切比雪夫不等式练习题

第一章

习题一1.4

证由切比雪夫不等式及E|?|?0

P?1?P?1?nE|?|?1

故P?P?limP?1。

n?1n???

由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得

P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1

i?k?{|?|?n})?limP?0。 n?1n????bi?k?1]?0。

不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。

对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性

表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。

假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。则对

m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。

根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，

即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i,

i?1n?1a.s.。

习题四 .3

解显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。

记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11，则Xt???12i?l,Xs???12j?n，这里?0?0。

i?0j?0km

由于{?t}是正态白噪声WN，故

当l?n，即t?s时， ?t,s?cov?0；

当l?n?0，即t?s,t?12k 时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 12

12),t?12k时，当l?n?0，即t?s?min?

所以

2?]?1)?2。12t,tt,s?~N，其中??T,Σ???????。 ?s,s??t,s??

第二章

习题二

1X???2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1

习题三

3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。

习题五

5.提示：利用第一章7.4和第二章定理3.1。

Zt}仍然 {

编号

毕业论文

题目：切比雪夫不等式的推广及应用学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师：职称：完成日期：2013年月24日

二○一三年五月

切比雪夫不等式的推广及应用

摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.

关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例. 中图分类号 O211.1

The promotion and application of chebyshev inequality

Song QiaoguoInstructor Zhu Fuguo

Abstract: Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the

chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.

Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance

1 引言

概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃. 对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常

有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅

能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.

预备知识

定义1?1? 若随机变量X有数学期望E?X?和方差D?X?,则对于任意的正数??0, 总有:

P?X?E??

定义2

?2?

如果函数f和g对于一切x1,x2均成立

f2)gg)f)与0g成似序；,与g成反序.

定义3?3? 设连续型随机变量X的概率密度函数为f,若积分?敛,则称?

????

xfdx收

xfdx为X的数学期望,则D?E?E2为X的方差.

主要结论及证明

定理1?2? 切比雪夫不等式积分形式

如果连续函数f与g在区间?a,b?上成似序,则成立如下不等式

fdx?gdx??fgdx

相反,如果f与g成反序,则不等号反向.

证明引入辅助函数

F??fgdx??fdx?gdx,

F求导得

F’??fgdx?fg?f?gdx?g?fdx

ttt

???fg?fg?fg?gf?dx

???f?f)??g?g?dx.

由于f与与g在区间?a,b?上成似序,故有

?f?f??g?g??0,

于是F’?0,因此F在?a,b?上单调递增, 又F?0,?F?0,即

?fgdx??fdx?gdx?0,

??fdx?gdx??fgdx.

bbb

同理反序成立.

定理2?4? 切比雪夫不等式有限形式

若l?和m?是两个实序列,且满l1?l2???ln,

m1?m2???mn,或l1?l2???ln,m1?m2???mn,则成立如下不等式

1n1n1n

limi?. ?ni?1ni?1ni?1

证明设l1,l2,?,ln,m1,m2,?,mn为两个有相同次序的序列,有排序不等式得

l1m1?l2m2??lnmn?l1m1?l2m2???lnmn,

l1m1?l2m2??lnmn?l1m2?l2m3???lnm1,

l1m1?l2m2??lnmn?l1m3?l2m4???lnm2,

l1m1?l2m2??lnmn?l1mn?l2m1???lnmn?1,

将这n个式子相加得到

n?limi?,

i?1

不等式两边同时除以n2,得

1n1n1n

limi?. ?ni?1ni?1ni?1

定理3

?4?

设a?,b??R,?i?0,则当

a1?a2???an,b1?b2???bn或者a1?a2???an,b1?b2???bn 时,有如下不等

式成立

???

i?1

当a1?a2???an,b1?b2???bn或者a1?a2???an,b1?b2???bn时,也有如下不等式成立

???

i?1

并且当?i?0,对于任意的i?1,2,?,n时,则,中等式成立的条件是

a1?a2???an或b1?b2???bn.

证明先证明???成立.

i?1

kkkk

用数学归纳法

k?1时

???1?

则不等式成立.

假设k?n时

???

i?1

成立.

下证k?n?1时

???

i?1

n?1n?1nn

????n?1an?1??ibi??n?1bn?1??iai??n2?1an?1bn?1 i?1

i?1

nnnn

天津理工大学2011届本科毕业论文

第一章绪论·················································

(1)

第二章切比雪夫不等式的基本理论·······································································

2.1 切比雪夫不等式的有限形式和积分形式···········································································

2.切比雪夫不等式的概率形式·······························································································

第三章切比雪夫不等式在概率论中的应用····························································

3.1 估计概

率·······························································································································

3.1.1 随机变量取值的离散程度··························································································

3.1.随机变量取值偏离E超过3?的概率··································································

3.1.估计事件X?E??的概率·················································································

3.1.估计随机变量落入有限区间的概率························

·················································· 3.求解或证明一些有关概率不等式·······················································································

3.2.1 求解相关不等式···························································································

3.2.证明相关不等式 (10)

3.证明大数定律···································································································

(11)

3.3.1 切比雪夫大数定律 (11)

3.3.伯努利大数定律 (12)

第四章切比雪夫不等式在其他领域的应用 (14)

4.1 生活中的小概率事件···································································································

(14)

4.切比雪夫不等式在经济评价风险中的应用 (15)

4.2.1 IRR的多元线性函数 (15)

4.2.IRR的概率分析 (16)

4.2.应用 (17)

4.前向神经网络容错性分析的切比雪夫不等式法 0

4.3.1 前向神经网络的随机故障模型 0

4.3.连接故障对单个神经元容错性能的影响 (1)

参考文献··················································································································致谢··········································································

(5)

天津理工大学2011届本科毕业论文

第一章绪论

概率论是一门研究随机现象数量规律的科学，是近代数学的重要组成部分。随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而大多数的应用研究，无论是在工业、农业、经济、军事和科学技术中，其本质都是现实过程中的大量随机作用的影响。这个观点强有力地推动了概率论的飞速发展，使其理论与方法被广泛地应用于各个行业。而概率论极限理论的创立更使其锦上添花，以至在近代数学中异军突起。

历史上第一个极限定理是属于雅各布·伯努利，后人称之为“大数定律”。因其遗著《猜度术》于171年出版，故概率史家称171年为伯努利大数定律创立年。伯努利大数定律给出了频率估计概率的理论依据，同时开创了概率论中极限理论的先河，标志着概率论成为独立的数学分支。1837年，泊松对大数定律提出一个较宽松的条件，进而得到泊松大数定律。之后，由于有些数学家过分强调概率论在伦理学中的应用，又加上概率论自身基础不牢固，大多数数学家往往把概率论看作是有争议的课题，排除在精密科学之外。切比雪夫正是在概率论门庭冷落的年代从事其研究的。

切比雪夫在1866年发表的论文《论均值》中，提出了

著名的切比雪夫大数定律。该论文给出如下三个定理[1]：定理1.1：若以a,b,c,?表示x,y,z,?的数学期望，用a1,b1,c1,?表示相应的平方

x2,y2,z2,?的数学期望，则对任何?，x?y?z?? 落在 a?b?c????a1?b1?c1???a2?b2?c2??

和

a?b?c????a1?b1?c1???a2?b2?c2?? 之间的的概率总小于1?1

定理1.2：若以a,b,c,?表示x,y,z,?的数学期望，用a1,b1,c1,?表示相应的平方

x2,y2,z2,? 的数学期望，则不论t取何值，N个量x,y,z,?的算术平均值和他们相应的数学期望的算术平均值的差不超过

1a1?b1?c1??a2?b2?c2?? ?tNN

的概率对任何t都将大于1?。 N

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定理1.3：如果量u1,u2,u3? 和它们的平方u1,u2,u3?的数学期望不超过一给定的值，则N个量的算术平均值和其数学期望的算术平均值之差不小于某一给定的概率，且当N

趋于无穷时，其值趋于1。.

这就是切比雪夫大数定律，用今天的符号可表示为：

定理1.4：设X1,X2,X3,?Xn,?是两两不相关的随机变量序列，且其方差一致有界，则对任意的??0，皆有

limPsN?EsN????1 n??222

这里sN??Xi。若随机试验中的每次试验随机事件发生的概率相等，则为伯努利大数定律。

i?1N

又因相互独立的随机变量列必定两两无关，故泊松大数定律也是切比雪夫大数定律的特例。

要证明定理1.4，我们需要用到切比雪夫不等式。其实在上面三个定理中已经给出了切比雪夫不等式，定理1.2我们用今天的数学语言来描述就是：

定理1.5：设X1,X2,X3,?Xn,?是两两不相关的独立随机变量序列，且其方差存在，若sN??Xi，则对任意的??0，皆有

i?1N

PsN?EsN????1??VarXi?1Ni

?2。

不难发现这就是切比雪夫不等式，以此我们也可以得出定理1.4的证明，关于其证明我们在下文会提到。作为概率论极限理论中介绍的极少数重要不等式之一，它的应用是

《一元一次不等式组的解法》说课稿

《一元一次不等式组的解法》说课稿通江县瓦室中学李继各位专家评委、老师：大家好！我是来自通江县瓦室中学的数学教师李继，我今天说课的题目是华师大版·数学.七年级下第八章第三节《一元一次不等式组的解法》下面我将从以下几个方面进行阐述：一、教材分析（一）教材的地位和作用 1、一元一次不等式是在学习了有理数的大小比较,等式及其性质,一元一次方程的基础上,开始学习简单的数量之间的不等关系,进一步探究现实世界数量关系的重要内容,是继一元一次方程和二元一次方程组之后,又一次数学建模思想的学习。它不仅是现阶段学习的重要内容,而且也是今后学习一元二次方程、函数及进一步学习不等式的重要基础,具有承前启后的作用。 2、本节主要学习一元一次不等式组的解法，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次方程、二元一次方程组来类推学习一元一次不等式组，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。（二）教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构，心理特征，我制定了如下的教学目标： 1、知识与能力目标：掌握一元一次不等式组的概念和解法。准确利用数轴解一元一次不等式组。通过学习一元一次不等式组的解法。培养学生的逻辑思维能力培养学生运用所学知识解决实际问题及处理其他学科相关问题的能力 2、过程与方法目标：让学生观察、分析实例、自主探究、归纳定义，培养学生分析、抽象和概括等能力；渗透数形结合的数学思想。经历一元一次不等式组解法的探究过程，提高学生分析和解决问题的能力。 3、情感态度和价值目标：通过总结不等式组解集的规律,训练学生的思维能力语言表达能力,培养勇敢的探索精神. 通过用数轴表示不等式组的解集,渗透数形结合的数学美. （三）重点、难点、疑点及解决方法分析 1、重点：掌握一元一次不等式组的解法 2、难点：a、正确运用不等式基本性质3 b、避免不等式变形中常见的错误. c、注意“.”与“。”，“左边部分”与“右边部分”. 疑点: 如何正确运用“同大取大,同小取小,一大一小中间找,大大小小无解了”的规律求不等式组的解集 3、重难点突破：既要熟练掌握一元一次不等式组的解法,同时又要用数形结合的方法来帮助理解上述的规律性的结论. 二、学情分析 (一) 有利因素：通过前面的学习，学生已有了用方程的感性认识（特别是二元一次方程组示直线），故学生已具备一定的分析与归纳的逻辑思维能力

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。那么，当1n k =+时，由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=，关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法）（1）当2n =时，已知结论成立。（2）假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于

一元一次不等式组说课稿

《一元一次不等式组》说课稿尊敬的各位评委、老师：上午好!今天我说课的课题是人教版七年级数学下册第九章《一元一次不等式组》中一元一次不等式组第一课时，我将从“教材分析，教法与学法、教学程序设计、板书设计”四方面来说课。一、教材分析 1、教材的地位和作用学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、及其应用，在此基础上，由相等关系转到不等关系、来学本章内容；学好本章内容，为一次函数等数与代数的后续学习奠定了基础。本节课在上节一元一次不等式的基础上来学习一元一次不等式组，尝试对学生类比推理能力进行培养。通过利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，让学生初步感知数形结合的数学思想方法。 2、教学目标（1）知识目标：理解一元一次不等式组相关概念；会利用数轴解简单的一元一次不等式组；理解并掌握一元一次不等式组解集的四种情况。（2）能力目标：通过利用数轴来寻求不等式组的解集、及探讨交流不等式组解集的四种情况，培养学生的观察能力、分析能力、及归纳总结能力。（3）情感目标：将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养了学生独立思考的习惯、合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 3、教学重难点（1）重点：理解不等式组的有关概念，会解简单的一元一次不等式组；（2）难点：利用数轴准确确定不等式组的解集二、教法与学法 1、学情分析：学生已经学会了解一元一次不等式，知道了用数轴如何表示一元一次不等式的解集。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，因而能更好培养学生的类比推理能力。再者，现在的学生已经厌倦教师单独的讲授方式，希望教师能够给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。 2、教法：引导发现式教学法《课标》中指出，有效的数学学习过程不能单纯的依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。本节课我从生活中实例引入，激发学生的学习兴趣；通过组织学生探讨交流、解决一系列问题，从而达到教学目标。 3、学法：交流互动法让学生经历知识的形成过程，是《课标》倡导的重要改革理念之一。课标指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。因此，本节课我提供足够的

切比雪夫不等式例题

关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4）所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X

\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100

1 2 = ≥ DX . 二、切比雪夫Chebyshev不等式对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。

一元一次不等式组说课稿[2]

《一元一次不等式组》说课稿绥阳县坪乐中学：韩成友尊敬的各位老师：下午好！我说课的课题是《一元一次不等式组》。我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学手段、教学过程这六个方面来进行说明。一、教材分析前面我们认识了一元一次不等式，学习了一元一次不等式的解法及应用，本节主要学习一元一次不等式组及其解法，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养.在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备. 二、学情分析从学生学习的心理基础和认知特点来说，学生已经学习了一元一次不等式，并能较熟练地解一元一次不等式，能将简单的实际问题抽象为数学模型，有一定的数学化能力。但学生将两个一元一次不等式的解集在同一数轴上表示会产生一定的困惑。这个年龄段的学生，以感性认识为主，并向理性认知过渡，所以，我对本节课的设计是通过两个学生所熟悉的问题

情境，让学生独立思考，合作交流，从而引导其自主学习。基于对学情的分析，我确定了本节课的教学难点是：正确理解不等式组的解集。三、教学目标分析在教材分析和学情分析的基础上，结合预设的教学方法，确定了本节课的教学目标如下： 1.通过实例体会一元一次不等式组是研究量与量之间关系的重要模型之一。 2.了解一元一次不等式组及解集的概念。 3.会利用数轴解较简单的一元一次不等式组。 4.培养学生分析、解决实际问题的能力。 5.通过实际问题的解决，体会数学知识在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。能在解决问题过程中勤于思考、乐于探究，体验解决问题策略的多样性,体验数学的价值。四、教学重、难点分析教学重点： 1.理解有关不等式组的概念. 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组. 教学难点：在数轴上确定解集. 五、教学手段分析本节课采用多媒体教学，利用多媒体教学信息容量大、操作简单、形象生动、反馈及时等优点，直观地展示教学内容，这样不但可以提高学习效率和质量，而且容易激发学生学习的兴趣，调动积极性。六、教学过程本节课的教学流程如下：实际问题——一元一次不等式组——解集—

重要不等式汇总(例题答案)

其他不等式综合问题例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证：（1）分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*）知（1）的左端这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。（1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：。（2）分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**）（**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。事实上，由高中数学课本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样（**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：。（3）有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

《不等式与不等关系》说课稿

《不等式与不等关系》说课稿各位评委、各位学员大家好，今天我说课的课题是《不等式与不等关系1》.我将从教材分析、教学设计、教法学法三个方面来说明. 【说教材分析】 1.教材的前后联系及地位作用本节课是高中新课程人教A 版必修5第三章第一节第一课时的内容. 本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用. 2.课标要求通过具体情境，根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，了解不等式（组）的实际背景。 3.教学目标基于新课标的要求，结合本节内容的地位，我提出教学目标如下：（1）知识与技能： ①通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景； ②能用不等式或不等式组解决简单的实际问题. （2）过程与方法： ①以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式； ②通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法. （3）情感态度与价值观： ①通过解决具体问题，让学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度； ②注重问题情境、实际背景的设置，让学生体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. ③学生通过对问题的探究思考，广泛参与，使学生改变自己的学习方式，提高学习质量. 3教学重点、难点根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，制订教学重点。教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。根据本节课的内容，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。【说教学设计】一、提出问题、引入新课问题1：在现实世界和日常生活中，同学们发现了哪些数量关系？你能举出一些例子吗？（既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。）问题2：在数学中，我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系？【设计意图】问题1：主要是通过课前的问题展示，让学生感受不等关系与等量关系一样来源于现实世界和日常生活中；随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，通过观察对比，培养了学生发现问题的能力。二、思考交流、形成概念 1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 【设计意图】让学生从问题的相同点和不同点中找出列不等关系的方法，这能培养学生分析问题的能力，同时也教会学生运用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。三、反馈矫正、巩固提高 [例1]. 问题1：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【设计意图】本题的设计主要是加深学生对不等关系的认识（进一步体现本节的重点）的理解；培养分

一元一次不等式组说课稿

一元一次不等式组说课稿 https://www.360docs.net/doc/f69950745.html,work Information Technology Company.2020YEAR

《一元一次不等式组》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！我说课的题目是北师大版数学课程标准实验教材八年级下册第一章第六节《一元一次不等式组的解集》，以下我从教材分析、学生分析，教学方法、学习方法、教学步骤设计几个方面进行说课。教材分析：上节课我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推地学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。教学重点：1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。教学重点突破办法：在本章第四节我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组，因此让学生从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系，并请大家交流后发表一下自己的见解。这样，学生在猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系后，能更好的了解一元一次不等式组的有关概念和利用一元一次不等式组解决实际问题。教学难点：在数轴上确定解集。教学难点突破办法：一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，因此我和学生一起 2

一次函数与方程、不等式说课稿

一次函数与一元一次不等式一、教材分析 1、地位和作用这一节内容是初中数学新教材八年级上册第十一章第三节的内容。它是在学生学习了前面一节一次函数后，回过头重新认识已经学习过的一些其他数学概念，即通过讨论一次函数与一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的不等式的认识，构建和发展相互联系的知识体系，它不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析。 2、活动目标 ①理解一次函数与一元一次不等式的关系。会根据一次函数图像解决一元一次不等式的问题。 ②学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题。 ③经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。 ④增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的兴趣，体验成功的感觉，品尝成功的喜悦。总的来讲，希望达到的要求是：给我们所有的学生一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的大脑。二、学情分析

八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的信息收集的能力。三、学法分析 1、学生自主探索，思考问题，获取知识，掌握方法，真正成为学习的主体。 2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。合作交流的友好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验。四、教法分析由于任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或<0）的形式，而此式的左边与一次函数y=ax+b的右边一致，所以从变化与对应的观点考虑问题，解一元一次不等式也可以归结为两种认识： ⑴从函数值的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于0）0的自变量x的取值范围。 ⑵从函数图像的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。教学过程中，主要从以上两个角度探讨一元一次不等式与一次函数的关系。 1、“动”―学生动口说，动脑想，动手做，亲身经历知识发生发展的 2、“探”―引导学生动手画图，合作讨论。通过探究学习激发强烈的探索欲望。

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a >L 是实数其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，，，是12n b b b L ，,，的任一排列，则当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由而根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得即得同理，根据“乱序和≥反序和”，可得综合即证（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n a a a n +++≤ L 证明：构造两个数列：其中 c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．．总是两数组的反序和．．．．．．．．． .于是由“乱序和≥反序和”，总有于是即即证（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 12n a a a n +++≤ L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，

(完整版)一元一次不等式组说课稿

《一元一次不等式组》说课稿尊敬的各位老师：大家好！我说课的课题是《一元一次不等式组的解法》。我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学手段、教学过程这六个方面来进行说明。一、教材分析前面我们认识了一元一次不等式，学习了一元一次不等式的解法及应用，本节主要学习一元一次不等式组及其解法，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。为一次函数、数与代数的后续学习奠定基础。本节课在上节一元一次不等式的基础上来学习一元一次不等式组，尝试对学生类比推理能力进行培养。通过利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，让学生初步感知数形结合的数学思想方法。为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备二、学情分析学生已经学会了解一元一次不等式，知道了用数轴如何表示一元一次不等式的解集。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，因而能更好培养学生的类比推理能力。再者，我们班的学生已经厌倦教师单独的讲授方式，希望教师能够给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望，所以我在每个环节都充分让学生思考、合作、交流，得出结论。

三、教学目标分析在教材分析和学情分析的基础上，结合预设的教学方法，确定了本节课的教学目标如下： 1、理解一元一次不等式组相关概念；会利用数轴解简单的一元一次不等式组；理解并掌握一元一次不等式组解集的四种情况。 2、通过利用数轴来寻求不等式组的解集，培养学生的观察能力、分析能力、及归纳总结能力。 3、将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生独立思考的习惯、合作交流意识与创新意识。四、教学重、难点分析教学重点： 1.理解有关不等式组及其解集的的概念. 2.会解出一元一次不等式组的解集。教学难点：利用数轴准确确定不等式组的解集，五、教学手段分析本节课采用多媒体教学，利用多媒体教学信息容量大、操作简单、形象生动、反馈及时等优点，直观地展示教学内容，这样不但可以提高学习效率和质量，而且容易激发学生学习的兴趣，调动积极性。本节课我从生活中实例引入，激发学生的学习兴趣；通过组织学生探讨交流、解决一系列问题，从而达到教学目标。六、学习方法分析我提供足够的时间和思考空间，让学生通过独立思考、探讨交流发现如何用数轴来确定不等式组的解集，并总结出口诀。经历了数学知识的形成与应用过程，发展了数学思维能力。七、教学过程

不等式的若干证明方法

2016届本科毕业论文(设计) 题目：不等式的若干证明方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学12-1班学生姓名：高春指导教师：马昌秀答辩日期：2016年5 月3日新疆师范大学教务处

目录 1.引言 (1) 2.证明不等式的常用方法 (2) 2.1比较法 (2) 2.1.1 作差法 (2) 2.1.2作商法 (2) 2.2 分析法 (3) 2.3 综合法 (3) 2.4 反证法 (4) 2.5 放缩法 (5) 2.6 数学归纳法 (5) 2.7换元法 (6) 2.7.1增量换元法.. (6) 2.7.2三角换元法 (6) 2.7.3 比值换元法 (7) 2.8 标准化法 (7) 2.9 公式法 (8) 2.10 分解法 (8) 2.11 构造法 (9) 2.11.1 构造对偶式模型 (9) 2.11.2 构造函数模型 (9) 2.12 借助几何法 (10) 3.利用函数证明不等式 (10) 3.1 极值法 (10) 4.利用著名不等式 (11) 4.1 均值不等式 (11) 4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12) 4.3 拉格朗日中值定理 (12) 4.4 赫尔德不等式 (13) 4.5 詹森不等式 (13) 4.6 闵可夫斯基不等式 (14) 4.7 伯努利不等式 (15)

4.8 切比雪夫不等式 (15) 4.9 琴生不等式 (16) 4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16) 4.11 排序不等式定理 (16) 5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18) 谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。

一元二次不等式说课稿(一等奖)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 各位专家、评委、同仁：大家好！我是高中教师，很高兴有机会参加这次说课活动，希望专家、评委和同仁们对我的说课提出宝贵意见．我说课的内容是《一元二次不等式的解法》的教学设计，下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从六个方面来汇报我对这节课的教学设想．一、教学内容的分析、（一）教材地位和作用 1、从内容上看：在此之前，学生已经在初中学习过一元一次不等式、二次函数及高中刚学过的含绝对值不等式的解法，这就为本节课的学习起到了一个很好的铺垫作用。并且它与一元二次方程、二次函数联系紧密，涉及的知识面较多。 2、从思想层面看：这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法。 3、从作用上看：一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分，也是近年来高考综合题的热点，在高中数学中起着广泛的应用工具作用。由此可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。（二）重难点分析一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。所以本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。要把握这个重点。关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于初中没有专门研究过这类问题，高一学生比较陌生，要真正掌握有一定的难度。因此，本节课的难点确定为：“三个二次”的关系。通过数形结合与类比，让学生归纳“三个一次”的关系，突破这个难点。二、教学目标的确定根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。认知目的：根据学生的现有知识水平和认知特点，正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式的方法；

不等式及解集-说课稿

不等式及其解集说课稿各位老师大家好，今天我说课的题目是人教版数学七年级下册第九章第一节《不等式及其解集》，下面我将从说教材，说教法，说学法以及教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。一、说教材 1、本节教材的地位和作用本节课是学生学习了等式，方程，方程组的概念，重点研究了解方程及方程组之后面临的一个新问题，不等式从某种程度上讲是等式的延伸，而在此之后，我们所要学的很多知识，比如，不等式的性质，一元一次不等式组，甚至以后的高等数学中所涉及到的优化问题都要用到本节课的内容，因此，本节课的内容在整个中学数学乃至整个数学领域都起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生思维变得更开阔，也对以后更好的学习各种科学知识有很大的帮助。 2、教学目标 (1)、知识与技能：使学生掌握不等式的概念，理解不等式解集的意义，会用不等式表示简单的数量关系和不等式解集的表示法。培养学生独立思考，分析及归纳能力。 (2)、过程与方法：经历由具体实例建立不等式模型的过程，通过解决简单的实际问题，使学生自发的寻找不等式的解 (3)、情感态度与价值观：引导学生在独立思考的基础上，积极参与不等式类数学问题的讨论，逐步培养他们合作交流意识，让学生充分体会到数学在实际生活中的广泛存在，并能将他们应用到生活的

各个领域，让学生感受到学习数学的乐趣。二、说教法以启发式教学为主，讨论、交流合作等方法为辅。整个教学过程中，我通过让学生举例、思考、讨论、合作交流，充分调动学生的积极性，让学生在老师的引导下始终处于一种积极的学习状态，充分体现老师是教学活动的组织者、合作者、参与者而学生是学习的主人。三、说学法按照新课标的精神，把学习的主动权还给学生，提倡积极主动，勇于探索的学习方式，体现学生在教学活动中的主体地位，在本节课上,我一开始就让学生举例，然后分组合作找出满足问题1中不等式的未知数的值，通过学生交流发现他们所找的值不完全相同，引出不等式解集的概念，最后加以适当的练习巩固本节课的知识。这样将大量时间还给了学生，让他们在做中学，学中做。使学生自觉实现知识的构建，促进学生全面发展。四、说教学过程 1、创设情境，引入课题首先，引导学生回忆等式、方程及方程组的概念，然后提出：在现实生活中很多问题并不能简单的用等式或者方程来描述。比如，古代的舂米的方法，小时候玩的跷跷板的两端的力量如果都一样大，它还会翘来翘去吗？让学生感受到生活中不等关系的广泛存在，然后让学生独立思考，举出一些不能用等式表示的实例，（物理课上用到的天枰，两个人的身高等），引出不等式的概念。

均值不等式的证明

平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为几何平均值记为算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。即，当且仅当时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于

，关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得（）所以（）（）即（）两边乘以，得从而，有证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。那么，当n=k+1时，由于从而，有证法三（利用排序不等式）

设两个实数组，，，和，，，满足；，则（同序乘积之和）（乱序乘积之和）（反序乘积之和）其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设，，，则对，有等号成立的充分必要条件是。琴生不等式（Jensen）设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有或其中，，习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有（） 2.设，，，求证（）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：

一元一次不等式组说课稿

《一元一次不等式组》说课稿一、说教材的地位与作用《一元一次不等式组》是华东师大版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第八章第三节，是一元一次不等式知识的综合运用和拓展延伸，是进一步刻画现实世界数量关系的数学模型，是下一节利用一元一次不等式组解决实际问题的关键。是继一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式之后，又一次数学建模思想的学习，也是后继学习一元二次方程、函数的重要基础，具有承前启后的重要作用。二、说教学目标（一）、知识与能力 1．掌握一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集的概念。 2．会解一元一次不等式组，并教会学生通过在数轴上表示不等式的解集得到不等式组的解集。（二）、过程与方法 1．创设情境，通过实例引导学生考虑多个不等式联合的解法。并总结一元一次不等式组的解与一元一次不等式的解之间的关系。 2．通过对典型例题的分析加深对结一元一次不等式组的认识。（三）、情感、态度与价值观 1．通过数轴的表示不等式组的解，渗透数形结合这一重要的思想方法。2．在解不等式组的过程中让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。三、说教学重、难点重点 1．一元一次不等式组的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况。 2．一元一次不等式组的解法。难点灵活运用一元一次不等式组的知识解决问题。四、说教学方法本节课采用多媒体教学，利用多媒体教学信息容量大、操作简单、形象生动、反馈及时等优点，直观地展示教学内容，这样不但可以提高学习效率和质量，而且容易激发学生学习的兴趣，调动积极性。五、说学生的学法：学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。六、说教学过程：本节课我设计了七个活动。活动一创设情境导入新课 1、通过多媒体图片（选择材料通俗易懂，易引起学生的兴趣）引入一元一次不等式组的概念: 活动二引领学生探索新知 2、一元一次不等式组通过上面实际问题的探究，归纳概括出一元一次不等式组的概念和一元一次不等式组解集的概念。活动三范例讲解学以致用例1：借助数轴,求下列不等式组的解集：（１）、???32 - x x （２）、? ??32- x x

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系一几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得