八年级上册 勾股定理

D'

C

B

A

D'

C

B

A 第一章 勾股定理

【一】勾股定理的验证与证明

1.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？

2.如图，是由四个全等的Rt △拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？

3.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED ≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上.根据此图证明勾股定理.

4.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。

5.如图，直角三角形斜边长c 的长度为7cm ，则图中所有正方

为 。

8.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径做半圆，其中两个半圆的面积===

321S 2S 8

25

S π，则π， 9.同学们已清楚美丽的勾股树的作法．现将勾股树一段中的正方形全部换成等边三角形，则得右图，若图中最大

的直角三角形的斜边为2cm ，则如图中所有的等边三角形的面积之和为 cm 2

10.如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1+S 2=S 3图形个数有（ ）

11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接

CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’

D ’的面积证明勾股定理。

a

12.如图1是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家

赵爽的《勾股圆方图》由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大

正方形．

（1）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短

边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是；

（2）若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长

一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．

13.我国古代数学家得出的赵爽弦图是又是个全等的直角三角形和一个小正方形铺成的大正方形。若小正方形与大正方形的面积比为1:13，则直角三角形较短直角边a与较长直角边b的比值是

14.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形

的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、

S3 ，则 S1 ＋S2 ＋S3 ＋S4= .

15.（16年七中第一次月考）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，

并拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

技巧：等积法

【二】利用勾股定理求边长

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）

A.26

B.18

C.20

D.21

2.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）

A.6

B.7

C.8

D.9

3. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值有（）.

A. 1个

B. 2 个

C. 3个

D. 无数多个

4.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）

A.5

B. 6

C.7

D.5或7

5．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10

6.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝

7.有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 cm

8..在直角三角形ABC中，∠C=90°，周长为120，斜边与一条直角边之比为13:5，则这个三角形的三边长分别为（1）直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为，斜边上的高为__________.

（2）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．

（3）已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.

（4）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是

9.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10

10.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）

A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm

11.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）

A.a=2，b=3, c=4

B.a=7, b=24, c=25

C.a=6, b=8, c=10

D.a=3, b=4, c=5

12.要从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）. A.10m B.11m C.12m D.13m

13．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）

A 直角三角形

B 锐角三角形

C 钝角三角形

D 不能确定 14. 图中，每个小正方形的边长为1，ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式（ ） A.b c a << B.c b a << C.b a c << D.a b c << 【三】勾股定理在非直角三角形中的应用

1.若△ABC 中，cm AC cm AB 15,13==，高AD=12,则BC 的长为（ ）

A 、14

B 、4

C 、14或4

D 、以上都不对

2．一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（ ）

A. 13，12，12 B ．12，12，8 C ．13，10，12 D ．5，8，4

3.等腰三角形ABC 的面积为12㎝2

，底上的高AD ＝3㎝，则它的周长为 ㎝. 4.已知等腰三角形腰长为10，底边长为16，它的面积为

5.一个三角形的三边长分别是15cm,20cm,25cm,则这个三角形最长边上的高为 cm 。

6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 D.32

7.一个等腰三角形的面积为300，底边上的高为15，则它的腰长为 7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积．

8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长

【四】利用勾股定理求不规则图形的面积

1.如图，每个小正方形的边长都是1，求图中格点四边形ABCD 的面积.

2.如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，且∠ABC ＝90°，求四边形ABCD 的面积.

3.四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形ABCD 的面积.

4.（16年七中第一次月考）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，已知AB=9cm ，BC=12cm,AD=36cm,DC=39cm,求四边形ABCD 的面积。

D

C

B

A

A D C

B

A

5.已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD

的面积．

5，CD=5cm,DA=4cm，∠B=30°，求四边形

6.如图，已知在四边形ABCD中，AB=2cm，BC=cm

ABCD的面积。

7.如图是一个零件的示意图，按规定这个零件中的∠A和∠DBC都应该为直角，工人师傅已在图上标注了此零件个

边的尺寸，判断这个零件符合要求吗？

8.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B

点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，

则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2．

【五】勾股定理的实际运用

1.小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉

开 6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.

A. 8 m

B. 10 m

C. 12 m

D. 14 m

2.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m的水底，竹竿高出水面0.5米，把竹竿的顶端拉向岸

边，竹竿和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为

3.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.

A. 10 m

B. 11 m

C. 12 m

D. 13 m

4.一架长250m的梯子斜靠在墙上，这时梯子的底端与墙的底端距离为70cm,如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯

子的底端将向外滑动________cm。

5.如图，钓鱼竿AC长4m，露在水面上的鱼线BC长2.4米，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC’

的位置，此时露在水面上的鱼线B’C’长为3.2米，则此时鱼线移动的水平距离BB’的长为________m 6.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的

水平距离为2米，问这里水深是________m.

7.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6

米处，那么这根旗杆被吹断裂前米。

8.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一根长10m的缆绳，这根缆绳在地面上的固定点距离电线杆底部多远？

9.如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯宽3米。则购地毯至少需要元。

10.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需要使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子需要 m。

11.如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管摞在一起，则其最高点到地面的距离是

12.如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是。

13.如图，是一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在大门相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度

15.要制作底边BC的长为40cm，顶点A到BC的距离与BC的长的比为3:8的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至

少需要 cm

16.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为㎞.

17.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一

只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵

树高多少米？

18.如图,有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和

伙伴在一起？

19.我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？

20.如图，铁路上A 、B 两点相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15㎞，CB ＝10㎞，现在要在铁路AB 上修建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应修建在离A 站多少千米处？

21.如图，某沿海开放城市A 接到台风报警，在该市正南方向390km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=150km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

22.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？

23.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？

24.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状为如图所示的某工厂，厂门上部为半圆形，下部为长方形，已知长方形的宽为2米，高为2.3米，半圆形的直径与门的宽相等．问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

25.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

26.（16年七中第一次月考）易拉罐的形状是圆柱，其底面直径为7cm ，将6个这样的易拉罐如图堆放，求6个易拉罐所占的宽度与高度。

【六】利用勾股定理求最值 1.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm

2.如图，长方形的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C 的距离为5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？

3.如图，一高8cm ，底面半径为cm 4

π

，一只从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程 是 cm

4.一个圆柱体的底面周长为240cm ，高AB 为50cm ，BC 是上底面的直径。一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，最短路程是

5.如图，圆柱底面半径为

cm 2

π

，

高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A 、B 在

同一母线上，用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为多少厘米？

6. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点

C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.

7.如图所示，有一高4㎝，底面直径为6㎝的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A ，它想吃到圆锥底部B 点处的食物，需爬行的最短路程是多少？

8.如图，一个牧童在小河的南边4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

9.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

10.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC 为边作正方形ACDE ，连接

BE ，则BE 的长为

11.如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽AD 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，爬过木块到达C 处需要走的最短路程是 米．

【七】勾股定理逆定理及其应用 1.下列说法正确的是（ ）

A.△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=3:4:5，则△ABC 为直角三角形

B.△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c=5:12:13，则△ABC 为直角三角形

C.若一个三角形的三个角的比为2:3:5，则这个三角形为直角三角形

D.若一个三角形的三边满足关系，则这个三角形是直角三角形

E. 若一个三角形的三边比为2:3:5，则这个三角形是直角三角形

F.若一个三角形的三个角满足关系∠A=∠B+∠C,则这个三角形是直角三角形

G.已知a,b,c 是三角形的三边，则2

2

2

c b a =+ H.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方。 I.在Rt △ABC 中，∠C=90°，所以2

2

2

c b a =+ J.在Rt △ABC 中，∠B=90°，所以2

2

2

c b a =+

2.以下列数据为三角形三边，能够成直角三角形的是（ ） A.0.26cm,0.24cm,0.1cm B.cm 5

1

,cm 41,

cm 31 C.2cm,3cm,4cm D.4cm ，7cm ，9cm 3.下列各组线段中的三个长度：①9,12,15,；②7,24,25，③2225,4,3；④3a ，4a ，5a(a ＞0);⑤2222n m ,mn 2,n m +-（m ，n 为正整数，且m ＞n ）

，其中可构成直角三角形的有

4.下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）

A.a=8,b=15,c=17

B.a=9,b=40,c=41

C.a=9,b=12,c=15

D.a:b:c=2:3:4

5.观察下面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑥组勾股数 .

6.已知在△ABC 中，∠A,∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c ，以下分别给出三边长度，请通过计算判断该三角形是否为直角三角形？如果是，请指出哪一个角是直角。 （1）2c ,2

5

b ,23a ===

（2）25c ,16b ,9a === 7.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

8.三角形的三边 a 、b 、c 满足关系：（a 十b ）2

=c 2

＋2ab ，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B 、锐角三角形 C ．钝角三角形 D 条件不足，不能确定

7

24

25

207

15

2024

25

7

25

20

24

25

7

202415

(A)

(B)

(C)

(D)

9.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2

+338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ） A.338 B.24 C.26 D.30

10.△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 3+b 3+a 2b+ab 2-ac 2-bc 2

=0，则△ABC 的形状是（ ） A 、直角三角形；B 、等边三角形；C 、等腰三角形；D 、等腰直角三角形。

11.已知a,b,c 是三角形的三边，且满足0225c 30c 9b 2)12a (22=+-+-+-，则△ABC 是（ ） A. 以a 为斜边的直角三角形 B. 非直角三角形 C. 以c 为斜边的直角三角形 D. 以b 为斜边的直角三角形

12.若△ABC 的三边长a,b,c 满足0)c b a )(b a (222=++-，则△ABC 是 三角形

13.如果Rt △的两直角边长分别为n 2

－1，2n （n>1），那么它的斜边长是

14.如图所示的正方形网格，△ABC 的各个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC （填“是”

16.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么5a 、5b 、5c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是6、8，那么斜边必是10；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（b ＞a=c ）,那么1:2:1c :b :a 2

22=。其中正确的是

17.若一个三角形的三边满足222

c a b -=，则这个三角形是 .

18.△ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 . 19.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .

20.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形. 21.已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形

22.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB=4，CE=

1

4

BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.

23.在△ABC 中，BC=m 2-n 2，AC=2mn ，AB=m 2+n 2

(m ＞n). 求证：△ABC 是直角三角形.

【八】折叠问题

1.如图一块直角三角形的纸片，两直角边AC=3cm ，BC=4cm 。现将直角边AC 沿直角边AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 ，

2.已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE

的面积为（ ）cm 2

. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

3.矩形纸片ABCD 的边长为AB=6，AD=3，将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，求CF 的长度和阴影部分的面积。

4.如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD,则AP 的长为

10.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C '点，那么C AB '△的面积是

如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的点B '

处，点A 的对应点为点A ',且3='C B ，求MN 的长。

如图，在长方形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在C '处，C B ' 交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）