四年级秋季第12讲 数字与数位的奥秘
四年级奥数秋季第12讲数字与数位的奥秘
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专题解析：数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系，以及数字运算中的变换问题的应用题。
数字是指0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个阿拉伯数字，记数时，每个数字要占有一个位置，这些位置都叫做数位，各个数位的计数单位是不同的，同一个数字，它在所记的数里的位置不同，所表示的数的大小也不同。那么，根据记数的这些规则，我们可以解答一些有趣的“数字问题”的应用题。
开心进入：
1、下图是一所小学的科技数，它有4层，正面每层的三个圆形窗户由左向右表示一个三位数，这些三位数是：837、571、206、439，但是不知道这四个数和哪一层的窗户对应，请你观察一下，然后画出表示2011的四个窗户。
开心探究：
例1、在数学竞赛中,王宁的准考证号是一个三位数,个位数字是十位数字的2倍,十位数字是百位数字的2倍,三个数字之和是14,你知道王宁的准考证号是多少?
例2、在一个两位数右边添上一个“0”，所得到的三位数比这个两位数多243，求这个两位数。
例3、一个两位数，在这个两位数的中间添上一个0，所成的三位数比原两位数多90，这个三位数正好是原两位数的6倍，原来的两位数是多少？
例4、一个两位数,个位数字是十位数字的4倍,如果这个数加上5,则两个数字就相同,求这个两位数.
例5、把数字8写在某数的右端,这个数就增加了224,这个数是多少?
例6、一个两位数，在它的前面写上5，所成的三位数比原两位数的8倍少18，原来的两位数是多少？
课后练习
体验成功：
1、有一个两位数,数位上两个数字之和是9,个位上的数字是十位上的数字的2倍,这个两位数是多少?
2、有一个三位数,数位上三个数字之和是12,十位上的数字和百位上的数字一样大小,个位上的数字是十位上的数字的2倍,这个三位数是多少?
3、一个两位数,十位数字是个位数字的3倍,如果这个数减去7,则两个数字就相同,求这个两位数.
4、在一个两位数的右边添上一个“0”，所得到的三位数比这个两位数多135，求这个两位数。
5、把数字2写在某数的右端,这个数就增加了632,这个数是多少?
挑战奥数：
6、把数字“5”写在某数和右端,这个数字就增加了347,这个数是多少?
7、如果 , 各表示一个两位数，若 + =139，则 x+y+z+w=_______ 。
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
第15课(数字与数位问题)
第15课时 教学内容：数字与数位问题 教学目标：1、弄清数字问题中的特殊关系， 自然数abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g, abcdefg中的字母取值范围: 1≤a≤9 0≤b、c、d、e、f、g ≤9 2、通过分析数字与数位问题中的数量关系，进一步体会方程是解 决实际问题的数学模型。 教学重点：利用数字问题中的特殊关系， 自然数abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g, 列出关系式，由此建立方程解决问题。 教学难点：数字问题中的特殊关系， 自然数abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g, 教学过程 一、知识准备与引入 1、弄清数字问题中的特殊关系， 自然数abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g, abcdefg中的字母取值范围: 1≤a≤9 0≤b、c、d、e、f、g ≤9 2、提出问题： 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数。
二、新课探索： 问题1、每年春节，爷爷总要给小明压岁钱，今年春节，爷爷给了上初一的小明一本银行的存折，并且告诉小明已将压岁钱存入，同时爷爷还给存折设了一个6位数的密码。这个密码有两个特征（1）这个6位数的最左端数字是1；（2）若把左端的数字1移到最右端，则所得的新6位数是原6位数的3倍。要取钱必先知其密码，小明能破解密码去取钱吗？ 解：设这个6位数密码1abcde,的abcde=x ，则该密码可以表示为：1×105+x 若把左端的数字1移到最右端，则所得的新6位数可以表示为： 10x+1 等量关系：新6位数=原6位数的3倍： 方程：10x+1=3(1×100000+x) 解出 x=42857 答：这个密码是142857。 三、学生练习： 1) 一个三位数，三个数位上的数字之和是15，个位上 的数是十位上的数的3倍，百位上的数比十位上的 数多5，求这个三位数。 2）有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数的3倍还大8，求原数。 3.) 已知四位数ab52 的三倍比四位数52ab 大39，求四位数ab52 ？ 四、课堂总结（略） 五、作业布置：基础训练P40
四年级数学多位数的读写法练习
四年级数学多位数的读 写法练习 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
快乐数学一认识多位数 读多位数的方法： 1、先要把这个多位数分级。 2、从高位到低位一级一级地往下读。读亿级、万级时，按个级的读法去读，只要在后面再加上级的单位“亿”或“万”。 3、每级开头或中间有一个0，或者连续0的，都只读一个零。级的末尾所有0都不读出来。若某一级全为0，那么只读一个零。 写多位数的方法： 1、从高位写起，一级一级往下写,先写亿级,再写万级。 2、写万级或亿级的数，先按照个级的写法写。 3、哪一位上一个单位也没有，就写0占位。 一、读出下面各数。（4分） 720000读作：() 读作：() 读作：() 40500000720读作：() 二、写出下面各数。（4分） 九十万零七百写作：() 二亿三千五百万九千三百二十写作：() 八百二十亿四千零三万写作：() 五亿零二千写作：() 三、按要求写数。（9分） 1.用“万”或“亿”作单位表示数。 2.省略“万”“亿”后面的尾数，求近似数。 亿96481≈万亿 亿4005400≈万14980≈万 四、□中最大能填几？（3分） 4□400≈4万39□000≈40万35□860≈36万 五、填出下面各数的相邻数。（4分） 1.（），100000，（） 2.（），4870，（）。 3.（），26500，（） 4.（），34999，（）。 六、填空。（45分） 1.万级的包含有（）、（）（）、（）四个数位；亿级的计数单位有（）、（）、（）（）。 2.10个一千万是（），一百万包含有（）个万。
专题十一：综合能力题选讲
专题十一：综合能力题选讲 〖要点梳理〗 “立足基础，突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题(数学科)的主旋律．这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重．通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理，而解答综合能力 题离不开数学的基本思想和基本方法的指导和运用．这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握，加强能力培养，教会学生善于抓住问题的实质，对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工，以便寻找解决问题的方法．另外，“增加思考量，控制计算量”值得我们在几何复习中深思． 〖慧眼评题〗 例1．设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系． 【解答】观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等． 初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、 π2．所以，只需考虑[]ππ,-∈x 的情形．
另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x 的范围继续缩小？ 事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形． 如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性． ?? ? ??-=x x sin 2cos sin sin π 至此为止，可以看出：由于x sin 2 -π 和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间， （即 x sin 2 -π ，x cos ∈[]π,0） ，所以，只需比较x sin 2 -π 与x cos 的大小即可．事 实上， （ x sin 2 -π ）—x cos = x sin 2 -π —x cos = ??? ? ? +-4sin 22ππ x 022>-≥π 所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得： x sin sin 第17 讲 §交换律、单位元、零因子、整环. (Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain) 讲本讲教学目的和要求:由环的定义,环{}?+,,R是在某集合R上定义了两种代数运算,而这二个运算是通过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运算立法机关的要求是很不平衡的.特别是环中的乘法只要求满足半群—乘法封闭和结合律.所以为环在乘法方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满期点头其它一些条件,则变成了一些特殊的类型的环.本节主要介绍交换环有单位元的环,没有零因子的环和整环,扩大环论的知识面.在学习方面要求掌握: 1、交换环仅是对乘法而言,可交换的一种环.由此可得到什么新结果. 2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质. 3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性. 4、什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系. 本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念,要真正了解并掌握它不是件易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明是难点. 一．交换环 设},;{?+R 为环,已知R 关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,R 也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有 定义1.如果环},;{?+R 关于乘法满足交换律:R b a ∈?, 都有ba ab =,那么称此环是交换环. 例1.易知,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式][x F ,和剩余类环m Z 都分别是变换环.但n 价矩阵环)(F M n 不是变换环. 例2.设环},;{?+R 的加法群是循环群,那么环F 必是变换环. 证明: };{+R 是循环群,即}|{)(R n na a R ∈== ∴,,,ma y na x R y x ==?∈? ∴))((ma na xy = 22][)]([nma ma n ma a n ===, 而 ))((na ma yx = 222][)]([nma mna na m na a m ==== ∴yx xy =. 明示1.在第二章中已知:每个阶5≤的群必是交换群.而一旦环R 中元素个数3≤,那么R 必是变换环. 交换环的性质:设R 是交换环.R b a ∈?,.那么 (1)n n n b a ab N n =∈?)(, (2) R 中满足:222 2)(b ab a b a +±=±,))((22b a b a b a -+=- ))(()(2233b ab a b a b a +±=± (3) R 中满足二项式公式: n n n n n n n n n n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( 二． 无零因子环 《认识多位数》习题 第1节认识整万数 1．填空。 （1）按照我国的计数习惯，通常把数位的每（）个数位分为一级。个级的数位分别是（）位、（）位、（）位、（）位；万级的数位分别是（）位、（）位、（）位、（）位。 （2）—百万一百万地数，数十次是（）。 （3）40个万是（），二百四十万里面有（）个万。 （4）80800000，左边的“8”表示（）右边的“8”表示（）。 （5）最小的八位数是（），它的计数单位是（）；（）是最小的六位数，它的最高位是（）。 （6）5个百万和8个万组成的数是（）。 （7）70060000是由7个（）和6个（）组成的。 （9）由5个千万、2个十万和8个万组成的数写作（），读作（）。2090000是由2个（）和9个（）组成的。 （10）—个数的百万位、万位上都是3，其余各位上都是0，这个数写作（），读作（）。 （11）—个整万数，万级的最高位和最低位上的计数单位都是5，百万位和十万位上都是0，这个数写作（），读作（）。 2．读出横线上的数。 （1）火箭的速度必须达到每小时28440000米，才能冲出地球的大气层。如果速度达到每小时60120000米，就能冲出太阳系的引力进入银河系。（）（）（2）1吨等于1000000克。（） （3）万里长城全长约6700000米，是世界上最伟大的建筑之一。（） 3．写出横线上的数。 （1）绕地球赤道一圈的路程大约是四千万米，合四万千米。（）（）（2）我国领土的面积约九百六十万平方千米。（） （3）北京故宫占地面积约七十二万平方米，是世界上最大的宫殿。（）4．判断。 （1）千万位右边第一位上的计数单位是十万。（） （2）万级上计数单位之间的进率是10。（） （3）整数的数位顺序，从个位起，第三位是百位，第七位是百万位。（）（4）80090000中，8表示8个千万，9表示9个千。（） 5．100张崭新的100元面值的人民币大约厚8毫米，照这样计算，10000张崭新的100元面值的人民币大约厚多少毫米，合多少厘米？1000000张呢？ 第2节认识含有万级和各级的数 1．读出下面的数。 28090030读作（）7300050读作（）59007000读作（）80060050读作（）9008070读作（）3600036读作（）2．写出下面各数。 九千零三万五千写作（）三千万零两百写作（） 九万零九写作（）八千零八万零八写作（）三千万零四百写作（）九百九十万零五写作 3．幸运选择。 （1）最大的八位数是（）。 A．99999999 B．80000000 C．10000000 （2）—个数百位和百万位都是5，其他各位都是0，这个数是（）。A．5050000 B．5000500 C．500500 （3）9360024中的“6”表示（）。 A．6个千B．6个万C．6个十万 （4）下面各数中只读一个零的数是（）。 A．30050001 B．45007000 C．8025000 4．选一选。 （1）饲料公司去年总产值二千零八十五万零四十元，横线上的数写作（）。A．2085040 B．20805040 C．20850040 （2）下面各数中，一个“零”也不读的是（）。 A．68000005 B．27000080 C．7003000 （3）下面各数中，只读出一个“零”的数是（）。 A．40050007 B．34002007 C．5003000 一、选择题(每题2分,共16分) 1.若(),G a ord a n ==,（）则下列说法正确的是 2.假定φ是A 与()A A A =Φ间的一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 3.若G 是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a = 4.指出下列那些运算是二元运算 5.设12,,,n A A A 和D 都是非空集合,而f 是12n A A A ???到D 的一个映射,那么 6.设是正整数集合N +上的二元运算,其中max(,)a b a b =,那么在Z 中 7.在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 8.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH .如果[:]6G H =,那么G = 9.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 10.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的 11.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。 12、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是 13、下面的集合与运算构成群的是 14、关于整环的叙述，下列正确的是 15、关于理想的叙述，下列不正确的是 16.整数环Z 中，可逆元的个数是 17. 设M 2(R)=????????? ??d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域??? 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是 18. 设Z 是整数集，σ(a)=?????+为奇数时当为偶数时 当a ,2 1a a ,2a ，Z a ∈，则σ是R 的 19、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的 同态满射的是( ). 20、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） 21.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( ) 22、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） 23、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G = 16.整数环Z 中，可逆元的个数是( ). 24、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ） 数学高考综合能力题选讲5 三角恒等变换 题型预测 三角恒等变形是运用三角解题的基础．高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换．难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握． 范例选讲 例1 求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 讲解 原式的分子? ? ?+??+?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ??+?=20cos 10cos 20sin 2? ? +?= 20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ??=??+?=， 原式的分母＝? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ? ? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ??=??+?=， 所以，原式＝１． 点评 三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等． 例2 已知5 4sin cos ,5 3cos sin =+=+βαβα，求βαsin cos 的值． 讲解 由条件直接解出βαsin cos 、的值是不可取的．由于 ()()()βαβαβα--+= sin sin 2 1 sin cos ，所以，应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值． 已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子，但二者又不完全相同．即后者可以直接和差化积，前者则不然．其实，只要作一个变换，令γπ β-= 2 ，则可将本题转化为我们熟悉的问题． 解1：令γπ β-= 2 ，则原题等价于： 已知5 4cos cos ,5 3 sin sin =+=+γαγα，求γαcos cos 的值． 两式分别和差化积并相除得：4 3 2 tan = +γ α，所以 ()2572tan 12tan 1cos 2 2 =?? ? ? ? ++? ?? ?? +-= +γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得：()2 1 cos -=-γα, 所以，()()()100 11 cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα. 在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中，我们不难联想到，既然可以平方相加，为什么不能平方相减呢？尝试的结果可以使我们得到下面的解法： 日期和时间的计算 一、学习目标 1.学会在日期的计算中发现和识别呈周期性变化的规律，并能列式解答. 2.学会时间计算的一般方法，能说明解答的基本依据. 3.感受简单的分析、推理等方法. 二、内容提要与方法点拨 1.被除数=商×除数＋余数,余数要小于除数. 2.找准有一定变化规律的周期，如1年有12个月，1周有7天，1小时是60分，1分是60秒等. 三、例题选讲 例12008年元旦是星期二，那么，2012年元旦是星期几？ 解：从2008年元旦到2012年元旦这四年中，2008年是闰年，其余三年是平年.四年的天数加上2012年元旦这一天，共有 366＋365×3＋1=1462（天） (或365×4＋1＋1) 一共是1462÷7=208（周）……6（天） 从星期二开始算，第六天是星期日.所以，2012年元旦是星期日. 这道题还可以这样算： 365÷7=52……1，平年有52周余1天，闰年就有52周余2天. 直接算出每一年的天数除以7的余数的和 2＋1×3＋1=6，从星期二开始算，第六天是星期日. 有一类数学问题是围绕每月天数、日期数和星期几的天数等关系展开的.解答这类问题的焦点往往在它的余数上. 我们知道，在一年的12个月中，每个月最少有28天，最多有31天，一个星期有7天.而 一个月的天数÷7 = 4……（余数），余数可以是0、1、2、3. 下面，我们根据这个除法算式进一步弄清有关的几个数量之间的关系. （1）由上式知，一个月的星期几的个数最少有4个，最多有5个. （2）当余数为0时，即这个月只有28天（平年的2月），那么，这个月所 有的星期几分别有4个.同时，这个月的第一天是星期几，最后一天就是星期几 的前一天.例如，2月1日是星期二，2月28日就是星期一. （3）当余数为1、2、3时，即这个月多于28天.多出了几天，就有几个星 期几是5个的，而且是连续的.例如，7月有31天，当7月1日是星期二时，7 月28日是星期一，7月29日、30日、31日就分别是星期二、三、四，则这个 月的星期二、三、四各有5个. 多出的几天及对应是星期几也可以放到月头考虑，在此不一一分述. 想一想：某年的六月一日是星期五，这个月有5个星期（）和星期（）. 例2某年的3月份正好有4个星期三和4个星期六，那么这个月的1日是星期几？ 有4个星期还多3天。这3天是连续的而 且不能是星期三和星期六，因此，也不可 能是在星期三和星期六之间的星期四和星 期五。这样，只能是星期一、星期二和星 期日。 即这3天按顺序是星期日、一、二（29日、30日、31日）。所以，三月一 日是星期日(如图)。 例3有一个月，星期四的天数比星期三多，星期日的天数比星期六少，这个月的20日是星期几？ 解：要求某月某日是星期几，一般可以由这个月的第一日或最后一日是星期 几推出. 由条件“星期四的天数比星期三多，星期日的天数比星期六少”可知这个月 的星期三、星期日只有4个，而星期四、星期六都有5个.从而推知在星期四和 星期六之间的星期五也应有5个.这个月有31天，31÷7=4…3，而且1日是星期 四，31日是星期六. 再由1日是星期四知，8日、15日、22日也是星期四，得知20日就是星期 二.或由31日是星期六，31－20－7=4，推算出20日是星期二（如图）. 二次函数综合题型精讲精练 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1 C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点 (0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1 x x +≥2,并说明x 为何值时才会有12x x +=. 《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 四年级奥数-第三讲-多位数计算 第三讲：多位数计算 学习内容：提升版凑整法、提公因数、平方差公式。 学习目标：灵活运用简便方法，提高做作业的计算速度以及准确率。 一、凑整法 【例1】（★★★） 计算：999999999×111111111 原式＝（10000000000－1）×111111111 ＝1111111111000000000－1111111111 ＝111111110888888889 99……9常用处理方式——化为（100……0－1） 【例2】（★★★★） 计算：66666×133332 原式＝33333×2×3×44444 ＝（33333×3）×（2×44444） ＝99999×88888 ＝（100000－1）×88888 ＝8888800000－88888 ＝8888711112 99......9的亲戚：33......3 ，66 (6) 【例3】（★★★★） 求算式99……9×88……8÷66……6的计算结果的各位数字之和。 20099 2009个6 原式＝99......9×44......4÷33 (3) 2009个9 2009个4 2009个3 ＝3×44 (4) 2009个4 ＝133 (32) 2008个3 解析：抵消思想。 ……32之和＝3×2009＝6027 2008个3 【例4】（★★★★） 计算：88......82－11 (12) 2010个8 2010个1 （解析：利用平方差公式） 原式＝（88……82＋11……12）×（88……82－11……12） 2010个8 2010个1 2010个8 2010个1 ＝99......9×77 (7) 个9个7 ＝（100......0－1）×77 (7) 个020107 ＝77......700......0－77 (7) 2010个72010个02010个7 ＝77......7622 (23) 2009个7 2009个2 二、提公因数 【例5】（★★★） 计算：22222×99999＋33333×33334 原式＝22222×3×33333＋33333×33334 ＝666666×33333＋33333×33334 ＝33333×（66666＋33334） ＝33333×100000 ＝3333300000 公因数常见给法——倍数关系 【例6】（★★★★） 生命数字的奥秘（一） 毕达格拉斯将数字分为1~9种能量，每一个数字都肩负着它的使命和重任，当这些数字出现在我们的生日里时，它透露出属于你个人的生命信息。 我们的名字可以随意改变，但唯独生日无法重新改写，生日数字就如同人的基因密码，记录传递着身、心、灵多方位的先天与后天特质。 透过数字去看万物的真相，能帮助我们了解自身的真实需要：你是什么样的人？你有什么样的性格？你做事的方式是什么？你需要克服什么弱点？你的天赋是什么？你的缺陷是什么？生日数字都能一目了然。同时也可以帮助我们理解身边的人：他为什么这样，她怎么会那样……我们不能要求和控制别人，毕竟，每个人的生命旅程大不相同，所以，我们所能做到理解别人的唯一方法，就是—了解他人。 我们对于数字必须先有一个基本的认识：数字没有好坏之分，任何一个数字都不完美，都有着突出的正负两面性。奇与偶，有界与无界，善与恶，左与右，一与众，雄与雌，直与曲，正方与长方，亮与暗，动与静—毕达哥拉斯最早提出了整个宇宙的十个对立概念。世界本身就是由相互矛盾的事物组合而成，数字也同样在遵循这一法则。 熟悉每个数字的含义非常重要，作为初学者，最好能将每个数字的基本意义印在脑海里。占数学的计算方式非常多，但了解1-9的基本数字含义，是进行各种运算的基础。其中另有大数字11、22、33具有双重含义（复合数字），也叫卓越数，它们既要参照自己包含的两个数字的含义，也可单独解读。0是一个特殊数，似有似无，但它独立含义也很深远。 如何快速计算属于你的数字 当你看到一个人的生日，想从年月日快速了解这个人的大致特点，有三方面的因素来做参考： 生日数 生日数代表天性所带来的人格特质与行为表现，透露着你的性格、思考方式。可以说仅从生日数就可以判断出你给别人的外在印象。 【本讲重点 】 1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理 2．数论专题综合性题目选讲 模块一： 数论专题系统梳理 一、整除性质 ①如果自然数a 为M 的倍数，则ka 为M 的倍数。(k 为正整数) ②如果自然数a 、b 均为M 的倍数，则a ＋b ，a －b 均为M 的倍数。 ③如果a 为M 的倍数，p 为M 的约数，则a 为p 的倍数。 ④如果a 为M 的倍数，且a 为N 的倍数，则a 为[M ，N ]的倍数。 二、整除特征 1．末位系列 (2，5)末位 (4，25)末两位 (8，125)末三位 2．数段和系列 3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法) 33，99两位截断法 ——偶数位任意分段原则 3．数段差系列 11整除判断：奇和与偶和之差 余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止) 7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔： ???整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）则 三、整除技巧： 1．除数分拆：(互质分拆，要有特征) 2．除数合并：(结合试除，或有特征) 3．试除技巧：(末尾未知，除数较大) 4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍) 四、约数三定律 约数个数定律：(指数＋1)再连乘 约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘 约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2) 五、完全平方数 ①特征 ????????末位：0、1、4、5、6、9 ÷3余0或1余数： ÷4余0或1 ②奇数个约数?完全平方数?偶指性 六、短除模型 七、质数明星： 2?奇偶性 5?个位 八、分解质因数 1．质数：快速判断 2．唯一分解定律 3．见积就拆——大质因子分析 九、余数定律 1．利用整除性质求余数 2．利用余数性质求余数 3．利用除数分拆求余数 十、带余除式 代数思想?数论方程?去余化乘，找倍试约 十一、同余问题 1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。 2．①????→余数性质不同余同余 ②去余化乘，找倍试约。 数字、数位和位数巧区分 你能分清数字、数位和位数吗？ 小伟在学习多位数的读法和写法时，对数字、数位和位数区别不清，作业经常出错，心里很着急。一天，邻居小花姐姐到他家来，他赶紧问小花姐姐：“数字、数位和位数有什么不同啊？” 小花姐姐想了一会告诉小伟：“数字是用来记数的符号。中国数字‘一、 二、 三、……’是常见的数字之一。除中国数字外还有阿拉伯数字‘l、2、3、……’等。在数学中我们经常用的是阿拉伯数字。” “数位是指个位、十位、……，同一个数字由于它所在的数位不同，所表示的数值也不同。例如，在用阿拉伯数字表示数时，同一个‘6’，放在十位上表示60，放在百位上表示600，等等。” “位数，是指一个数含有几个数位。比如，五位数含有个、十、百、千、万五个数位。” 小伟说：“这回我明白了。可还有一个问题，读数、写数的时候有什么规律吗？” 小花告诉他：“读数可以按照这样的口诀读：四 位分级记数位，每级按照个级读，各级只读级名称，零在中间读一个，末尾有0都不读。写数时，你可以记住下面的口诀。” 写数应从高位起， 确定数位才动笔， 哪位是几就写几， 空位补0要牢记。 你能分清数字、数位和位数吗？ 小伟在学习多位数的读法和写法时，对数字、数位和位数区别不清，作业经常出错，心里很着急。一天，邻居小花姐姐到他家来，他赶紧问小花姐姐：“数字、数位和位数有什么不同啊？” 小花姐姐想了一会告诉小伟：“数字是用来记数的符号。中国数字‘一、 二、 三、……’是常见的数字之一。除中国数字外还有阿拉伯数字‘l、2、3、……’等。在数学中我们经常用的是阿拉伯数字。” “数位是指个位、十位、……，同一个数字由于它所在的数位不同，所表示的数值也不同。例如， 神奇数字142857 隐藏着惊天大秘密 神奇数字142857 隐藏着惊天大秘密 看似再平凡不过的六位数由什么神奇的呢？ 那我们现在开始做一个游戏... 我们把这个142857从1到6按顺序乘一下，就会出现如下6组数字： 142857x1=142857 142857x2=258714 142857x3=428571 142857x4=571428 142857x5=714825 148257x6=857142 不知道大家是否发现这6组数字神奇在什么地方，仔细看的朋友也许发现了，对，这6组数字竟然是同一个142857， 只是数字之间位置改变了而已... 继续…… 142857这个数字乘上7，142857x7=999999，你是否很惊讶？ 再把142857这个数字分解成两组数字，142，857 这两个数字之和得出142+857=999 再把142857分解成三组数字，14，28，57 这三组数字之和得出，14+28+57=99 最后我们把142857再乘于142857，结果是142857x142857=20408122449 再把20408122449分解两组数字，20408和122449 它们之和是：20408+122449=142857 游戏结束！是不是觉得这些数字很神奇啊？也不知道谁发现的，真的了不起啊…… 关于其中神奇的解答： 142857 它发现于埃及金字塔内， 它是一组神奇数字， 它证明一星期有7天， 它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次， 到了第7天，它们就放假，由999999去代班， 数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次， 你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案， 它还有更神奇的地方等待你去发掘！ 也许，它就是宇宙的密码， 如果您发现了它的真正神奇秘密…… 请与大家分享！ 142857×1＝142857（原数字） 142857×2＝285714（轮值） 142857×3＝428571（轮值） 142857×4＝571428（轮值） 142857×5＝714285（轮值） 142857×6＝857142（轮值） 第十讲：数字综合题选讲 基础班 1.计算从1到2007的所有奇数之和. 4.求从1到2008的自然数中有多少个数除以3余2？ 5.将所有自然数按图排列成一个“数字塔”形，问： （1）第100行的最后一个数是多少？ （2）前100行共有多少个数？ （3）第100行有多少个数？ （4）第100行的第一个数是多少？ （5）第100行中间那个数是多少？ 6．一个四位数，划掉它的个位数字得第二个数；划掉它的个位、十位上的数字得第三个数．已知这三个数的和为4212，求这个四位数． 答案 1．994009． 解从1至2007共有奇数： 2008÷2=1004（个） 这些奇数之和为 1004× 1004= 1008016 3．解因为六位数111111被7整除，即 111111÷7=15873 而且 1994÷6=332 (2) 11÷7=1 (4) 4．669． 解从小到大列出这些数： 2，5，8，11， (1994) 第二个数：5=2+3×1 第三个数：8=2+3×2 第四个数：11=2+3×3 第五个数： 14=2+3×4 第K个数：2+3×（K-1） 2008=2+3×（669-1），所以从 1至 2008有 669个除以3余2的数． 5．（1）10000；（2）10000；（3）199；（4）9802；（5）9901． 解（1）先列出下表规察规律： 从上表不难看出第100行的最后一个数是： 100×100=10000． （2）前100行中数的个数应为各行中数的个数之和： （3）第100行中数的个数就是自1开始的第100个奇数，等于： 1+2×（100-1）=199． （4）由于第100行共有199个数，最后一个数是10000，所以第一个数是： 10000-199+1=9802 （5）由于第100行共有199个数，所以中间一个数应该是从左数第100个数，即 9802+（100-1）=9901． 6．所求四位数为3796． 提高班 1．已知数87888990…153154155是由自然数87到155依次排列而成的，从左至右第88位上的数字是几？ 答案 四年级奥数第1讲：多位数计算 多位数的运算在奥数体系里面一般扮演难题角色，多位数运算不仅体现普通数字四则运算的一切考法，还要靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，确定方法解题。 主要方法： 1.利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n ，有进行计算尽量转化成 9993332.经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式、乘法的性质 3.多位数M× 9 99999个n 的数字和为9n（注意M 要小于 9 99999个n ）题型一：求算式结果某数位上的数码 常用方法：1.提取公因数；2.利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n 例1在将10000000000中减去1101011后所得的答案中，数码8 出现了 次？ 分析：10000000000－1101011=9998898989，数码8共出现了4次。例2 求6+66+666+6666+66666+666666+6666666的和的万位数字是 分析：方法一：提取公因数 6+66+666+6666+66666+666666+6666666=6×（1+11+111+1111+11111+111111+1111111）=6×1234567=7407402 方法二：利用加法的计算方法个位和为：6×7=42，个位数字为2 十位和为：6×6+4=40，十位数字为0千位和为：6×5+4=34，千位数字为4万位和为：6×4+3=27，万位数字为7 例3 920051 20059999911111个个?的乘积中含有个偶数数码。 分析：利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n . 20051200498888801111111111000001111110000011111199999111118 20041 20041 20050 20051 200502005120059 20051 2005个偶数数码因此含有个个个个个个个个个=+=-=? ??? ??-?=? ＜训练巩固＞1. 8 199288888888,88,8个，，把这1992个数相加，所得和的个位数是十位数字是 ，百位数字是 . 2. 7 1002 20067777722222个个减去，得数的个位数字是（提示：多个2相乘，多个7相乘，尾数有周期现象） 题型二：求算式结果有几位数（或末尾有几个0） 常用方法：1.提取公因数；2.因数末尾有0的计算方法例4 将1000 2009 = 1000 2009100010001000个??的数值写下，它有 位数？ 分析：利用因数末尾有0计算方法 10002009 = 1000 2009100010001000个??= 6027320090000001个=?因此总共有6027+1=6028位数.近世代数 第17讲
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