二晏他们之间的关系是
晏几道是晏殊第七子，-般讲到北宋词人时，称晏殊为大晏，晏几道为小晏，时称“二晏”下面是两位诗人的具体介绍，欢迎参考!
北宋的两个著名词人晏殊和晏几道是是父子，晏几道是晏殊第七子。
晏殊(991 ~ 1055)
北宋政治家、文学家。字同叔。抚州临川(今属江西)人。7岁应神童试真宗召他与进士千余人同试廷中，他神气自若，援笔立成。赐同
进士出身。从秘书省正字官至知制诰，进礼部侍郎。后因事出知宣州，改应天府。又任礼部、刑部、工部尚书，同平章事兼枢密使，
病卒于家，仁宗亲临祭奠。谥元献。《宋史》本传说:“自五代以来，天下学校废，兴学自殊始。”他平居好贤士，范仲淹、韩琦、孔道辅、富弼等都是他提拔推荐的。
晏殊以词著于文坛，尤擅小令，风格含蓄婉丽，与其子晏几道，被
称为“大晏”和“小晏”，又与欧阳修并称“晏欧”;亦工诗善文，原有集，已散佚。存世有《珠玉词》、《晏元献遗文》、《类要》
残本。
人物生平
年少德高
晏殊从小聪明好学，5岁就能创作有“神童”之称。景德元年(1004年)，江南按抚张知白听说这件事，将他以神童的身份推荐。次年，14岁的晏殊和来自各地的数千名考生同时入殿参加考试，晏殊的神色毫不胆摄，用笔很快完成了答卷。受到真宗的嘉赏，赐同进士出身。宰相寇准说道:“晏殊是外地人”皇帝回答道:“张九龄难道不
是外地人吗?”过了两天，又要进行诗、赋、论的考试，晏殊上奏说道“我曾经做过这些题，请用别的题来测试我。”他的真诚与才华
更受到真宗的赞赏,授其秘书省正事，留秘阁读书深造。他学习勤奋，交友持重，深得直使馆陈彭年的器重。三年，召.
(江苏版)高考数学二轮复习 专题三 第2讲 不等式的解法与“三个二次关系” 理
第2讲 不等式的解法与“三个二次关系” 一、 填空题 1. (2013·广东卷)不等式x 2 +x-2<0的解集为 . 2. (2012·南京二模)已知集合A={x|x 2 -2x≤0},B={}|x x a ≥,若A ∪B=B,则实数a 的取值范围 是 . 3. (2013·江西卷改编)不等式x<1 x
8. 已知函数f(x)= 2 (1),x-1, 2(1),-11, 1 -1,x1, x x x x ? ?+≤ ? +<< ? ? ?≥ ?若f(a)>1,则实数a的取值范围是. 二、解答题 9. 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切x∈R恒成立,试确定实数a的取值范围. 10. 某校心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈[14,40]时,曲线是函数y=log a(x-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p≥80时,听课效果最佳. (1) 试求p=f(t)的函数关系式; (2) 教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生听课效果最佳?请说明理由. (第10题) 11. (2013·苏州期末)定义函数φ(x)= 1,0, -1,0, x x ≥ ? ? < ?f(x)=x2-2x(x2-a)φ(x2-a). (1) 解关于a的不等式f(1)≤f(0);
高中数学专题训练(五)——三个二次问题
高中数学专题训练——三个二次问题 （二次函数、不等式、方程） 1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222>++mx x ． 2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ?B ，试求k 的取值 范围． 3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜3 1 ，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．
5．若不等式 012 >++p qx x p 的解集为{}42|<
9. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围. 10.已知实数t 满足关系式33log log a y a t a a = (a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式； (2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值. 11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围. 12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足 m r m q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf ( 1 +m m )<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用 济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29 隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。 邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。 一、”三个二次”的关系 ”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！ “三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。 在“三个二次”中一元二次函数2 y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式2 2 b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ?? ??? 中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a - 对称值时函数值的取值特点。从它的因式分解形式12y=a(x-x )(x-x )可以考察出， 运用实数运算的符号法则，很容易看出函数值y 何时等于0、y 何时大于0、y 何时小于0等特点。总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。 一元二次方程2a +b +c=0x x 的根12=,=x x x x 分别是对应函数2 y=a +b +c x x 图像与横轴交点的横坐标，也就是对应二次函数函数2 y=a +b +c x x 的零点，而方程2 a + b +c=0x x 无根则对应函数 2 y=a +b +c x x 与横轴无交点，即对应二次函数函数2 y=a +b +c x x 与横轴相离。
三个二次问题
提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程） 1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222 >++mx x ． 2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ?B ，试求k 的取值范围． 3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－ 2 1＜x ＜ 3 1，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0． 5．若不等式012 >++p qx x p 的解集为{}42|<
聚焦三个“二次”
1 聚焦三个“二次” 三个“二次”是指二次函数、一元二次方程和二次不等式，三者之间存在紧密的联系. 我们都知道，如果变量x,y 之间满足y =ax 2 +bx +c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)，则称y 是x 的二次函数.由于任何一个一元二次方程都可以化为ax 2+bx +c =0的形式，所以，从“数”的角度来看，解一元二次方程ax 2 +bx +c =0就是求当二次函数y =ax 2 +bx +c 的值等于０时，自变量 相应的取值；从“形”的角度来看，这相当于求二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标. 二次不等式虽然初中阶段未涉及，但是我们完全可以借助二次函数的图像，利用二次函数的性质来解决：求不等式ax 2 +bx+c ＞0的解集实际上就是求二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象在x 轴上方的点所对应的横坐标的取值范围，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集实际上就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴下方的点所对应的横坐标的取值范围. 近几年的中考试卷中出现了很多与三个“二次”有关的中考试题，下面采撷几例加以说明，希望同学们能深入理解. 例1、（2007江西）已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程－x 2+2x+m=0的解为 ． 分析：思路一：从图像可知，抛物线经过点（3，0），因此利用待定系数法可求得二次函数解析式为y=－x 2+2x+3，方程为－x 2+2x+3=0，解得x 1=－1, x 2=3; 思路二：根据上面的分析，关于x 的一元二次方程－x 2 +2x+m=0的解即为二次函数y=－x 2+2x+m 的图像与与x 轴交点的横坐标.观察图像可知，抛物线y=－x 2+2x+m 与x 轴交于点（3，0），且其对称轴为直线x=1.设抛物线与x 轴的另一交点为（x 1,0）,则 12 31=+x ，解得x 1=－1，故方程－x 2 +2x+m=0的 解为x 1=－1, x 2=3. 例2、（2006常德）根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2 Ａ．6＜x ＜6.17 Ｂ．6.17＜x ＜6.18 Ｃ．6.18＜x ＜6.19 Ｄ．6.19＜x ＜6.20 分析： 要求方程ax 2 +bx+c=0的一个解x 的范围，即求当函数值y=0时x 的范围，观察表格，函数值y 由负数逐渐增大到正数，却没有y=0的情况.我们可以换一下角度来思考：当y 的值由负数逐渐增大到正数的过程中，必然存在一个x 的值，使得y=0，有了这个认识，我们只需找到函数值由表中最大的负数（-0.01）增大到最小的正数（0.02）时，对应的x 的值分别为6.18、6.19，即可得到答案，本题答案为Ｃ. 例3、（2007潜江）抛物线y=－x 2+bx+c 的部分图象如图2所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 （ ） 图1
三个二次及其关系
页脚内容1 二次函数、二次方程及二次不等式的关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n (2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=2 1 (p +q ) 若－a b 2
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页脚内容2 (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根?????????>?>?<-<>-=??; 0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根?f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立 (5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p ?0时，f (α)
三个二次问题
1.解关于 x 的不等式：(1) X 2 -(a + 1)x + a< 0, (2) 2x 2 +mx+2>_0 . 3 .不等式(m 2— 2m-3)x 2 - (m — 3)x —1< 0的解集为 R 求实数 m 的取值范围. 1 1 4 .已知二次函数y = X 2+ p x+ q ，当y < 0时，有-3 < X < 3，解关于X 的不等式q x 2+ p x+ 1 >0. 5?若不等式 丄X 2 +qx + p > 0的解集为｛x| 2 e x ?<4｝，求实数p 与q 的值. P 7.(经典题型， 非常值得训练)设二次函数f (X )= ax 2 + bx +c (a > 0 )，方程f (x )-x = 0的两个根x 1 ,x 2 1 满足 0 C X 1 ■
三个二次及其关系
二次函数、二次方程及二次不等式的关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n (2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0= 2 1 (p +q ) 若－a b 2
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三个二次及其关系
二次函数、二次方程及二次不等式的关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n (2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0= 2 1 (p +q ) 若－a b 2
?>->-=?0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根?????????>?>?<-<>-=??; 0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根?f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立 (5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p ?0时，f (α)
二次函数及三个二次之间的关系
二次函数及三个二次之间的关系 一、二次函数： 例1 已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，且)(x f 的最小值为2，求)(x f y =的解析式． 变式1：已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，证明：)(x f y =在（1，+∞）上是增函数． 变式2：函数)0()(2>++=a c bx ax x f 在（a b 2-，+∞）上是增函数，在（-∞，a b 2-）上是减函数． 变式3：已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，R x x ∈21,，则2 ) ()()2(2121x f x f x x f +≤+． 变式4：已知函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则)()(x a f x a f +=-． 变式5：已知函数)(x f y =的图像关于点),(b a 成中心对称，则b x a f x a f 2)()(=++-． 知识归纳： 1、二次函数的三种形式： 2、二次函数的性质： 3、根与系数的关系： 浙师大附中2014届数学第一轮复习学案（理科）
二、一元二次方程根的分布： 例2 方程0422 =+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围． 变式1：．方程022 =+-a ax x 有一个正根，一个负根，则实数a 的取值范围是 ． 变式2：方程022=+-a ax x 的一个根在)1,0(内，另一个根大于1，则实数a 的取值范围是 ． 变式3：方程022=+-a ax x 的两根x 1、x 2 满足0 三个“二次”之间的关系 教学内容 一、知识梳理 1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法： y ＝ax 2＋bx ＋)0(≠a c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a ；y ＝a (x －x 0)2＋)0(≠a n . (2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝2 1 (p ＋q ). 若－a b 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－a b 2)＝m ，)(q f ＝M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a b 2)＝m ； 若－a b 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ． 2.二次方程)(x f ＝ax 2＋bx ＋ c ＝0的实根分布及条件 (1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·)(r f ＜0； (2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ????????>?>->-=?0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根?????????>?>?<-<>-=??;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根?)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立. (5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q ) ????>?≤-?, 0)(, 2p f p a b 或??? ?? >≥-???????>-<-≤; 0)(2,0)2(,2q f q a b a b f q a b p 或 (4) c bx ax ++2＞0恒成立 ???<==???==????.00,0,00;0,0,0,02c b a a c bx ax c b a a 或 恒成立或 难点4 三个“二次”及关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法. ●难点磁场 已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a －1|+2的根的取值范围. ●案例探究 ［例1］已知二次函数f(x)=ax2+bx+c 和一次函数g(x)=－bx ，其中a 、b 、c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围. 命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”. 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化. (1)证明：由???-=++=bx y c bx ax y 2消去y 得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a －c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+ 43)22+c c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴43 c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－a b 2,x1x2=a c . |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(222 2222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a －c>c,解得a c ∈(－2,－21 ) 第3练 “三个二次”的转化与应用 [题型分析·高考展望] “二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力. 体验高考 1.(·陕西)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.－1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案 A 解析 A 正确等价于a －b ＋c ＝0， ① B 正确等价于b ＝－2a ， ② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3， ③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8. ④ 下面分情况验证， 若A 错，由②、③、④组成的方程组的解为???? ? a ＝5， b ＝－10， c ＝8. 符合题意；若B 错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错，由①、②、④组成方程组，经验证a 无整数解；若D 错，由①、②、③组成的方程组a 的解为－3 4也不是整数. 综上，故选A. 2.(·天津)已知函数f (x )＝? ???? 2－|x |，x ≤2， (x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x ) －g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.????74，＋∞ B.????－∞，74 C.????0，74 D.????7 4，2 答案 D 解析 方法一 当x >2时， g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根. 当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B. 当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x ＝2－x ，有无数个解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A. 当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0 可化为x 2＋x ＋1＝0，无解. 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D. 方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图， 三个“二次”间的关系 一． 知识梳理 一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象 一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2＝－b ±Δ 2a 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 没有实根 一元二次 不等式解集 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0) {x |x 二次函数 一、基础知识回顾： 1、二次函数解析式的三种形式： （1） 一般式： （2） 顶点式： （3） 交点式： 2、二次函数)(x f =)0(2≠++a c bx ax 的图象是一条_抛物线_，对称轴方程为_2b x a =-_，顶点纵坐标是_2 44ac b a -_。 （1）当0>a 时，抛物线开口向_上_，函数在_2b a ??-∞- ???， _上递减，在_,2b a ??-+∞ ???_上递增，当__2b x a =-_时，[]2min 4()__4ac b f x a -=； （2）当0时，图象与x 轴有两个交点 11221212(,0),(,0),_x _____ ___M x M x M M x a =-=。 4、二次函数)(x f =)0(2≠++a c bx ax 在区间[]q p ,上的最值问题，一般情况下，需要分_2b q a - >_，__p 2b q a ≤-≤__和__2b p a -<__三种情况讨论解决。 二、例题讲解： 例1、若区间),1(+∞为二次函数)(x f =2)2(2--+x a ax 的递减区间，求a 的取值范围。（0a <） 例2、已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）)(x f =0的两根立方和等于17。求)(x f 的解析式。（2 ()6129f x x x =-++） 例3、已知)(x f =a ax x -++32，若[]2,2-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。（[]72-，） 例4、已知函数2142+- +-=a ax x y 在区间[]1,0上的最大值是2，求实数a 的值。（106,3 a =-） 三、课堂小结： 四、布置作业： 1、 已知函数322 +-=x x y 在区间[]m ,0上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。（[]12，） 例析三个“二次”的关系 055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下： 基础知识点： 1、二次函数的三种表示形式 （1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)； （2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2 +h(a ≠0)； （3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。 2、二次函数的性质 设f(x)=ax 2 +bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为24,4ac b a ??-+∞???? ，对称轴为2b x a =-，在,2b a ? ?-∞- ??? 是减函数，在,2b a ? ? - +∞?? ? ? 是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则 （1）若 a b 2＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－ a b 2≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ； （3）若p ≤－ a b 2＜x 0，则f(－ a b 2)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤ a b 2＜q ，则f(－ a b 2)=m ，f(p)=M 。 3、二次方程f(x)=0的实根分布 一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－ a b 2与区间端 点的关系。设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下： （1）120()02x x k f k b k a ???>?<???-? <???->?； (3) 12()0x k x f k <?? ∈?>?? ?<- 三个“二次”之间的关系 教学内容 一、知识梳理 1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法： y ＝ax 2＋bx ＋)0(≠a c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a ；y ＝a (x －x 0)2＋)0(≠a n . (2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21 (p ＋q ). 若－ a b 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ； 若p ≤－ a b 2＜x 0，则f (－ a b 2)＝m ，)(q f ＝M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a b 2)＝m ； 若－ a b 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ． 2.二次方程 ) (x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件 (1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·)(r f ＜0； (2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ??? ? ? ? ??>?>->-=?0)(, 2,042r f a r a b ac b (3)二次方程)(x f ＝0 在区间(p ，q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2, 042p f a q f a q a b p a c b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根?)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立. (5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q ) ??? ?>?≤-?,0)(,2p f p a b 或?????>≥-??? ???? >-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a b a b f q a b p 或 (4) c bx ax ++2 ＞0恒成立 ? ??<==???==????.00 ,0,00;0, 0,0,02 c b a a c bx ax c b a a 或恒成立 或高一数学三个二次的关系
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