全等三角形章末重难点题型分类练习

专题01 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】

【考点1 利用全等三角形的性质求角】

【例1】（2019春?临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）

A．30°B．35° C．40° D．50°

【变式1-1】（2018秋?绍兴期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC的度数是（）

A．55°B．60°C．65°D．70°

【变式1-2】（2018秋?厦门期末）如图，点F，C在BE上，△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，AC，DF交于点M，则∠AMF等于（）

A．2∠B B．2∠ACB C．∠A+∠D D．∠B+∠ACB

【变式1-3】（2018秋?桐梓县校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点B′在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

【考点2 全等三角形的判定条件】

【例2】（2019春?沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（）

A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E

【变式2-1】（2019秋?潘集区期中）在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：

（1）AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF

（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F（4）AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF，

其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

【变式2-2】（2018春?渝中区校级期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）

A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF

【变式2-3】（2018秋?鄂尔多斯期中）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（）

A．BD＝CE B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE

【考点3 全等三角形判定的应用】

【例3】（2019春?郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B 两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．

【变式3-1】（2019春?峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？

【变式3-2】（2019春?槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

【变式3-3】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．

【考点4 利用AAS证明三角形全等】

【方法点拨】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)

【例4】（2018秋?仙游县期中）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．并证明结论．

【变式4-1】（2018春?揭西县期末）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD ≌△ACE．

【变式4-2】（2018秋?杭州期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．

【变式4-3】（2018?雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．

【考点5 利用SAS证明三角形全等】

【方法点拨】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)

【例5】（2018春?金山区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，试说明△ACE≌△DCB 的理由．

【变式5-1】（2018春?黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．

【变式5-2】（2018秋?仪征市校级月考）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE，说明△ABC与△DEF全等的理由．

【变式5-3】（2019秋?东莞市校级月考）如图：△ABC和△EAD中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE．求证：△ABD≌△AEC．

【考点6 利用ASA证明三角形全等】

【方法点拨】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)

【例6】（2019秋?利辛县期末）如图，已知AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE ≌△ACD．

【变式6-1】（2018?双柏县二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；

【变式6-2】（2019?陕西模拟）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．

【变式6-3】（2019秋?乐清市校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，求证：△BDH≌△ADC．

【考点7 利用SSS证明三角形全等】

【方法点拨】三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

【例7】（2019春?渝中区校级月考）如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：△ABE≌△CDF．

【变式7-1】（2019秋?扶余县校级月考）如图，在△ABC中，AD＝AE，BE＝CD，AB＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求证：∠BAE＝∠CAD．

【变式7-2】（2019秋?保亭县校级月考）如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？

【变式7-3】（2019秋?蓬江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE⊥AB．

【考点8 利用HL证明三角形全等】

【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

【例8】（2018秋?思明区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求证：△ABD≌△BAC；

【变式8-1】（2019秋?睢宁县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN 全等？并证明你的结论．

【变式8-2】（2019秋?合浦县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．

【变式8-3】（2019春?醴陵市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．

求证：△ABE≌△ADF．

【考点9 全等三角形的判定与性质综合】

【例9】（2019?南岸区）如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．

（1）求证：△AGE≌△AFC；

（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD．

【变式9-1】（2019?福州模拟）（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．

【变式9-2】（2018秋?天台县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b，

（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）

（2）如图2，点D在△ABC内部时，直接写出BE的长．（用含a，b的式子表示）

【变式9-3】（2019春?道外区期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在BC边上，∠AED＝90°

（1）求证：∠BAE＝∠CED；

（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；

（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．

【考点10 动点问题中的全等三角形应用】

【例10】（2019春?平川区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理

由．

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【变式10-1】（2019春?永新县期末）△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D、E分别是AB，AC上的不动点．且BD+CE＝BC，点P是BC上的一动点．

（1）当PC＝CE时（如图1），求∠DPE的度数；

（2）若PC＝BD时（如图2），求∠DPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；

若不相同，请说明理由．

【变式10-2】（2019春?宝安区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E 从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．

（1）试证明：AD∥BC；

（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？

并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．

【变式10-3】（2018秋?十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．

（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．

①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．