误差分析及不确定度流程

流程图周子桢 2017010911023

（1）求直接测量的物理量的算数平均值∑===m

i i N

N m N 11

（2）利用公式以及直接测量的物理量的平均值计算待测物理量算术平均值

（3）求直接测量的物理量的A 类不确定度

n S

n n N N

S u n

i i

N A =

--=

=∑=)

1()

(1

2

（4）求直接测量的物理量的B 类不确定度

3

仪

仪?=

?u 3

估

估?=

?u

①.仪器误差仪?的确定：

A.由仪器的准确度表示

B.由仪器的准确度级别来计算

%

级别电表的满量程电表的最大误差

=

B. 由仪器的准确度等级计算

C.国标或者仪器说明书中作了规定 国标：钢直尺 mm 15.0=?仪

仪器说明书：

n m N +?=?%仪

3 ?（三位半）数字万用表 ◎ 有4位数字显示位 ◎ 第一位不能完整显示0-9

◎ ? 指该位能显示2个数字，其中最大数字为1，也即，该位能显示0-1

个字仪2%5.0+?=?U

◎ U 是测量值

◎ 2个字：末位为2的数字

◎例：量程2V 档能显示的最大值是1.999V ，因此2个字是0.002V D.未给出仪器误差时 可以估读的仪器最小分度/2 不能估读的仪器最小分度 ②.估读误差

估

? 的确定

仪器分辨率

最小分度（不能估读的仪器） 最小分度/10（可以估读的仪器）

A. 不能估读的仪器

=?估

如：游标卡尺、数字仪表、分光计 B. 可以估读的仪器

/5

2最小分度分辨率估=?=?

C.根据实际情况放大估读误差

（5）求直接测量的物理量的合成不确定度

A 类不确定度分量

Am Ai A A u u u u ,......,,21 B 类不确定度分量

Bn

Bj B B u u u u ,......,,21

2

221

1

22估

仪??==++=+=

∑∑u u u u u A m i n

j Bj Ai σ

通常情况下m=1，n=2

If （还有直接测量的物理量的合成不确定度 没有算出来）回到（3）

（6）求待测物理量的相对不确定度

设N 为待测物理量，X 、Y 、Z 为直接测量量

...)z ,y ,x (f N =

...

dz z f dy y f dx x f dN +??+??+??=

若先取对数再微分，则有:

...)z ,y ,x (f ln N ln =

...dz z f

ln dy y f ln dx x f ln N dN +??+??+??=

......z f ln y f ln x f ln N z y

x +??? ????+???? ?

???+??? ????=2

2

22

2σσσσ

（7）求待测物理量的不确定度

......z f y f x f z y

x +??? ????+???? ????+??

?

????=2

2

22

2

2

σσσσ

（8）求待测物理量的结果表达式

待测物理量=（待测物理量算术平均值 +- 待测物理量的不确定度）单位

第一节

测量与误差 一.测量 1. 测量的含义

测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出被测量是单位的多少倍的过程。

倍数→ 读数+单位→数据

测量的要素：对象，单位，方法，准确度。 2、测量的分类 按方法分类: 直接测量 间接测量

按条件分类: (对同一物理量的多次测量) 等精度测量V 非等精度测量

一、用算术平均值表示测量结果

m 次：N1，N2，．．．Ni ，．．．Nm 任一次的测量误差：

N

N N i i '

-=?∑==m

i i 'N 1

0?（m → ∞）

∑==-=-++-+-m

i i m mN N N N N N N N 1

210)(...)()(

∑===m

i i N

N m N 1

1（近真值）

N N N i i -=?（偏差）

二、误差的估计——标准偏差

高斯分布

多次测量中任意一次测量的标准偏差

()

1

1

2

--=

∑=n N

N

S n

i i

（贝塞尔公式）

算术平均值对真值的标准偏差

()

n S n n N

N

S n

i i

N =

--=

∑=)

1(1

2

三、置信概率和置信限

只是一个通过数理统计估算的值，表示真值以一定的概率被包含在

)

(~)(S N S N +-范围内，可算出这个概率是68.3%。称之为

置信概率或置信度。

N

S 是一个误差范围，称为“误差限”或“置信限”

在)2(~)2(S N S N +-范围内 p=95.4% 在)3(~)3(S N S N +-范围内 p=99.7% 测量值落在)(~)(S N S N +-内的置信度也是68.3% 在)2(~)2(S N S N +-范围内 p=95.4%

在)3(~)3(S S +-范围内 p=99.7%

四、坏值的剔除

1.极限误差

测量数据在)3(~)3(S N S N +-范围内的概率为99.7% 3S:极限误差S lim 3=?

2. 拉依达准则 凡是误差

S

N N i 3lim =?≥-的数据为坏值，应当删除，平均值N 和误

差S 应剔除坏值后重新计算。

拉依达准则是建立在∞→n 的条件下，当n 较少时，3S 的判据并不可靠，尤其是n<=10 时更是如此。

三、直接测量不确定度的计算

1)A 类不确定度的计算：

贝塞尔法 Ni 的不确定度

1

12

--=

∑=n N N S n

i i )(

N

的不确定度

n S

n n N N S u n

i i N A =

--=

=∑=)

1()(12

2)B 类不确定度的估计:

3

仪

仪?=

?u 3

估

估?=

?u

①.仪器误差仪?的确定：

A.由仪器的准确度表示

B.由仪器的准确度级别来计算

%

级别电表的满量程电表的最大误差

=

C. 由仪器的准确度等级计算 C.国标或者仪器说明书中作了规定

国标：钢直尺 mm 15.0=?仪

仪器说明书：

n m N +?=?%仪

3 ?（三位半）数字万用表 ◎ 有4位数字显示位 ◎ 第一位不能完整显示0-9

◎ ? 指该位能显示2个数字，其中最大数字为1，也即，该位能显示0-1

◎ U 是测量值

◎ 2个字：末位为2的数字

◎例：量程2V 档能显示的最大值是1.999V ，因此2个字是0.002V

D.未给出仪器误差时

可以估读的仪器最小分度/2 不能估读的仪器最小分度 ②.估读误差

估

? 的确定

仪器分辨率

最小分度（不能估读的仪器） 最小分度/10（可以估读的仪器）

A. 不能估读的仪器

=?估

如：游标卡尺、数字仪表、分光计

B. 可以估读的仪器

/5

2最小分度分辨率估=?=?

C.根据实际情况放大估读误差

3) 合成不确定度

A 类不确定度分量Am Ai A A u u u u ,......,,21

B 类不确定度分量

Bn

Bj B B u u u u ,......,,21

2

221

1

22估仪??==++=+=

∑∑u u u u u A m i n

j Bj Ai σ

通常情况下m=1，n=2

四、不确定度的传递公式

1. 多元函数的全微分

设N 为待测物理量，X 、Y 、Z 为直接测量量

...)z ,y ,x (f N =

...

dz z f

dy y f dx x f dN +??+??+??=

若先取对数再微分，则有:

...)z ,y ,x (f ln N ln =

...dz z f ln dy y f ln dx x f ln N dN +??+??+??=

2.间接测量的不确定度由传递公式计算

......z f y f x f z y x +??? ????+?

??? ????+??? ????=2

2

22

22

σσσσ

......z f ln y f

ln x

f ln N z y

x +??? ????+???? ?

???+??? ????=2

2

22

2σσσσ

其中f 为间接测量量N 与直接测量量x 、y 、z ……之间的函数关系。

3.不确定度计算的简化-微小误差舍去原则

在方和根合成公式中

∑==

n

i i a b 1

2

如果

22

10131j

i j i a a a a ≤≤或者 那么

i

a 项可以忽略不计

注意：包括计算直接测量量的合成不确定度 以及计算间接测量量的不确定传递公式

五、测量结果表达式：

)

(单位σ±=N N 683.0=P

)

(2单位σ±=N N 954.0=P

)

(3单位σ±=N N 997.0=P