

2. 取宽为d L 细圆环电流, d I=I d N=I [N/(πR/2)]R d θ =(2IN/π)d θ d B=μ0d Ir 2/[2(r 2+x 2)3/2

] r=R sin θ x=R cos θ d B=μ0NI sin 2θ d θ /(πR ) ??==

π

π

πθ

θμ2

2

0d sin d R

NI B B

=μ0NI/(4R )

练习11 毕—萨定律(续) 磁场的高斯定理

一、选择题 D B C A D 二、填空题

1. 0.16T.

2. μ0Qv /(8πl 2

), z 轴负向.

3. μ0nI πR 2. 三、计算题

1.取窄条面元d S =b d r , 面元上磁场的大小为 B =μ0I /(2πr ), 面元法线与磁场方向相反.有

Φ1=

?-

=a

a bI

bdr r

I 2002ln 2cos 2π

μππμ

Φ2=

?-

=a a

bI

bdr r

I

42002ln 2cos 2π

μππμ

Φ1/Φ2=1

2. 在圆盘上取细圆环电荷元d Q =σ2πr d r , [σ=Q /(πR 2) ],等效电流元为

d I =d Q /T =σ2πr d r/(2π/ω)=σωr d r

(1)求磁场, 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与ω同向,大小为

d B=μ0d Ir 2/[2(x 2+r 2)3/2]=μ0σωr 3d r /[2(x 2+r 2)3/2]

(

)

(

)

()

?

?

++=

+=

R

R

x

r

x

r r x

r r r B 02

32

2

2

22

00

2

/32

23

0d 4

2d σωμσωμ =

()()()

?

+++R

x

r

x

r

x

r

2

3222

2

2

2

0d 4

σω

μ

-

(

)()

?

++R

x

r

x

r

x 0

2

32

2

2

2

2

0d 4

σω

μ

=

???

?

?

?++

+R

R

x r x

x r 02

2

2

2

2

02σωμ =

???

? ?

?-++x x

R x R R

Q 2222

22

22

0πωμ

(2)求磁距. 电流元的磁矩

d I

4

d P m =d IS=σωr d r πr 2=πσωr 2d r ?

=

R

m dr r P 0

3

πσω=πσωR 4/4=ωQR 2/4

练习12 安培环路定律

一、选择题 B C C D A 二、填空题

1. 环路L 所包围的电流, 环路L 上的磁感

应强度,内外. 2. μ0I , 0, 2μ0I . 3. -μ0IS 1/(S 1+S 2),

三、计算题

1. 此电流可认为是由半径为R 的无限长圆

柱电流I 1和一个同电流密度的反方向的半径为R '的无限长圆柱电流I 2组成.

I 1=J πR 2 I 2=-J

R '2 J =I/[ (R 2-R '2)] 它们在空腔

内产生的磁感强度分别

为

B 1=μ0r 1J/2 B 2=μ0r 2J/2 方向如图.有

B x =B 2sin θ2-B 1sin θ1

=(μ0J/2)(r 2sin θ2-r 1sin θ1)=0 B y =B 2cos θ2＋B 1cos θ1

=(μ0J/2)(r 2cos θ2＋r 1cos θ1)=(μ0J/2)d 所以 B = B y = μ0dI/[2π(R 2－R '2)] 方向沿y 轴正向

2. 两无限大平行载流平

面的截面如

图.平面电流在空间产生的磁场为 B 1=μ0J /2

在平面①的上方向右,在平面①的下方向左;

电流②在空间产生的磁场为 B 2=μ0J /2 在平面②的上方向左,在平面②的下方向

右.

(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B 1+B 2=μ0J (2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B 1-B 2=0 练习13 安培力

一、选择题 D B C A B 二、填空题

1 IBR .

2 10－2

, π/2

3 0.157N·m ; 7.85×10－2J .

三、计算题

1. (1) P m =IS=Ia 2

方向垂直线圈平面. 线圈平面保持竖直,即P m 与B 垂直.有 M m =P m ×B

M m =P m B sin(π/2)=Ia 2B =9.4×10－4m ?N

(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向 M m =P m B sin(π/2－θ)=Ia 2

B cos θ M G = M G 1 + M G 2 + M G 3

= mg (a/2)sin θ+ mga sin θ+ mg (a/2)sin θ =2(ρSa )ga sin θ=2ρSa 2

g sin θ Ia 2B cos θ=2ρSa 2g sin θ tan θ=IB/(2ρSg )=0.2694 θ=15?

2.在圆环上取微元 I 2d l = I 2R d θ 该处磁场为 B =μ0I 1/(2πR cos θ) I 2d l 与B 垂直,有 d F= I 2d lB sin(π/2) d F=μ0I 1I 2d θ/(2πcos θ)

d F x =d F cos θ=μ0I 1I 2d θ /(2π)

d F y =d F sin θ=μ0I 1I 2sin θd θ /(2πcos θ)

?

-=

2

2

2102πππ

θ

μd I I F x =μ0I 1I 2/2

I I 1 I 2

①②

因对称F y=0.故F=μ0I1I2/2 方向向右. 练习14 静磁场中的磁介质

一、选择题 D B D A C

二、填空题

1. 7.96×105A/m,

2.42×102A/m.

2. 见图

3.矫顽力H c大, 永久磁铁.

三、计算题

1. 设场点距中心面为x,因

磁场面对称以中心面为

对称面过场点取矩形安培

环路，有

??l l

H d=ΣI02?LH=ΣI0

(1)介质内,0

(2)介质外,|x|>b/2. ΣI0=b?lJ=b?lγE,有

H=bγE/2B=μ0μr2H=μ0μr2bγE/2

2. 因磁场柱对称取同轴的圆形安培环路，

有??

l l

H d=ΣI0

在介质中(R1

2πrH= I H= I/(2πr )

介质内的磁化强度

M=χm H =χm I/(2πr)

介质内表面的磁化电流

J SR1=|M R1×n R1|=| M R1|=χm I/(2πR1)

I SR1=J SR1?2πR1=χm I(与I同向) 介质外表面的磁化电流

J SR2=|M R2×n R2|=| M R2|=χm I/(2πR2)

I SR2=J SR2?2πR2=χm I(与I反向) 练习15 静磁场习题课

一、选择题 D C A A A

二、填空题

1. 6.67×10-6T ; 7.20×10-21A·m

2.

2.

R

ih

π

μ

2

0.

3.-πR2c (Wb).

三、计算题

1.(1)螺绕环内的磁场具有轴对称性,故在环内作与环同轴的安培环路.有

??

l

l

B d=2πrB=μ0∑I i=μ0NI

B=μ0NI/(2πr)

(2)取面积微元h d r平行与环中心轴,有dΦm=|B?d S| =[μ0NI/(2πr)]h d r=μ0NI h d r /(2πr)Φm=?=

21

2

2

1

ln

2

2

D

D

D

D

NIh

dr

r

NIh

π

μ

π

μ

2. 因电流为径向,得径向电阻为

?=

2

1

1

2

ln

2

2

R

R

R

R

d

rd

dr

π

ρ

π

ρ

I=ε/[ρln(R2/R1)/(2πd)]=2πdε/[ρln(R2/R1)] 取微元电流

d I d l=J d S d r

=[I/(2πrd)]r dθd d r

=dεdθd r/[ρln(R2/R1)]

受磁力为

d F=|d I d l×B|

=Bdεdθd r/[ρln(R2/R1)]

d M=|r×d F|=Bdεdθ r d r/[ρln(R2/R1)]

5

6

Ⅳ 课堂例题

一、选择题

1.电流由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，由b 点流出，经长直导线2沿cb 延长线方向返回电源(如图)．已知直导线上的电流为I ，三角框的每一边长为l ．若载流导线1、2和三角框中的电流在三角框中心O 点产生的磁感强度分别用1B 、2B 和3B

表示，则O 点的磁感强度大小

(A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为021=+B B

，B 3= 0．

(C) B ≠0，因为虽然021=+B B

，但B 3≠ 0． (D) B ≠0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B

．

2.如图所示，导线框abcd 置于均匀磁场中(B

的方向竖直向上)，线框可绕AA ′轴转动．导

线通电时，转过α 角后，达到稳定平衡．如果导线改用密度为原来1/2的材料做，欲保持原来的稳定平衡位置(即α 不变)，可以采用下列哪一种办法？(导线是均匀的)

(A) 将磁场B

减为原来的1/2或线框中电流减为原来的1/2． (B) 将导线的bc 部分长度减小为原来的1/2．

(C) 将导线ab 和cd 部分长度减小为原来的1/2．

(D) 将磁场B

减少1/4，线框中电流也减少1/4．

3.有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，

导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的

(A) 4倍和1/8．

(B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2．

4.如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2.0 A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B 为1.0 T ，则可求得铁环的相对磁导率μr 为(真空磁导率μ

0 =4π×10-7 T ·m ·A -1

)

(A) 7.96×102 (B) 3.98×102

7

(C) 1.99×102

(D) 63.3

5.关于稳恒电流磁场的磁场强度H

，下列几种说法中哪个是正确的？ (A) H

仅与传导电流有关．

(B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H

必为零． (C) 若闭合曲线上各点H

均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零． (D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H

通量均相等．

6.面积为S 和2 S 的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用Φ21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用Φ12表示，则Φ21和Φ12的大小关系为：

(A) Φ21 =2Φ12． (B) Φ21 >Φ12． (C) Φ21 =Φ12 (D) Φ21 =

2

1Φ12．

二、选择题

1.有一半径为a ，流过稳恒电流为I 的1/4圆弧形载流导线bc ，按图示方式置于均匀外磁场B

中，则该载流导线所受的安培力大小为_________________．

2.一根无限长直导线通有电流I ，在P 点处被弯成了一个半径为R 的圆，且P 点处无交叉和接触，则圆心O 处的磁感强度大小为_______________，方向为______________．

3.有很大的剩余磁化强度的软磁材料不能做成永磁体，这是因为软磁材料__________，如果做成永磁体________.

4.长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流

I

c

a

P

8

通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介质．介质中离中心轴距离为r 的某点处的磁场强度的大小H =_________，磁感强度的大小B =__________．

三、计算题

1.如图示，由一根细绝缘导线按ACEBDA 折成一个正五角星形，并按以上流向通电流I = 1 A ，星形之外接圆半径为R = 1 m ，求五角星任一个顶点处磁感强度的大小．（真空磁导率μ0 =4π×10-7

T ·m/A ） (sin72°＝0.9511， sin36°＝0.5878， cos72°=0.3090， cos36°＝0.8090)

2.如图所示，一无限长直导线通有电流I =10 A ，在一处折成夹角θ ＝60°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm 的P 点处的磁感强度．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1)

3.半径为R 的无限长圆筒上有一层均匀分布的面电流，这些电流环绕着轴线沿螺旋线流动并与轴线方向成α 角．设面电流密度(沿筒面垂直电流方向单位长度的电流)为i ，求轴线上的磁感强度．

9

4.一根同轴线由半径为R 1的长导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I 沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B 的分布．

附Ⅴ 课堂例题解答见电磁感应习题课 附 静电场习题课课堂例题解答

一.选择题 BBCADD 二.填空题

1. λd/ε0, λd/[4πε0(R 2-d 2/4)]，水平向左

2. 负，＜.

3.

)22(812310q q q R

++

πε.

4. F /4.

三.计算题

1. 该均匀带电圆在距平面a 米处产生场强为

[]{}??+=

=

q

a r adq E E 2

322

)

(4d πε

]{}?+=

R a r r

a 0

2

32

2

)

(4d 2πε

πσ

=[σ/(2ε0)][1-a /(R 2

+a 2)1/2

]

“无限大”均匀带电平面在该点产生的场强

为E '=σ/(2ε0),由题意E '=2 E .故

σ/(2ε0) =2[σ/(2ε0)][1-a /(R 2+a 2)1/2]

a /(R 2+a 2)1/2

=1/2 解得 a R 3= 2. 设两无限长导线带电线密度为λ±,取坐标如图,由叠加原理可求得两导体间的场强： E =λ/(2πε0x )+λ/[2πε0(d -x )]

?

?=

?b

a

U l E d

)[])[]?--+=0

00

11

2r d r

x r d x d πε

λ

=[λ/(πε0)]ln[(d -r 0)/r 0]≈[λ/(πε0)]ln(d /r 0) 取导线长度L ,则所带电量Q=λL ,则此段导线的电容为 C L =Q/?U=πε0L/ln(d /r 0)

I

10 单位长度电容为 C 0=C L /L =πε0/ln(d /r 0)

3. 此带电体可认为是实心均匀带正电(电荷密度ρ)的大球和均匀带负电(电荷密度-ρ,位置在原空腔处)的小球组成.

Q 1=ρ(4πR 3/3), Q 2=-ρ(4πa 3

/3), 用高斯定理可求Q 1在大球内(r 1

E 1= Q 1r 1/(4πε0R 3

)=ρr 1/(3ε0)

Q 2在小球内(r 2a )产生的场.

E 2内= Q 2r 2/(4πε0a 3)=-ρr 2/(3ε0)

E 2外= Q r 2/(4πε0r 23)=-ρa 3r 2/(3ε0r 3

)

(1)O ' 点处:r 1=d ,r 2=0. E 1=ρd 1/(3ε0), E 2=0E 0=E 1+E 2=ρd 1/(3ε0) 方向向右 (2)P 点处:r 1=d ,r 2=2d

. E 1=ρd 1/(3ε0), E 2=-ρa 3/(12ε0d 2)

E 0=E 1+E 2=ρd 1/(3ε0) -ρa 3/(12ε0d 2

)

= ρ (4d 3-a 3)/(12ε0d 2)

方向向左

4一法,用电势定义求

因电荷球对称,电场球对称,作与带电体对称的球形高斯面,有

0int 2

/4d επq E r S

==??S

E

球内,r

E 2=ρ( r 3-R 13)/3ε0r 2

球外r>R 2: q int =ρ4π( R 23-R 13)/3

E 2=ρ( R 23-R 13)/3ε0r 2 故?

∞

?=

r

U l E d ?

?

∞

?+

?=

2

2

032R R r l E l E d d

())[]+?-?2

12

3

1

3R r 3

r r

R r

d ε

ρ

()()[]?∞?-+

2

2

3

1

32

3R r r

R R

d ε

ρ

[ρ/(3ε0)][( R 22

-r 02

)/2- R 13

(1/r 0-1/R 2)]+

+[ρ/(3ε0)]( R 23-R 13

)/R 2) =ρ(3R 2-r 02-2R 13/r 0)/(6ε0)

二法,用电势叠加求

取同心的薄球壳微元d q ==4πr 2ρd r ,它在球层内产生的电势:

当rr 0时, d U =d q/(4πε0r )= ρr d r/ε0, 所以

()[]?

??+

=

=

2

01

002

R r r R r r r r r

U

U ερερd d d =[ρ/(3ε0)]( r 02-R 13/r 0)+[ ρ/(2ε0)]( R 22-r 02)

=ρ(3R 2-r 02-2R 13

/r 0)/(6ε0)