高数2习题册复习课程
2016～2017 学年第一学期
高等数学Ⅱ-1 练习册高等数学Ⅲ-1 练习册
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第一章 函数与极限
§ 1.1 映射与函数 一、本节学习目标：
1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。
2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。 二、本节重难点:
1.a 的δ邻域：(,){}{}(,)U a x x a x a x a a a δδδδδδ=-<=-<<+=-+
2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。
3.1
,-f
f 互为反函数，且有()1
f f
f x x x D -≡∈????，，()1f f f y y y R -??≡∈??，.
1f -的定义域为f 的值域。
练习题
1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ()()f x g x x =
= B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==
C.
2
()()f x g x ==
D.2(),()f x g x x == 2.下列函数中为偶函数的是（ ）
A. cos 2x x
B. 3
cos x x + C. sin x x D. 2
sin x x
3. 下列函数中，奇函数是( )．
A. 31y x =+
B. ln y x =
C. +sin y x x =
D. 2+cos y x x =
4.下列函数中不是初等函数的是（ ）
A.0
00x x y x x x >??
==??-
B.ln sin(1)y x =+
C.y
D.21
11
01x x y x x ?-≠?
=-??=?
5.凡是分段函数都不是初等函数。（ ）
6.复合函数[g()]y f x =的定义域即()u g x =的定义域。（ ）
7.函数1
ln(1)
y x =
+的定义域是(1,)-+∞。（ ）
8.满足32x +<的全体实数，称以 为中心， 为半径的邻域。 9.设2
1
(),[()]1f x f f x x
=
=- 。10.arcsin(1)y x =+的定义域 。
11.指出函数y =的复合过程。 12. 指出函数2
1sin 2x
y =的复合过程。
§ 1.2 数列的极限
一、本节学习目标：
1.理解数列极限的概念。 二、本节重难点:
1.-N ε“”语言：0,.lim .n n n N N n N x a x a εε+
→∞
?>?∈>-<=，使得当时，有记作
注：（1）ε的任意性。（ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度） （2）N 的选取是与ε有关的。
2.如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。
3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。
4.常用结论: (1)212lim lim lim k k n k k n x x a x a -→∞
→∞
→∞
==?=
(2)若212lim ,lim k k k k x x -→∞
→∞
至少有一个不存在，或212lim ,lim k k k k x x -→∞
→∞
存
在，但212lim lim k k k k x x -→∞
→∞
≠，则lim n n x →∞
不存在。
练习题
1. 设数列{}n x ，当n 越来越大时，n x a -越来越小，则lim .n n x a →∞
= （ ）
2. 设数列{}n x ，对0,N N n N ε+
?>?∈>，当时,有无穷多个n x 满足,n x a ε-<
则lim n n x a →∞
=. （ ）
3. 数列{}n x ,对0ε?>，{}n x 中仅有有限个n x 不满足,n x a ε-<则lim .n n x a →∞
=（ ）
4. 有界数列{}n x 必收敛.（ ）
5. 无界数列{}n x 必发散。（ ）
6. 发散数列{}n x 必无界.（ ）
7. 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界。（ ）
8.* 用数列极限的定义证明下列极限：
（1）212lim 313n n n →∞+=+ （2）sinn
lim 0n n
→∞=
§ 1.3 函数的极限
一、本节学习目标：
1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。 二、本节重难点:
1. 自变量趋于有限值时函数的极限：0
0lim (x)A (x)A x x f f x x →=→→或（当）
2. 自变量趋于无穷大时函数的极限: lim (x)A x f →∞
=或(x)A(x )f →→∞当
3.(1)0
lim ()x x f x A →=?0
lim ()lim ()A x x x x f x f x -+→→==.
(2)0
lim ()x x f x →不存在?0
lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→中至少有一个不存在,或0
lim ()x x f x +→，
lim ()x x f x -→存在但00
lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠.
(3)lim ()x f x A →∞
=?lim ()lim ()A x x f x f x →-∞
→+∞
==.
(4)lim ()x f x →∞
不存在?lim (),lim ()x x f x f x →-∞
→+∞
中至少有一个不存在,或lim ()x f x →+∞
，
lim ()x f x →-∞
存在但lim ()lim ()x x f x f x →-∞
→+∞
≠.
4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。
练习题
1. 当1x →时，函数312y x =-→，问δ等于多少时，能使1x δ-<时，20.01y -<
2.当x →∞时，函数21
2x y x
-=
→，
问X 等于多少时，能使x X >时，20.01y -<
3.设3()313
x
x f x x x
4.设+13
()213
x x f x x x
lim ()x f x →是否
存在。
5.对函数()x f x x
=
，回答下列问题：
（1）函数()f x 在0x =处的左右极限是否存在？
（2）函数()f x 在0x =处是否有极限？为什么？
(3)* 函数()f x 在1x =处是否有极限？
§ 1.4 无穷小与无穷大
一、本节学习目标：
1.熟悉无穷小，无穷大的概念。
2.掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。
3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。 二、本节重难点:
1. 无穷小量是一个变量.
2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0是无穷小.
3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。 (2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。 (3)常数与无穷小的乘积是无穷小。
4. 无穷大量是无界变量。
5. 无穷小量和无穷大量的关系：
在自变量的同一变化过程,（1）如果()x f 为无穷大，那么
1
()
f x 为无穷小； （2）如果()x f 为无穷小，且()0f x ≠，那么
1
()
f x 为无穷大。 练习题
1. 0
lim x
x e →= 2.lim x x e →+∞
=
3.lim x
x e →-∞
= 4. 10
lim x
x e -
→= 5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。（ ） 6.两个无穷小量的商是无穷小量。（ ） 7.两个无穷大的和也是无穷大。（ ） 8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（ ） 9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。（ ）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。（ ） 11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（ ）
12. 求极限0
1lim(sin )x x x → 13. 求极限2
1lim(cos )x x x
→
14.求极限1lim(sin )x x x →∞
15. 求极限arctan lim
x x
x
→∞
§ 1.5 极限运算法则
一、本节学习目标：
1.理解并熟练掌握极限的运算法则 二、本节重难点:
1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商 注意运用上述法则有前提条件：
(1)函数的个数有限 （2）每个函数都有极限 （3）有分母时，分母的极限值不为0 2.0
0lim ()()n n x x P x P x →=,其中()n P x 为n 次多项式。
3.（1）0()lim
()x x P x Q x →是0
0型（(),Q()P x x 同时有极限为零的因式），求极限的方法：
一般地分子分母同除以为零的因式。
（2）()lim
()n x m
P x Q x →∞是 ∞
∞型，求极限的方法：分子分母同除以x 的最高次幂。
练习题
1. 数列{}n x 和{y }n 都收敛，则数列{y }n n x +必收敛。（ ）
2.数列{}n x 和{y }n 都发散，则数列{y }n n x +必发散。（ ）
3.若数列{}n x 收敛，而{y }n 发散，则数列{y }n n x +必发散。（ ）
4.若lim()0n n n a b →∞
?=，则必有lim 0n n a →∞
=或lim 0n n b →∞
=. （ ）
5.222lim 41n n n
n →∞++ 6.2
(1)(2)lim 5n n n n →∞++
7.3(1)(2)(3)lim 21
n n n n n →∞++++ 8.111
lim[+++]1335(21)(21)n n n →∞??-+L
9.132lim 32n n
n n
n +→∞-+ 10.n
11.2
2
lim 21x x x →++ 12.225
lim 3x x x →+-
13. 2226lim 4x x x x →+-- 14. 22234
lim 4
x x x x →---
15.22121lim 1
x x x x →-+- 16.22468
lim 54x x x x x →-+-+
17.2231lim 41x x x x x →∞+++- 18.22131lim 2
x x x x →-+-
19.35231lim 427x x x x x →∞++++ 20.32251
lim 465
x x x x x →∞-+++
21 0
x → 22*. 3113lim()11x x x →---
23*
2030
50
(23)(32)lim (51)x x x x →∞-++
24*
.已知,a b 为常数，21lim()1x x ax b x
→∞+--=，则a = ，b =
25*.,a b 为常数，已知1lim
21
x ax b
x →+=-，则a = ，b = .
§ 1.6 极限存在准则 两个重要极限
一、本节学习目标：
1.理解极限存在的两个准则。
2.会用重要极限来计算其他函数的极限。 二、本节重难点:
1.夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需要对数列或函数适度放大，缩小。
2.单调有界准则：单调有界数列必有极限。 单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。
3.两个重要极限公式 :.1sin lim
0=→x
x x e x x x =+∞→)1
1(lim
推广形式：()
()0sin lim 1()
x x x μμμ→=，()()e x x x =+→)(10)(1lim μμμ
练习题
1.0sin 3lim sin5x x x →
2.0tan 5lim x x
x
→
3.1
lim sin
x x x
→∞
4.0lim cot x x x →
5.10
lim(13)x
x x →+ 6.2lim(1)x x x
→∞
-
7.5
2lim(1)x x x +→∞
+ 8.21lim(
)1
x
x x x →∞
-+
9.利用极限收敛准则求极限
(1)222
111
lim (
)2n n n n n n πππ
→∞
++++++L
(2)2
33314lim()12n n n n n n
→∞++++++L
（3）222
111
lim[
](1)(2)(2)
n n n n →∞
+++++L
(4)数列123x x x ===K 的极限存在并求lim n n x →∞
.
10. 一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利、复利、每年按4次复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和A.
§ 1.7 无穷小的比较
一、本节学习目标：
1.理解无穷小量的阶的概念。 二、本节重难点:
1.常用的等价无穷小代换:
当0x →时，sin x x :，ln(1)x x +:，tan x x :,1x
e x -:,arctan x x :
211cos 2x x -:11x n
:
练习题
1.0sin 3lim 2x x x →
2.0tan 2lim sin 3x x
x
→
3.201cos 2lim x x x →-
4.30tan sin lim x x x
x
→-
5.201lim x x e x →-
6.0arcsin lim 5x x
x
→
7.0
limsin5cot 3x x x →
8. 0x →
9.20ln(13sin )lim tan x x x x →+ 10.2
0(1)arcsin lim ln 12)(1cos 2)
x x e x x x →-+-（
§1.8 函数的连续性与间断点
§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一、学习目标：
1.理解函数连续的概念.
2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
3.理解连续函数的运算.
4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质 二、重难点:
1.函数()y f x =在点0x 处连续?000
lim lim[()()]0x x y f x x f x ?→?→?=+-=V
?0
0lim ()()x x f x f x →=
?
0lim ()()lim ()x x x x f x f x f x +-
→→== 即000()()()f x f x f x +-==
2. 间断点的分类:
()()????
??
???
????
左右极限都存在左右极限至少有一个不存在左右极限相等（可去间断点）
第一类左右极限不相等（跳跃间断点）间断点无穷间断点第二类震荡间断点
3.复合函数的极限法则
4.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
5.幂指函数)1)(,0)(()
()
(≠>x u x u x u x v ，若b x v a x u =>=)(lim ,0)(lim ,
那么b x v a x u =)
()
(lim .
练习题
1.设函数0
()0
x e x f x x a x ?≤=?+>?，试确定常数a ，使函数()y f x =连续。
2.设函数301
()112
x b x f x a
x x b x +≤
==??-<≤?
，试确定常数,a b ，使函数()y f x =在1x =处连续。
3.研究函数201
()212x x f x x x ?≤≤=?-<≤?
的连续性。
4.指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。
（1）221()3+2x f x x x -=- （2）1
211()1
x x f x e x --=-
5.0
x → 6.0
sin lim ln
x x
x
→
7.2
2cot 0
lim(13tan )x
x x →+
8.证明方程3
31x x -=至少有一个根介于1和2之间。
第一章 测验题
1.下列函数中，表示同一函数的是( )．
A. ()()sin(arcsin )f x x g x x ==，
B. 22
()1()sin cos f x g x x x ==+，
C. ()()f x x g x =，
D.2()2lg ()lg f x x g x x ==，
2. 若lim ()0x a
f x →=，limg()0x a
x →=，则下列结论中不正确的是（ ） A. lim[()()]0x a
f x
g x →+= B. lim[()()]0x a
f x
g x →-=
C. lim[()()]0x a
f x
g x →=g D.()
lim
0()
x a
f x
g x →= 3. 若lim ()x a
f x →=∞，limg()x a
x →=∞，则下列结论中正确的是（ ）
A.lim[()()]x a
f x
g x →+=∞ B. lim[()()]x a
f x
g x →-=∞
C. lim[()()]x a
f x
g x →=∞g D.()
lim
()
x a
f x
g x →=∞ 4.当0x →时，下列变量中与2
sin x 为等价无穷小的是（ ）
A.
B. x
C. 2x
D.3x
5. 若()lim x f x →=2
3，则(2)3f =．( )
6. 若()lim x f x →=2
3，则()f x 在2x =处连续．( )
7.若()f x 在0x 无定义，则0
lim ()x x f x →必不存在．( )
8.
函数()f x =
的定义域为 .
9.
函数y e =是由 复合而成的.
10.1
lim
arctan x x x
→∞= . 11.函数 2
1
()2f x x =+（）
的间断点是 ，是 间断点。 12.*
.若21+lim
51x x ax b
x
→+=-，则a = ，b = . 13.*
若2+1
lim(
)01+x x ax b x
→∞--=，则a = ，b = . 14.设210
()2
01113
x x f x x x x ?-<
=≤
，求1
(2)()2
f f -，。
15.2323
lim 51x x x x x →∞-+++ 16.224lim 2x x x →-- 17.0ln(12)lim sin 3x x x
→+
18.2
0lim(13)x
x x →+ 19.1lim(1)1
x
x x →∞+
+ 20.sin 0lim x
x x e →
21.lim x 220ln(2)
lim sin(1)
x x x →++
23.设2tan 0()0
ax
x f x x
x x
x ?
=??+≥?，已知0
lim ()x f x →存在，求a 的值。
24.某厂生产某产品，每日最多生产100单位，它的日固定成本为130元，生产一个单位的可变成本为6元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。
25.已知某工厂每批生产某种商品q 单位的总费用为()6400C q q =+,得到的收益是
2()100.01R q q q =-，求利润函数，并问每批生产多少单位时能使生产者保持盈亏平衡？
第二章 导数与微分
§ 2.1 导数的概念 一、本节学习目标：
1.理解导数概念，理解导数的几何意义。
2. 掌握函数的可导性与连续性之间关系。 二、本节重难点:
1.函数)(x f y =在点0x 处可导?()0x f '000
()()
lim h f x h f x h →+-=
?0
000
()()
()lim x x
f x f x f x x x →-'=-
?()()()000f x f x f x +-'''==
2.()0x f '的几何意义：曲线)(x f y =在00(,())x f x 点处的切线的斜率。
3.函数可导性与连续性的关系:()x f y =在0x 处可导?
??→←??()x f y =在0
x 处连续 练习题
1.下列各题中均假定()0x f '存在，按照导数的定义观察下列极限，指出A 表示什么？
(1)000
(+)()
lim 4x f x x f x A x
?→?-=? （2） 000()()lim
2x f x x f x A x ?→-?-=? (3)000
()(2h)lim
h f x h f x A h →+--= （4）000()(h)
lim h f x h f x A h
→+--=
2.设函数()f x 可导，且()32f '=，求0(3)(3)lim 2x f x f x
→--?.
3.求下列函数的导数:
(1)4y x = (2)y =y =
4.求曲线cos y x =上点1
(,)32
π处的切线方程和法线方程。
5.给定抛物线2
2y x x =-+，求过点12（，）
的切线方程和法线方程。
6.讨论函数2
1sin
0()0
x x f x x
x ?≠?=??=? 在0x =处的连续性与可导性。
7.函数2+101
()311x x f x x x
?≤<=?-≤?在点1x =处是否可导？为什么？
兰州大学高等数学课程作业题及答案
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0
用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)
(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e
高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
专升本高等数学测试及答案(第二章)
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
高数课后习题及答案 第二章 2.3
2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；
高等数学课后习题答案第六章
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得
高等数学(下)课后习题答案
高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨， 以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（）课后答案网（）淘答案（） 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 普通班高数作业（上） 第一章 函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y = 与2x y =； （6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2） （2）x x x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第 三版P12:1） （2）24x x y -= ； （4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2） （2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=； （6）x x f ln cos )(=； （7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1） （1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7） 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用 答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程 一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x + 6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________. 7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分 收起解析 答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7. (4分)图23-18 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=?? 2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ） 习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样 确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 0000 00t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )()()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此 函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量 的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 表示当产量为x 时单位产量的成 本. 4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200 )1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 解 x x x x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0 x x x x x ???+-=→?2sin )2sin(2lim x x x x x x sin ]2 2sin ) 2 sin([lim 0-=???+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 ;高等数学第六版课后全部答案
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