第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为

(0,

b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，

垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115

2428

b x b x bx ??+??=＝2b ．

解得165x =．所以点P 的坐标为(1616

,55

)．

图2 图3

（3）由2111

(1)(1)()4444

b y x b x x x b =

-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA

=，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14

b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．

②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。因此△OCQ ∽△QOA ．当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°．所以C 、Q 、B 三点共线．因此

BO QA

CO OA =

，即14

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例2 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：

(2)()

y x x m

=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与

y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

（1）将M(2, 2)代入

(2)()

y x x m

=-+-，得

24(2)m

=-?-．解得m＝

4．

（2）当m＝4时，2

111

(2)(4)2

442

y x x x x

=-+-=-++．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

所以S△BCE＝

626

BC OE

?=??=．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么

HP EO

CP CO

=．

因此

=．解得

HP=．所以点H的坐标为

(1,)

．

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以当

CE BC

CB BF

=，即2

BC CE BF

=?时，△BCE∽△FBC．

设点F的坐标为

(,(2)())

x x x m

-+-，由

FF EO

BF CO

=，得

(2)()2

x x m

x m

．

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

由

CO BF

CE BF

=，得

．所以

(4)4

m m

=．

由2

BC CE BF

=?，得

(4)4

(2)4

m m

+=+?．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4 ②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以BE BC

BC BF

=，即2

BC BE BF

=?时，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1

(2)()2

x x m x

+-=+．

解得x＝2m．所以F′(2,0)

m．所以BF′＝2m＋2，2)

BF m

=+．

由2

BC BE BF

=?，得2

(2)2)

m m

+=+．解得2

m=±

综合①、②，符合题意的m为2+

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线

y x

=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°

后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=?

所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．

因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+

=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当

3BQ BA =时，10310x

±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当

13BQ BA =时，101310

x ±=

．解得

13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x +=±．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．

通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．

在Rt △BGH 中，sin 110∠=cos 110

∠=

①当

3BQ

=时，310BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =?∠=，cos 19BN BQ =?∠=．

当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．

②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41

(,0)3

Q -．

《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略）推论函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略）推论函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。

函数的对称性

函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

利用函数图像的对称性解题

利用函数图像的对称性解题【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点,而函数图像是函数性质的一种直观表现。函数图像的对称性,充分体现了数学的对称美,具有很好的数学价值。【关键词】函数；图像；对称性；辅助函数；二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此我们

可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）——正弦函数图象的对称性教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下）【教学目标】 1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式 x x sin )sin(=-π（∈x R ）与x x sin )2sin(-=-π（∈x R ）的几何意义，体会正弦函数的对称性. 2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线2 π =x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）. 【教学过程】一、复习引入 1.展示生活实例对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）. 2．复习对称概念

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合. 3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见右图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？ 4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道，诱导公式x x sin )sin(-=-（∈x R ），刻画了正弦曲线关于原点对称，而x x cos )cos(=-（∈x R ），刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. （一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线2 π =x 对称的研究. 1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π = x 的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见右图），在直线2 π =x 两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在2 π =x 左右对称取值时，正弦函数值相等.

函数的对称性82459

函数的对称性一、教学目标函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。二、举例分析例1．设()f x 是定义在R 上的函数，（1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称；（2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。思路分析：（1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

函数图象变换的四种方式一，平移变换。（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。（简记：左加右减，这里的a>0。）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。

正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴与对称中心 Revised on November 25, 2020

函数 )sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心新疆民丰县一中亚库普江·奥斯曼摘要：新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2 π π+ =k y ，对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。正弦型函数 )sin(?ω+=x A y 是由正弦函数x y sin =演变而成。

(完整word)高考专题函数对称性

函数对称性一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④

2020最新函数图像的对称问题(小结)

解填空题常用到的几个公式 1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2．在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22 122sin sin sin θθθ+= 3．设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ?=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4．设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= 函数图像的对称问题(小结) 函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。一、同一个函数图象关于直线的对称

正弦函数图象的对称轴与对称中心

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 函数)sin(?ω+=x A y 图象的对称轴与对称中心新疆民丰县一中亚库普江·奥斯曼摘要：新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以我的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是轴象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数)sin(?ω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。关键词：对称轴，对称中心，正弦型函数

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点折旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的“峰顶点”或“谷底点”，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 ∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为 2 π π+ =k y ，对称中心点为（0,πk ）,其中 Z k ∈。正弦型函数)sin(?ω+=x A y 是由正弦函数 x y sin =演变而成。一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出正弦型函数

函数图象的三种变换

. 函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图

点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．小结：

二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6

. 图象的关系．解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．解如下图所示．点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．小结：保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：

正弦函数图象的对称轴与对称中心

正弦函数图象的对称轴与对称中心 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形； )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈，则ω ?π22)12(-+= k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是（）（A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈，即62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3 2π=x ，故选（B ）。例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是解：由性质1知，令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈，即93ππ-=k x )(Z k ∈，所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形； )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得

函数图像的三种变换

函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、沿水平方向左右平行移动比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。函数图象的平移变化可以概括地总结为：（1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。（2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。（3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。（4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）分析把已知函数图象向右平移1个单位，即把其中自变量换成，得.

正弦函数的图像和性质

1 定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质编辑图像图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h

函数对称性

函数对称性一知识点 I 函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则________。 2、已知函数满足，则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于__________对称，图象关于

__________对称，。 7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（） A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R，则下列命题中，①若是偶函数，则图象关于y 轴对称；②若是偶函数，则图象关于直线对称；③若，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_______。

关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题胡春林指导老师：刘荣玄【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称一、函数自身的对称性的问题函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1．平移变换左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。（1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称（2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换（1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。（2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（01）到原来的1/a倍，纵坐标不变。

4．翻折变换（1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。（2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

高一数学函数的对称性知识点总结

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

2017最新函数图像的对称问题(小结)

则21MF F S ?=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4．设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= θ2sin 2P AB =则线段函数图像的对称问题(小结) 函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。一、同一个函数图象关于直线的对称