2010全国初中数学竞赛题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.若
20 10a b b c ==,,则
a b
b c
++的值为( ). (A )1121 (B )2111 (C )11021 (D )210
11
解:D 由题设得1
201210
111
1110
a a
b b
c b c b +++===
+++. 2.若实数a ,b 满足21
202
a a
b b -++=,则a 的取值范围是 ( ).
(A )a ≤2-
(D )2-≤a ≤4 解.C
因为b 20=
的判别式 2(
)a
?-=
a ≥4.
3.如图,在四边形
=BC =4-
CD =
则AD
(D )622+ AE ,DF 垂直于直线BC ,由已知可得
BE =AE ,CF =DF =,
于是 EF =4+.
过点A 作AG ⊥DF ,垂足为G .在Rt △ADG 中,根据勾股定理得
AD ==2+
4.在一列数123x x x ,,,……中,已知11=x ,且当k ≥2时,1121444k k k k x x -?--?????=+-- ?
??????????
(取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数,例如[]2.62=,[]0.20=),则2010x 等于( ).
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解:B
由11=x 和1121444k k k k x x -?--?
????=+-- ?????
??????
可得 11x =,22x =,33x =,44x =,
51x =,62x =,73x =,84x =,
……
因为2010=4×502+2,所以2010x =2.
5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1),B (2,-1),C (-2,-1),D (-1,1).y 轴上一点P (0,2)绕点A 旋转180°得点P 1,点P 1绕点B 旋转180°得点P 2,点P 2绕点C 旋转180°得点P 3,点P 3绕点D 旋转180°得点P 4,……,重复操作依次得到点P 1,P 2,…, 则点P 2010的坐标是( ).
(A )(2010,2) (B )(2010,2-) (C )(2012,2-) (D )(0,2)
解:B 由已知可以得到,点1P ,2P 的坐标分别为(2,0),(2,2-).
记222 )P a b (,
,其中222,2a b ==-. 根据对称关系,依次可以求得:
322(42)P a b --,--,422(2)P a b ++,4,522(2)P a b ---,,622(4)P a b +,.
令662(,)P a b ,同样可以求得,点10P 的坐标为(624,a b +),即10
P (2242,a b ?+), 由于2010=4?502+2,所以点2010P 的坐标为(2010,2-). 二、填空题
6.已知a =5-1,则2a 3+7a 2-2a -12 的值等于 .
解:0
由已知得 (a +1)2=5,所以a 2+2a =4,于是
2a 3+7a 2-2a -12=2a 3+4a 2+3a 2-2a -12=3a 2+6a -12=0.
7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t 分钟,货车追上了客车,则t = .
解:15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S 千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ,,(千米/分),并设货车经x 分钟追上客车,由题意得
()10a b S -=, ①
()152a c S -=, ② ()x b c S -=.
③ 由①②,得30b c S -=(),所以,x =30. 故 3010515t =--=(分)
. 8.
如图,在平面直角坐标系xOy 中,多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O (0,0),A (0,6),B (4,6),C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M (2,3),且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分,则直线l 的函数表达式是 .
如图,延长BC 交x 轴于点F ;连接OB ,AF ;连接CE ,DF ,且相交于点N . 由已知得点M (2,3)是OB ,AF 的中点,即点M 为矩形ABFO 的中心,所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分.又因为点N (5,2)是矩形CDEF 的中心,所以,
过点N (5,2)的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分.
于是,直线MN 即为所求的直线l .
(第8题
设直线l 的函数表达式为y kx b =+,则2352k b k b =??+=?+,
,
解得 13
11.
3k b ?=-????=??
,,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+.
9.如图,射线AM ,BN 都垂直于线段AB ,点E 为AM 上一点,过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ,BN 于点F ,C ,过点C 作AM 的垂线CD ,垂足为D .若CD =CF ,则
AE
AD
= . 解:
2
1
5- 见题图,设
FC =因为Rt △AFB ∽
又因为 FC =DC 210n
m
+-=, 解得
12n m =,或n m 又Rt △AFE ∽Rt △ 即AE
AD
=12. 10.对于i =2,3,…,k ,正整数n 除以i 所得的余数为i -1.若n 的最小值0n 满足
020003000n <<,则正整数k 的最小值为
.
解:9 因为1n +为2 3 k ,,,的倍数,所以n 的最小值0n 满足
[]012 3 n k += ,,,,
其中[]2 3 k ,,,表示2 3 k ,,,的最小公倍数.
由于[][]2 3 88402 3 92520 == ,,,,,,,, [][]2 3 1025202 3 1127720== ,,,,,,
,, 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9.
9题)
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边BC 上的高,点D 是线段PC 上的一点,BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接EF . 求证: tan EF
PAD BC
∠=
.
证明:如图,连接ED ,FD . 因为BE 和CF 都是直径,所以
ED ⊥BC , FD ⊥BC ,
因此D ,E ,F 三点共线. …………(5分) 连接AE ,AF ,则
AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠,
所以,△ABC ∽△AEF . …………(10分)
作AH ⊥EF ,垂足为H ,则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得
EF
AH
BC AP =, 从而 E F
P D
B C
A P
=
, 所以 t a n P D E F
PAD AP BC
∠==
. …………(20分)
12.如图,抛物线2
y ax bx =+(a >0)与双曲线k
y x
=
相交于点A ,B . 已知点A 的坐标为(1,4),点B 在第三象限内,且△AOB 的面积为3(O 为坐标原点).
(1)求实数a ,b ,k 的值;
(2)过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴,交抛物线于另一点C ,求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.
解:(1)因为点A (1,4)在双曲线k y x =
上,
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x
y 4
=.
设点B (t ,4
t
),0t <,AB 所在直线的函数表达式为y mx
=
44
m n mt n t
=+??
?=+??,
, 于是,直线12AOB S ?=解得2t =-,或t
因为点A ,B 4a ???13.
=,
…………(10分) x 轴,所以C (4-,4),于是CO =2=BO
CO
. 设抛物线2
y ax bx =+(a >0)与x 轴负半轴相交于点D , 则点D 的坐标为(3-,0).
因为∠COD =∠BOD =45?,所以∠COB =90?.
(i )将△BOA 绕点O 顺时针旋转90?,得到△1B OA '.这时,点B '(2-,2)是CO 的中点,点1A 的坐标为(4,1-).
(第12题)
延长1OA 到点1E ,使得1OE =12OA ,这时点1E (8,2-)是符合条件的点.
(ii )作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA ',得到点2A (1,4-);延长2OA 到点2E ,使得2OE =22OA ,这时点E 2(2,8-)是符合条件的点.
所以,点E 的坐标是(8,2-),或(2,8-). …………(20分)
13.求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .
.解:由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+,
所以(4)(2)p m m -+,由于p 是素数,故(4)p m -,或(2)p m +. ……(5分) (1)若(4)p m -,令4m kp -=,k 是正整数,于是2m kp +>,
2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>,
故2
3k <,从而1k =.
所以4221m p m p -=??
+=+?,,解得59.
p m =??=?,
…………(10分)
(2)若(2)p m +,令2m kp +=,k 是正整数. 当5p >时,有46(1)m kp kp p p k -=->-=-,
223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-,
故(1)3k k -<,从而1k =,或2.
由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数,所以2k ≠,从而1k =.
于是4212m p m p -=+??
+=?,
,
这不可能.
当5p =时,2
263m m -=,9m =;当3p =,2
229m m -=,无正整数解;当
2p =时,2218m m -=,无正整数解.
综上所述,所求素数p =5,正整数m =9. …………(20分)
14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
解:首先,如下61个数:11,1133+,11233+?,…,116033+?(即1991)满足题设条件. …………(5分)
另一方面,设12n a a a <<< 是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ,,,,因为
,
所以10分) 设133i i a a d =+,i =由12333()a a a ++所以1333a ,1115分)
133n n a a d -=
≤201011
6133
-<, 故n d ≤60. 所以,n ≤61.
综上所述,n 的最大值为61. …………(20分)
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.设1a ,则代数式32312612a a a +--的值为( >. .,0y >,且满足3y y x xy x x y ==,,则x y +的值为( >. . 1 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间:2018年4月1日上午9:30—11:30 一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分) 1.方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 解:选(A )。当x ≥0时,则有y -|y|=6,无解;当x<0时,则y +|y|=18,解得:y=9,此时x=-3. 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) (A )14 (B )16 (C )18 (D )20 解:选(B )。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种 3.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax , 02 =++a cx bx ,02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根,则ab c ca b bc a 2 22++的值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 解:选(D )。设这三条方程唯一公共实数根为t ,则20at bt c ++=,20bt ct a ++=,2 0ct at b ++= 三式相加得:2 ()(1)0a b c t t ++++=,因为210t t ++≠,所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=, 所以 ab c ca b bc a 222++=333 a b c abc ++=33abc abc = 4.已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相 交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经 过△ABC 的( ) (A )内心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心 解:选(B )。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ,由题意知:⊙O 与⊙F 且弧DmE =弧DnE ,所以∠EAB =∠ABE ,∠DAC =∠ACD , 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ,F 作AB ,AC 相交于点H ,则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD =∠ACD , 所以∠DHE+∠ACD =∠DHE+∠KHD =180°,即点H ,D ,C ,E 在同一个圆上, 也即点H 在⊙O 上,因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5.方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (,)y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )3 (D )无穷多 解:选(A )。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。 第六届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛七年级决赛试题 一、操作实践(本题20分) 现今,人们外出的机会越来越多,当随身携带的物品比较贵重时,通常会选择带密码设制功能的保险箱来放物品.某种手提保险箱带有可设制6位密码的密码锁,每一个旋钮上显示的数字依次为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个.现规定:只要一个旋钮上转出一个新数学就为一步,逆转或顺转都可以,已知该保险箱设定的密码为631208,现在显示的号码为080127,则要打开这个保险箱,至少需要旋转多少步? 二、观察判断(本题20分) 如图1,这是一个中国象棋盘,图中小方格都是相同的正方形(“界河”的宽等于小正 方形的边长),假设黑方只有一个“象”,它只能在1,2,3 ,4,5,6,7位置中的一个,红方有两个“相”,它们只能在8,9,10,11,12,13,14中的两个位置,问:这三个棋子(一个“象”和两个“相”)各在什么位置时,以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大? 三、归纳探究(本题20分) 在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例:作一个正方形,设每边长为,将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为的小正方形,如此连续 作几次,便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案(如图2(3)). 下列问题. (1)作一个正方形,设边长为(如图2(1)). (2)对正方形进行第1次分形:将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为的小正方 形,得到图2(2); (3)重复上述的作法,图2(3)经过第______次分形后得到图2(3)的图形; 图1 图2 (1)(2)(3) (4)观察探究:分形过程中,图形的周长有什么变化?面积有什么变化? 四、方案决策(本题20分) 某市百货商场举行了“梦想创业大比拼”活动,对梦想创业选手进行创业综合素质比拼.比赛分闭答题和实体店实践两部分进行,其中的一道闭答题目是这样的:图3是该商场去年下半年毛衣和衬衫的销售统计图,假如你是其中的一名创业选手,请根据这幅图,并结合实际生活分析:实线表示什么的销售情况?虚线表示什么的销售情况?根据去年下半年的销售情况,给本商场经理提供一些今年毛衣和衬衫的进货建议. 图3 五、材料作文(本题30分) “鸡兔同笼”类问题在我国民间流传很广,其中有一个这样的问题:“鸡兔同笼三十九,一百条腿地上走,有多少只鸡?多少只兔?”这道题的解法有: 1.口算加心算:如果每只兔子提起前面两条腿,那么每只鸡和兔子都只有两条腿站在地上,只鸡和兔在这时应该是条腿站在地上,比先前的条腿少了条,这些腿是兔子们提起来的.由于每只兔子提起来两条腿,现在共提起来条腿,所以知道兔子一定是只,那么鸡一定是只. 2.列一元一次方程求解:设鸡只,则共有鸡腿条,则有兔子腿条,则有兔子只,依题意得.解得. 即有鸡只,兔子只. 当然,还可以通过列二元一次方程组求解,今后将会学到. 通过阅读材料,你能得到什么启示?请结合方程学习写一篇500字左右的数学小短文(题目自拟). 六、数学作文(本题40分) 1.“0”的畅想曲 2.浅析字母表示数 3.学习立体图形改变认识 4.我经历的合作学习(侧重数学学科) 5.“学用杯”参赛感言 6.英国哲学家、数学家罗素认为:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,是一种冷而严肃的美.这种美不是投合我们天性脆弱的方面,这种美没有绘画或者音乐那样华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地.”请你以“数学中有美,美中有数学”为题写一篇作文. A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里) 1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( ) A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( ) 答案:C 解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A 解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案:B 解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴54 1 N ,即1 N ,2,3,4,5 5、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且 c b a b a b a ,则它的内角A 、B 的关系是 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题: 1.已知x ,y 为整数,且满足(1x +1y ) (1x 2+1y 2)=-23(1x 4-1y 4),则x +y 的可能的值有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知非负实数x ,y ,z 满足x +y +z =1,则t =2xy +yz +2xz 的最大值为( ) A .47 B .59 C .916 D .1225 3.在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,BE ⊥AC 于E ,交AD 于P ,已知BP =3,PE =1,则AE =( ) A .62 B .2 C .3 D .6 4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( ) A .12 B .25 C .23 D .34 5.设[t ]表示不超过实数t 的最大整数,令{t }=t -[t ].已知实数x 满足x 3+1x 3=18,则 {x }+{1x }=( ) A .12 B .3-5 C .12 (3-5) D .1 6.在△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AC =1,D 在BC 上,E 在AB 上,使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE =90° ,则BE 的长为( ) A .4-23 B .2-3 C .12 (3-1) D .3-1 二、填空题: 1.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =1, 1 a +b -c + 1 a +c -b + 1 b +c -a =1,则abc =__ 2.使得不等式917<n n +k <815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________. 3.已知P 为等腰△ABC 内一点,AB =BC ,∠BPC =108°,D 为AC 的中点,BD 与PC 交于点E ,如果点P 为△ABE 的内心,则∠P AC =________. 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.) 1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为(). (A)2c a-(B)22 a b -(C)a-(D)a 1(乙).如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为(). (A)2 -(B)2(C)2 (D) 22 2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y = x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为(). (A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x +2y的整数点坐标(x,y)的个数为(). (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b <<,那么 1121 a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是( ). (A )1 (B ) 214a - (C )12 (D )1 4 3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的 个数是( ). (A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则 0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p 5(乙).黑板上写有1 11123100 , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数 是( ). (A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一.选择题(5×7'=35') 1.对正整数n ,记n !=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ). A .0 B .1 C .3 D .5 【分析】5≥n 时,n !的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3. 本题选C . 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解,则t 的取值范围是( ). 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ,则5个整数解是15,16,17,18,19=x . 注意到15=x 时,只有4个整数解.所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ,本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根,则实数a 的值有( )个. A .1 B .2 C .3 D .4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ,下面先考虑增根: ⅰ)令0=x ,则4=a ,当4=a 时,0,1,022212===-x x x x (舍); ⅱ)令2=x ,则8=a ,当8=a 时,2,1,0422212=-==--x x x x (舍); 再考虑等根: ⅲ)对04222=-+-a x x ,270)4(84= →=--=?a a ,当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ,2 1,1,1-=x 共3个.本题选C . 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设a,b,c 的平均数为M ,a,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若a>b>c ,则M 与P 的大小关系是( ) (A )M =P ;(B )M >P ;(C )M <P ;(D )不确定。 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(ba 1,b>b 1, c>c 1,,则S 与S 1的大小关系一定是( )。 (A )S >S 1;(B )S <S 1;(C )S =S 1;(D )不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++=________。 8、如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,AB =8,BC = ∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数有_______个。 10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处,向两侧地面上的E 、D ;B 、F 点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1.计算=( ) (A 1 (B )1 (C (D )2 【答案】(B ) 【解析】原式=1)3)1-=-=,故选(B ). 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】(A ) 【解析】分三种情况进行讨论: (1)若21m -=,即1m =时,满足已知等式; (2)若21m -=-,即3m =时,()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式; (3)若21m -≠±,即1m ≠且3m ≠时,由已知,得22020 m m m -≠??--=?解得,1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-),故选(A ). 3.已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,15CAB ∠= ,ABC ∠的平分线交圆O 于 点D ,若CD =,则AB =( ) (A )2 (B (C ) (D )3 【答案】(A ) 【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ,则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径,得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中,∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选(A ). 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 【答案】(B ) 2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案 第一试 一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1.计算(B ) (A 1 (B )1 (C (D )2 2.满足等式() 22 21m m m ---=的所有实数m 的和为(A ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 3.已知AB 是圆O 的直径,C 为圆O 上一点,15CAB ∠=,ABC ∠的平分线交圆O 于点D , 若CD = AB=(A ) (A )2 (B (C )(D )3 4.不定方程2 3725170x xy x y +---=的全部正整数角(x,y )的组数为(B ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 5矩形ABCD 的边长AD=3,AB=2,E 为AB 的中点,F 在线段BC 上,且BF :FC=1:2, AF 分别与DE ,DB 交于点M ,N ,则MN=(C ) (A (B (C (D 6.设n 为正整数,若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数,则称n 为“好数”,那么, 所有“好数”之和为(B ) (A )33 (B )34 (C )2013 (D )2014 二、填空题(本题满分28分,每小题7分) 1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 4 2.将一个正方体的表面都染成红色,再切割成3 (2)n n >个相同的小正方体,若只有一面是 红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同,则n= 8 3.在ABC 中,60,75,10A C AB ∠=∠==,D ,E ,F 分别在AB ,BC ,CA 上,则DEF 4.如果实数,,x y z 满足()2 2 2 8x y z xy yz zx ++-++=,用A 表示,,x y y z z x ---的 最大值,则A 的最大值为 第二试(A ) 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 (A )12; (B )13; (C )14; (D )15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 2007年全国初中数学竞赛试题 班级 座号 姓名 成绩 一、选择题(共5题,每小题6分,共30分) 1、方程组12 6 x y x y ?+=??+=??的实数解的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2、口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个。现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) A .14 B .16 C .18 D .20 3、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程 2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根,则 222 a b c bc ca ab ++的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4、已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且AB 、AC 分别相交于点D 、E ,若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经过△ABC 的( ) A .内心 B .外心 C .重心 D .垂心 5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解(x ,y )的个数是( ) A .0 B .1 C .3 D .无穷多 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分) 6、如图,点A 、C 都在函数(0)y x x = >的图象上,点B 、D 都在x 轴上,且使得△OAB ,△BCD 都是等边三角形,则点D 的坐标为 . 7、如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,CA= 4,点P 是半圆弧AC 的中点,连接BP ,线段BP 把图形APCB (指半圆和三角形ABC 组成的图形)2019年全国初中数学竞赛试题及答案
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