第一讲,整数和整除
第一讲整数和整除
主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数
教学目标：
1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念
2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征
5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质
教学重点：
1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件
2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数
4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数
教学难点：
1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数
2.奇数偶数运算性质的应用
3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数
考点及考试要求：
1.自然数、整数、正整数、负整数的分类
2.给出算式判断是否为整除
3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数
4.会运用奇数偶数的运算性质
5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数
★知识精要
知识点1：整数的意义和分类
自然数：零和正整数统称为自然数（n a tur a l num b er）；
整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数
知识点2：整除
（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. （2）整除的条件（两个必须同时满足）：
①除数、被除数都是整数；
②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点
相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除
不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
知识点5：因数和倍数的性质（规律总结）
（1）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
（2）0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；
（3）一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数
知识点6：2的倍数的特征
个位是0，2，4，6，8的数
知识点7：偶数、奇数的意义以及它们的运算性质
在自然数中，是2的倍数的数是偶数（即个位是0，2，4，6，8的数）；
在自然数中，不是2的倍数的数是奇数（即个位是1，3，5，7，9的数）
注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；
最小的奇数是1，没有最大的奇数；
一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数。
知识点8：5的倍数的特征
个位是0或5的整数，都是5的倍数
知识点9：3的倍数的特征
一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数
注：1) 既能被2整除又能被5整除的整数的特征:个位上数字是0的数（或者说是10的倍数的整数）
2) 既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是15的倍数的整数）
3) 既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3
的倍数（或者说是6的倍数的整数）
4) 既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数（或者说是30的倍数的整数）
总结拓展：
数的整除、奇数与偶数、素数、合数、与分解质因素
知识点
一、数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
二、数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
【推理过程】：
2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③
条整除特征。
同理可证，若一个数的末四位数能被16或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推。
（2）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
【推理过程】：
因为10、100、1000……除以9都余1，所以几十、几百、几千……除以9就余几。因此，对于任意整数ABCDE…(_______________)都可以写成下面的形式（n为任意整数）：
9n＋（A＋B＋C＋D＋E＋……）
9n一定能被3或9整除，根据整除的基本性质（1），只要这个数各位上的数字和（A＋B＋C＋D＋E＋……）能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
（3）用“截尾法”判断整除性。
①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除；
②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的1倍，差是11的倍数，则原数能被11整除；
③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的4倍，差是13的倍数，则原数能被13整除；
④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的5倍，差是17的倍数，则原数能被17整除；
⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的2倍，差是19的倍数，则原数能被19整除。
根据整除的基本性质（3），以上5条整除特征中，如果差太大，可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程，直到能直接判断为止。
【推理过程】：
设任意一个整数的个位数字为y，这个数可以表示成10x＋y的形式，其中x为任意整数。
一个数截尾减2后，所得数为（x－2y）。因为截去这个数的个位数字后，所得数x减去个位数字y的2倍，实际上是在原数的十位数字上减去2个y，即减去了20个y，截尾一个y，总共减去了21个y，剩下了（x－2y）个10。如下式：10x－20y＋y－y﹦（x－2y）×10﹦（10x＋y）－21y。
根据整除的基本性质，如果（x－2y）能被7整除，则（x－2y）×10就能被7整除，即（10x＋y）－21y能被7整除，21y是7的倍数，可以推出原数（10x＋y）一定能被7整除。
“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y，总共加了39y（13的倍数），得到（x＋4y）个10，“截尾加4”所得（x＋4y）如果能被13整除，原数必能被13整除。
同理，“截尾减1”就是原数减去了11个y（11的倍数），原数剩下（x－y）个10，“截尾减1”所得（x －y）能被11整除，原数必能被11整除；
“截尾减5”就是原数减去了51个y（17的倍数），原数剩下（x－5y）个10，“截尾减5”所得（x－5y）能被17整除，原数必能被17整除；
“截尾加2”就是原数加了19y（19的倍数），得到（x＋2y）个10，“截尾加2”所得（x＋2y）如果能被19整除，原数必能被19整除。
依此类推，可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除，用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等。
（4）“截尾法”的推广使用。
①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差（大数减小数）能被7、11或13整除，则这个数一定能被7、11或13整除；
②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除，则这个数能被23或29整除。（比较适合对五位数进行判断）
【推理过程】：
①设任意一个整数的末三位数为y，则这个数可以表示成1000x＋y的形式，其中x为任意整数。
当x大于y时，这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到（x－y）。这里x减y实际上是在原数的千位上减去y，即减去了1000y，加上截去末三位数y，总共减去了1001y，原数剩下（x－y）个1000。如下式：
1000x－1000y＋y－y﹦1000（x－y）﹦（1000x＋y）－1001y
7×11×13﹦1001，7、11和13都是1001的因数。
综上所述，如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到（x－y）能被7、11或13整除，即（1000x＋y）－1001y能被7、11或13整除，则原数必能被7、11或13整除。
当y大于x时，可得1000（y－x）﹦1001y－（1000x＋y），如果（y－x）能被7、11或13整除，则原数必能被7、11或13整除。
②设任意一个整数的末四位数为y，则这个数可以表示成10000x＋y的形式，其中x为任意整数。末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即（y－5x）。
10000（y－5x）﹦1005y－5（10000x＋y）
因为1005是23和29的公倍数，如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即（y－5x）能被23或29整除，即10000（y－5x）能被23或29整除，则原数必能被23或29整除。
依此类推，如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除，则这个数必能被101整除等等。
（5）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（6）
【推理过程】：
一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1，如1、100、10000……等，除以11都余1，因此每个偶数位上数字是几，它所表示的数值除以11就余几，所有偶数位上数字之和除以11余几，所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几。一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”（余数为10），如10、1000、100000……等，除以11都“缺1”，因此每个奇数位上数字是几，它所表示的数值要整除11就缺几，所有奇数位上数字之和除以11缺几，所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几。
“移多补少”，只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除，原数才能被11整除。
三、奇数与偶数的运算性质
（1）
性质1：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数
性质2：偶数±奇数＝奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数
两个实用的推论
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a ，b ，有a+b 与a-b 同奇或同偶
（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m
2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
四、质数和合数的有关性质和定理
1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。
2.若质数p|ab, 则必有p|a 或p|b 。
3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p 或b=p 。
4.定理1.设a 是一个大于1的正整数，则a 的大于1的最小正因数p 一定是质数。
5.定理2.若p 是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a ）=1 6、定理3.质数有无穷多个。
7. 形如4n-1(n 为正整数)的质数有无穷多个。
8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能分解成K 个质因数的乘积（k i p p p a k a
k a
a
,,,2,1,2121 ==），若不考质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的。
9、任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a
k a
a
,,,2,1,2121 == ① 的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。上式叫做整数a 的标准分解式
10、若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。
五、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； （6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 （8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。
典型例题
例1、已知下列除法算式：
① 23÷3=7……2 ②24÷6=4 ③ 21÷3=7
④ 2.1÷3=0.7 ⑤5÷2=2.5 ⑥ 0÷21=0
表示能除尽的算式有几个？
哪些算式中被除数能被除数整除？
例2、一个整数既是54的因数，又是9的倍数，求这个数。
例3、求能同时被2、3、5整除的 (1) 最小的自然数；(2) 最小的两位数；(3) 最大的三位数.
例4、一个长方形的周长是20 厘米，且长和宽都是偶数，那么这个长方形的长和宽分别是多少？你能求出它的面积吗？是多少?
例5、用4、5、6排成的三位数中，
A. 哪些是5的倍数？
B. 哪些是3的倍数？
C. 哪些是6的倍数？
例6、一个三位数，它在百位上的数是2，十位上的数是3，个位上的数是x，求出所有满足已知条件的三位数。
这个三位数能被5整除；
这个三位数是偶数；
这个三位数能被3整除。
例7、有三个自然数，其和是27，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）+5=（）÷3=（）-2
例8、求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和。
例9、求从1至100这100个正整数中，不能被2或5整除的数的个数。
例10、已知A=2×3×5×7，那么A的全部因数的个数是（）
A．10个 B、12个 C、14个 D、16个
例11、如果（n）表示n的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）= _ 。
例12、已知a是整数，则以下四个代数式中，不可能得整数值的是（）
A.52
3+
a
B.
32
2-
a
C.
61
3+
a
D.
72
5-
a
例13、一个奇数要变成偶数，下列各方法中除（）外都可以。
A.加上1
B. 减去3
C.乘以2
D.除以2
例14、下面的一个41位数55…5 99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中的数字是几？
例15、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9 .2 元。已知处数字相同，请问：每支钢笔多少元？
一、基础训练
(一)、判断题
1、一个数的倍数一定比它的因数大。（）
2、正整数a最大的因数是a。（）
3、一个正整数至少有两个因数。（）
4、如果整数a、b、c满足a÷b=c，那么a既是b的倍数，也是c的倍数，b和c都是a的因数。（）
5、负整数中有最大的数。（）
6、两奇数的和一定能被2整除。（）
7、两奇数的积一定能被2整除。（）
8、一个奇数与一个偶数的和一定能被2整除。（）
(二)、选择题
9、下列说法正确的是（）
A. 整数一定比小数大
B. 没有最小的自然数
C. 若m n余数为0，则n一定能整除m
D.若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
10、下列说法不正确的是（）
A. a÷b=c（a，b，c都是正整数），则b是a的因数，a是b的倍数
B. 甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数
C. 12÷4=3，所以说12是4的倍数
D. 51的倍数一定能被17整除
11、下列算式中，被除数能被除数整除的是（）
A.18÷4
B. 12÷0.4
C. 1.8÷1.8
D. 4÷4
12、已知m能整除71，那么m是（）
A. 142
B.11
C.1或71
D. 213
13、除式9÷1.5=6表示（）
A.9能被1.5整除
B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽
D.以上说法都不确切
14、如果一个数既是60的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（）
A. 这样的数只有1个
B.这样的数有无数个
C.这样的数有2个
D.这样的数不存在
15、能被96整除的数一定是下面（）的倍数
A.18
B.32.
C.36.
D.192
16、要使四位数能同时被2，5最多可填（）个数字
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
17、能同时被3和5整除的两位数是（）
A、120 B．104 C．90 D．35
18、如果一个偶数与一个正整数的和、差、积、商都是正整数，那么下列结论正确的是（）
A、和为偶数 B.差为偶数 C.积为偶数 D.商为偶数
19、一个偶数要变成奇数，下面说法中，可以实现转变的是（）
A.加上一个奇数
B.加上一个偶数
C.乘以3
D.乘以2
(三)、填空题
20、30的因数中，偶数有__________个。
21、能被5整除的奇数，它的个位上的数是__________。
22、在50与100之间，3的倍数有__________个。
23、用3、0、5排成的三位数中，能被5整除的数有__________个。
24、最小的两位奇数是__________；最大的三位偶数是__________；
25、三个连续奇数中，最大的数是a，则最小的数是__________；
26、能被5整除，但有因数2的最大的两位数是__________；
27、100的因数中，能被2整除的数有__________；能被5整除的数有__________；
28、相邻两个正整数的和为__________数，积为__________数。
(四)、解答题
29、把表示下列算式的序号填入适当的空格内。
（1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3
（5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4
被除数能被除数整除的：_____________________；
30、在下面的圈里，填上所有满足条件的数：
48的因数 50以内9的倍数
31、将1到20中满足条件的数填入适当的圈内。
32、一个数既是200的因数，又是4的倍数，但不是10的倍数，这个数是多少？
33、24名学生参加了社区组织的“迎世博，学英语”活动，需分成几个小组，要求每组的人数在5到10人 之间，应当怎样分组？
二、思维拓展
(一)、填空题
34、比25小的自然数有________个。
1、一个数最小的倍数是36，它的因数有哪些？__________________
35、整数a 能被整数b 整除，整数c 能整除整数b ，已知a 是最大的两位数，c 是最大的一位数，那么b 的 值可能是________；
36、用91个苹果分给十几个人，如果每人得到的苹果个数都相等，那么每人拿到________个苹果。 37、在下面各数的○里填上一个适当的数字：
（1）20○既能被2整除也能被3整除； （ ）
（2）7○○既能被3整除也能被5整除；（）
（3）○2○同时能被2、3、5整除；（）
（4）○62○既能被5整除，又能被6整除。（）
38、100以内既不是3的倍数，也不是7的倍数的数有________个。
39、用6、7、8中的任意一个、两个或三个数字能组成 ________个数字不重复的偶数。
40、三个连续奇数的和是111，则夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是__________、__________。
(二)、选择题
41、已知m能整除143，那么m是（）
A. 13
B.11
C.13或11
D. 1或11或13或143
42. n表示正整数，下列各式中，一定表示奇数的是 ( )
A. 3n
B. 3n-1
C. 3n+1
D. 2n-1
43、下列说法中，错误的是（）
A．一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身
B．一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身
C．13在100以内的倍数共有8个
D．一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16
44、甲数的最大因数等于乙数的最小倍数，甲数和乙数比较，结果是（）
A.甲数大
B.乙数大
C.一样大
D.无法确定
45. 在a×b=c中(a、b、c都是正整数)，下列说法正确的是 ( )
A. c能整除a
B. a和b都是c的因数
C. b能被c整除
D. a是c的倍数
46. 若五位数□123□能被15整除，这样的五位数一共有( )个．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
(三)、解答题
47、某校军乐队表演共37人，若要排成5路纵队，且每队人数相等，则至少要增加多少人或减少多少人？
48. 有三个自然数，其和为37。小华、小强、小梅三人一起做填数字题。他们各取一个数，分别填入
( )+1=( )-2=( )÷4的三个括号内，结果能使等式成立。你能说出他们填的是什么数吗？请说明理由。
49. 学校图书馆新增六种不同的科普读物，本数分别为15、16、18、19、20、31，小华和小强主动帮助搬运其中的五种，而且小强搬运的书量是小华的2倍，你能说出还剩下哪一种书没有搬吗？
50、从1到2007这2007个整数中，有n个数可以同时被2、3、5中的两个数整除，但不能同时被这三个数整除，那么N为多少？
三、难题解析
51 、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同时被3、5、7、13整除，问：这个数最大是几？
52、能被35整除。这个十一位数的首位数字是什么？
53、已知91能整除多位数AB123123123……123 ，这个多位数是由两个未知数字和99个123组成的。那么两位数AB是多少？
四、自招专训
54、一个多位数882008 (200820082008)
个n 能被88整除，求最小的正整数n.
★自我测试
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）因为3.2÷0.4=8，所以说3.2能被0.4整除。（ ） （2）一个数的约数一定不大于这个数的倍数。（ ） （3）含有约数2的数一定不是3的倍数。（ ） （4）所有的自然数不是偶数就是奇数。（ ）
二、填空题
1、在14和42两个数里，___________能被___________整除，___________是___________的因数， ___________是___________的倍数。
2、在10÷4，100÷20，10÷3，12.5÷0.5，28÷6，121÷11这些算式中，整除的算式 有___________，除尽的算式有___________。
3、一个数的最小倍数是24，这个数的因数有___________。
整除的数的个位数字是___________。7、能被10整除的数的特征是个位数字为___________。 8、三位数A5A 能同时被2、3整除，则A 可以是___________。
9、用0、8、3、7四个数字组成一个数字可重复的四位数，使它能同时被2、3、5整除，这个四位数最大是___________，最小是___________。
10、100以内既是2的倍数，又能被3整除的数有__________个。
11、在32、45、105、424、560、1001这些数中，有因数2的数是__________，能同时被3和5整除的数
是___________。
12、一个七位数的个位数字是8，这个数被5除的余数是__________。
13、将下列数字按要求填入相应横线上：
12、30、36、75、40、53、120、609
能被2整除的是___________；
能被3整除的是___________；
能被2、3、5同时整除的数是 ___________。
14、从4、0、5、8这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2,3,5整除的三位数，这样的三位数是
___________。
15、5个连续偶数的和是320，这个五个连续偶数分别是几。
三、选择题
1、下列说法中正确的个数是（）
(1) 一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大
(2) 一个正整数的倍数一定能被它的因数整除
(3) 除1之外的正整数的因数至少有两个
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个
2、下列说法中，错误的是 ( )
A.四个连续偶数的和必为偶数
B. 四个连续奇数的和必为奇数
C.一个偶数与一个奇数的积是偶数
D. 一个偶数与一个奇数的和是奇数
3、下列说法中，错误的是（）
A.0也是偶数；
B.能被2除尽的数都是偶数；
C.任何一个奇数加上1后，一定是偶数；
D.偶数除以偶数所得的结果不一定是偶数。
4、用0、1、3、5可以组成( )个能同时被2、3、5整除的三位数。
A．2 B．3 C．4 D．5
5、如果一个偶数与一个正整数的和、差、积、商都是正整数，那么下列结论正确的是（）
A.和为偶数
B.差为偶数
C.积为偶数
D.商为偶数
6. 下列说法正确的是 ( )
A. 在自然数中，能整除6的数有2和3；
B. m÷n=3，n一定能整除m；
C. 与自然数a相邻的两个自然数分别是a+1，a+2；
D. 甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除.
四、解答题
1、一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数。
2、分别写出48和17的因数
3、由0，1，2，3，4组成一个能被2整除的三位数中，最小的一个数是什么数？由小到大，第十个数是什么数？
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
1.1 整数的整除
第一章数论初步 1.1 整数的整除 【知识精讲】 1.整除的定义：设a，b是两个整数,且b≠0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,则称a能被b整除或b整除a，记作b︱a，又称b是a的约数，a是b的倍数.若d不能整除a，则记作d?a，如2|6，4?6. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除0. ±）称为它2．最大公约数的定义：设a，b不全为零，同时整除a，b的整数（如1 a,不全为零，故同时整除a，b的整数只有有限多个，其中最大的一个们的公约数，因b 称为a，b的最大公约数，用符号（a，b）表示.显然，最大公约数是一个正整数. ±）时，则称a与b互素（互质）. 当（a，b）＝1（即a，b的公约数只有1 若a与b互素，则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1. 3.最小公倍数的定义：设a，b是两个非零整数，一个同时为a，b倍数的整数称为它们的公倍数，a，b的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个正数称为a，b的最小公倍数，记作[a，b]. 显然a与b的任一公倍数都是[a，b]的倍数. 4．质数与合数 （1）正整数分为三类： ①单位数1； ②质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称为质（素）数； ③如果一个正整数有大于1而小于其本身的因数，则称这个正整数为合数. (2)100以内的质数有25个，即2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97. (3)偶质数只有2. (4)质数有无穷多个. p|或（a，p）＝1. (5) 若p是质数，a为任一整数，则必有a 5.整除的性质:设a，b，c均为非零整数.
整数的整除性
整数的整除性 竞赛讲座02 － ．的有关概念、性质 整除的定义：对于两个整数a、d，若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。 若d不能整除a，则记作da，如2|6，46。 性质 ）若b|a，则b|，且对任意的非零整数有b|a ）若a|b，b|a，则|a|=|b|; ）若b|a，c|b，则c|a ）若b|ac，而=1=1表示a、b互质，则b|c； ）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； ）若c|a，c|b，则c|，其中、n为任意整数 例1x，y，z均为整数，若11｜，求证：11｜。 证明∵4+3=11 而11｜11, 且11｜, ∴11｜4 又=1 ∴11｜.
整除性问题的证明方法 利用数的整除性特征 例2设72｜的值。 解72=8×9，且=1，所以只需讨论8、9都整除的值。 若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。 若9｜，则9｜，得a=3。 利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 例3证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。 证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 又∵ n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数.
故被3除时余2. 例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除. 证明∵a2+23=+24，只需证a2-1可以被24整除即可. ∵2.∴a为奇数.设a=2+1, 则a2-1=2-1=42+4=4. ∵、+1为二个连续整数，故必能被2整除， ∴8|4，即8|. 又∵，a，为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a=a，∵3a，∴3|.3与8互质,∴24|,即a2+23能被24整除. 利用整数的奇偶性 下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题. 例5求证:不存在这样的整数a、b、c、d使： a?b?c?d-a=① a?b?c?d-b=② a?b?c?d-c=③ a?b?c?d-d=④ 证明由①，a=. ∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数. 同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a必为偶数，与①式右端为奇数
整数的整除特征
整数的整除特征 1.尾系的整除特征 （1）2、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除。 （2）4、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、98765475能被25整除。 （3）8、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、98765625能被125整除。 推而广之，末n位能被2n、5n整除。 2.和系的整除特征：从末位（右）→首位（左） （1）3、9：一位一截，各位的数字和能被3（或9）整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27，能被3或9整除； 还可以采用更方便的弃3（9）法，如987654321，3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去，和是0，所以987654321可以被3整除。采用弃9法，弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9，和是0，所以987654321可以被9整除。 （2）11、33、99：两位一截，数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66，66÷11＝6，66÷33＝2，66÷99＝0 ┅ 99，所以260535能被11和33整除，但不能被99整除；3.差系的整除特征：从末位（右）→首位（左） （1）11：奇偶位差法：一位一截，奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。如110220→奇数段0＋2＋1＝3，偶数段2＋0＋1＝3，3－3＝0，0能被11整除，所以110220能被11整除。 （2）7、11、13：三位一截，这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876，奇数段的和是876＋1＝877，偶数段是121，它们的差是877－121＝756，用这个差除以7、11、13：756÷7=108，756÷11=68....8，756÷13=58...2，所以1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。是11的倍数。 注意：如果出现不够减的情况，则奇数位加上7、11、13（或它们的倍数）后再减。如654333→654┆333，差654－333＝321不够减，333可以加上11的30倍再减，333＋330－654＝9，即余数是9。如果用奇偶位差法，奇数位的和是3＋3＋5＝11，偶数位的和是6＋4＋3＝13，11减13不够减，这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9，即余数是9。
整数的整除小故事讲课稿
整数的整除小故事 今天下午备课时偶然想到一个小故事，顺手写了下来，赶紧就发出来了。。。 有一天，小7遇见9，说：“兄弟”。 9是个傲慢的家伙，对小7说：“谁和你是兄弟，叫你乱叫”，就把小7揍了一顿，小7就哭着回家了，第二天9遇到11和13炫耀说：“我昨天把小7揍了一顿，嘿嘿”。 11和13二话没说，抓住9狂扁一顿，扁完之后，9愤愤的说：“你们为什么扁我”。 11和13说：“别以为你和我们是连续的就和我们亲近，再敢欺负我们的兄弟小7，有你吃的”。 9还是不明白，小7为什么比他与11和13更加亲近。 过了几天，11出去玩，在一条小溪边远远的看到了正在喝水的37和9 99，11平素就是个精明透顶的人，悄悄的转身退到草丛里躲了起来，打算等37和999走了之后再出来。 可是，过了一会，13大大咧咧哼着歌就走过来了，也就被37和999注意到了，他们不动声色，等到13走到河边时，就把13拦住了，13这时也就看到了他们，13似乎忘记了前天狂扁9的事情了，就问：“你们为什么要拦住我的去路呢？ 37和999笑着说，为什么，我们的表弟9上次被你和11扁了一顿，难道你忘记了？ 13纳闷的说：“怎么9是你们的亲戚呢？”
13一边说，一边飞快的往回跑，37和999在后面紧追不舍。 说时迟，那时快，就在这时，27飞身而至，挡在了13的面前。 13心里已经害怕到了极点，因为999功力之深厚，远近闻名，但看起来却毫无惧色，虽然明知自己免不了一顿扁。笑嘻嘻的站在三人中间，霎时，战云密布，一股煞气，笼罩在数字山庄。 11看到13要吃亏，就暗暗给7发了短信，然后跑出来，同13站在了一起，13看到11来了，心里多少踏实了一些，7收到11的短信，深感999功利深厚，虽然自己知道7,11,13可以幻化出摩天大阵，但这次也是凶多吉少，所以想到了和平解决这件事情，也就想到了99，就拉着99一起跑来。 河边的对峙，也引起了9的注意，所以9也跑了过来 这是河边局势： 一边是9，37，999 一边是7，11，13，99 999功力深厚，所以光芒四射。 这时，99说话了，由于99与两个家族的特殊关系以及他的地位，99这时是最有说话资格的了 99说：“你们两家都是我的亲戚，我还是希望你们能和睦相处” 99咳了一声接着说：“这件事情的起因是由于脾气暴躁的9引起的，当然11家族的处理办法也不合理，所以，9，你出来，向小7陪个礼，道个歉，11和13，你也出来，你们不要以为武力就可以解决一切，向9到个歉”
整数与整除的基本性质一
第一讲 整数与整除的基本性质（一） 一、整数 基本知识： 关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。 关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。 十进制整数的表示方法 正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成41051021012 3+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.1010 1211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题： 例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排
整数(整除)性问题
整数（整除）性问题 【探究拓展】 探究1：（1）已知二项式) 1 n x ，其中n ∈N ，且20123≤≤n ，在其二项展 开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？ 解：连续三项的二项式系数分别为1-k n C 、k n C 、1+k n C （11-≤≤n k ），由题意 112+-+=k n k n k n C C C ，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ，故 2 9 8142,1+±+= k k n ，则 2)12(98+=+m k 2 22-+=?m m k ，代入整理得 2)1(21-+=m n ，222-=m n ，1936442=Θ，2025452=，故n 的取值为2442-， 2432-，…，232-，共42个 （将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式） （2）已知)1 31 1(3 1+- =n T n ，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得 T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？ 解：∴31)1311(3 1<+- =n T n 1 3+= n n n T ∴1 3,411+= =m m T T m ，31n n T n =+ ∵n m T T T ,,1成等比数列．∴ 1211341)13( 2<+=+n n m m ，所以?? ? ??+∈2321,232-1m 又∵m 为正整数且2≥m ，∴2=m ，n ＝16，且1 第二十六讲整数整除的概念和性质 对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n 整数和整除 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1．理解并掌握整数、整除的概念； 2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系； 3．知道一个数的因数和倍数的求法。 1.整数 （1）零和正整数统称为自然数； （2）正整数、零、负整数，统称为整数。 正整数自然数 整数零 负整数 思考题：(1)是否有最小的自然数？ (2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ (3)有多少个自然数？正整数？负整数？ 2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24. 注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0. 3.除尽与整除 （1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除； （2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零. 4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数） 注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在, 5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身. 6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身. 整数的整除性与同余（教案） 教学内容 整除与同余 教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质; 2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题. 教学过程 一、整数的整除性 1、整除的定义： 对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ?=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a. 2、整除的性质 1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am; 2) 若b|a ，c|b ，则c|a 3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ； 4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ； 5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 6）连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。 证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z) 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。 解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3 例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2 1n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。 数的整除性规律 【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除 【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。 例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。 又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。 【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。 例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。 【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。 例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。 【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。 例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。 又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。 再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。 此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。 例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。 【知识点1】 1、整数和整除的意义 整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。 注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 2、自然数和整数 零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数. 3.除尽 没有余数 4.整除与除尽 相同点：都没有余数；除尽中包含整除 不同点：整除中，被除数、除数和商都是整数，余数为0； 除尽中，被除数、除数和商不一定是整数，余数为0. 【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。 【基本习题限时训练1】 1、下列算式中表示整除的算式是（） （A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3 2、下列各组数中，均为自然数的是（） （A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）2 3，3 4 ，4 5 （D）2，4，6 3、下列说法正确的是……………………………………………（） （A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1 （C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是1 4、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数； （3）3248 ÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？ 6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。 【拓展题1】 1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。 2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。 一、填空题 1.统称为自然数。 2.统称为整数。 3.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句。 （1）2 整除4 （2）2 整除5 （3）5 被2整除（4）6 被2整 4.把下列各数填在指定的圈内： 2019数的整除性讲解（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 （8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知， ＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。 竞赛培训专题6---整数的整除性 1整数的整除性的有关概念、性质 （1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。 若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。 （2）性质 1)若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2)若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3)若b|a，c|b，则c|a 4)若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。 证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而11｜11(3x-2y+3z), 且11｜(7x+2y-5z), ∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法 (1) 利用数的整除性特征（见第二讲） 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。 解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。 若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。 若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。 （2）利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。 证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 又∵， 2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数. 故被3除时余2. 四年级数学整数及整除知识点整理 四年级数学整数及整除知识点整理 1、整数的意义：自然数和0都是整数。 2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这 样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置 叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就 说a能被b整除，或者说b能整除a。 如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约 数是它本身。例如：10的.约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的 倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案 §19．1整除 19.1.1★证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除． 解析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 () ()()()2 2 2 22121231121n n n n n -+++++=++． 所以 ()()()222 12|212123n n n ??-++++?? ． 又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故 ()()()22224212123n n n ??-++++?? ?． 19．1．2★★若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 解析 设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得 3517v u x -=． ① 所以 17|3v ． 因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +． 若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +． 19.1.3★★设n 是奇数，求证： 60|6321n n n ---． 解析 因为260235=??，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可． 由于n 是奇数，有 22|62n n -，22|31n +， 所以22|6231n n n ---； 又有3|63n n -，3|21n +， 所以3|6321n n n ---； 又有5|61n -，5|32n n +， 所以5|6321n n n ---． 所以60|6321n n n ---． 评注 我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理． 19．1．4★★设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除． 解析 因为200621759=??，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除． 应用公式，n 为奇数时， ()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++， ()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-++ +. 由于159610005944+=?，2703205910+=?，所以15961000270320n n n n +--能被59整除. 又159627013261778-==?，10003206801740-==?，所以15961000270320n n n n +--能被17整除． 整数整除的概念和性质 对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n 竞赛讲座02 －整数的整除性 1．整数的整除性的有关概念、性质 （1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。 若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。 （2）性质 1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2）若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3）若b|a，c|b，则c|a 4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。 证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z), 且 11｜(7x+2y-5z), ∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法 (1) 利用数的整除性特征（见第二讲） 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。 解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。 若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。 若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。 （2）利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。 这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。 证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性 在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。 一、整除判定 在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。 在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。 被2、3、4、5、8、9整除的判断依据 （1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。 （2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。 （3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。 （4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。 （5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。 （6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。 【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。 能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。 能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。 因此密码为2222232。 【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？ Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人 整除的性质和特征 整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。 一、整除的概念： 如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。 二、整除的五条基本性质： （1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除； （2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除； （3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除； （4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立； （5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。 三、一些特殊数的整除特征： 根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。 （1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 ①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。 【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。 又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。第26讲 整数整除的概念和性质
整数和整除的意义
整数的整除性与同余(教案)
数的整除性规律
整数与整除
2019数的整除性讲解(一)
整数的整除性1
四年级数学整数及整除知识点整理
人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案
整数整除的概念和性质
高中数学竞赛讲座整数的整除性
数的整除特性
整除的性质和特征