数列部分常用方法总结

2015/11/22

数列通项的求法

一、公式法

1 运用等差（等比）数列的通项公式.

2 已知数列}{n a 前n 项和n S ，则???≥-==-211

n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）

例1已知数列{a n }的前n 和n S 满足,

1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。

解得121-=+n n S ，当n n n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时

所以??

?≥==)

2(2

)

1(3

n n a n n 二、1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和）

????→解决方法

累加法

例2在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：

121(2)n n a a n n --=-≥

2...

312312-=-=-=--n a a a a a a n n 上述1n -个等式相加可得：

211n a a n -=- 2n a n ∴=

练习：1、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 2、已知数列{}n a 满足11,a =()1

2,n n n a a n --=+≥求通项公式n a

3、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式 4. 已知数列{}n a 满足 11,a =且

)

1(11n +=

-+n n a a n ，则求这个数列的通项公式三.1()n n a f n a +=?（()f n 可以求积）

????→解决方法

累积法

例3在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：原式可化为n

11......

n n n n n n n

a a

---=+-=

112321

n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=???? 12

32111

43n n n n n n --=

??+-21

n =+ 又1a 也满足上式；2

n a n ∴=+ *()n N ∈

练习：1、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。 2、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3、已知数列{}n a 满足11,a =12n n n a a +=，求通项公式n a

四．1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）

?????→解决方法

待定常数法

可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1

t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例4在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+

1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。 1231n n a -∴=?-

练习：1、在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。 2、已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。

3、已知数列}{n a 满足112,2(21)n n a a a n +==+-，求通项n a

4.已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

五．1n

n n c a a pa d

+?=+（0c p d ??≠）

????→解决方法

倒数法

例5已知14a =，1221

n n a a a +?=

+，求n a 。

解析：两边取倒数得：

11112n n a a +-=，设1

,n n

b a =则1112n n b b +-=；

令11()2n n b t b t ++=

+；展开后得，2t =-；121

n n b b +-∴=-； {}2n b ∴-是以1117

224

b a -=-=-为首项，12为公比的等比数列。

71242n n b -????

∴-=- ???

????

；即1

171242n n a -????

-=- ???????

，得12

227n n n a ++=-；练习：1、设数列}{n a 满足,21=a 1,1

n n a a a +=

+求.n a 2、在数列{}n a 中，112,3

n n a a a a +==

+，求数列{}n a 的通项公式. 3、在数列{}n a 中，1121,23

n n a a a a +==

+，求数列{}n a 的通项公式.

证明是等差（等比）数列的方法

一、利用等差（等比）数列的定义

在数列{}n a 中，若1n n a a d --=（d 为常数）或

n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：

例1（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11

214

n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，

记21

1234

n n b a n -=-=，，，，…．

（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）213211111

44228a a a a a a =+

=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113

2416

a a a ==+，

所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=-

=-=-=-=-=- ? ?????

，，，猜想：{}n b 是公比为

的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242

n n n n n b a a a b n *++-??=-

=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a -，公比为1

的等比数列．

评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()

n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．

解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相

减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，

当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+，又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．

故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而11

n n a a ++=+．所以数列{1}n a +是等比数列．

评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到

1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．

注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，

前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有

n a q a -==（常数0≠）

；②n *∈N 时，有1

n n

a q a +==（常数0≠）

．二．运用等差或等比中项性质

212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ?是等比数列，

这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．

例3（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A B ，为常数．（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．

把1

2n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248

A B A B +=-??+=-?，

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即

11582208n n n na S S n ++--=--，

①

又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-，即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．

④

④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=

=-=，又215a a -=，

因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．

评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．

例4（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等

差数列，11n n n b a b ++，，

成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，

，且1n a +=，

2)n a n ∴=≥．

2n b ∴=

由此可得=

2)n =≥．

∴

数列为等差数列．

评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，

通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．

前n 项和的求法

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(61

2++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n 6、例1 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公

式）

＝x

x x n

--1)1(＝

11)

1(21--n ＝1－n 21

例2设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=

n n S n ， )2)(1(2

++=n n S n （利用常用公式）

∴ 1

)32()(++=

n n

S n S n f ＝64342++n n n ＝

n 64341+

+＝

)8(12+-

n 50

1≤

∴ 当

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

题1.等比数列

的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－１，则

＝

题2．若12

+22

+…+(n -1)2

=an 3

+bn 2

+cn ，则a = ,b = ,c = .

解：原式=

答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例3求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通

项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错

位）

①－②得

n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=--

∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

例4求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①

－

②

得

1432222222222222)211(+-+???++++=-n n n n

（错位相减）

2212+---

=n n n ∴ 12

4-+-=n n n S

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例5求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明：设n

n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-

（反序）

又由m

n n

m n C C -=可得 n n

n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得

n n

n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=-

（反序相加）

∴ n n n S 2)1(?+=

例6求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②

（反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①

②

得

（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1 已知函数

（1）证明：

；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例8求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

k k k

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

（分组）

＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2

)

2()1(2++n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）11

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则（7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8

）n a =

例9求数列

???++???++,1

1,,3

21,

n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项） 1

212

11+++???+++

n n S n （裂项求

和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n 例10在数列{a n }中，11211++???++++=n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 211211n

n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

22+-=?=n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和）

＝)111(8+-

n ＝ 1

8+n n 例11 求证：

sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设

cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）

cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S （裂项求和）

＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝

1cot 1sin 1?＝

1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

练习题1.

答案：.

练习题2。 =

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

例12求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos n n --= （找特

殊性质项）

∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合

并求和）

＝ 0

例13数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特

殊性质项）

∴

S 2002

＝

2002321a a a a +???+++

（合并求和）

＝

)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

例14在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特

殊性质项）

和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)

log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=

（合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

练习、求和：

练习题1 设，则

＝___

答案：2

练习题2 ．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1

·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( )

A .1

B .-1

C .0

D .2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =

答案：A

练习题 3 1002

-992

+982

-972

+…+22

-12

的值是

A .5000

B .5050

C .10100

D .20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项

揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例15 求

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111

-=????=???k

k k

个个（找通项及特征）

∴

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(9

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和）

＝

)1111(91

)10101010(911

321 个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1n n --+ 例16已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值.

解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通

项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分

组）

＝)4

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂

项）

∴ ∑∑∑∞

=∞

=++-+++-+=-+1111)41

1(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、

裂项求和）

＝4

18)4131(4?

++? ＝3

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

高考数学易错点总结精编版

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高考数学易错点总结收集整理了数学的一些易考易错点，帮助复习到现阶段的你做一次集中排查。在看这些易错点之前，先说一下这些易错点的具体使用步骤与方法。下面已列出高考数学易考易错知识点，请认真逐条阅读，每读一条，请在脑海中寻找该点对应的知识及相应题型。第1 步如以下第一条：指数、对数函数的限制条件你注意了吗（真数大于零，底数大于零且不等于1）它们的函数值分布情况是如何的当我们看完这一条后，脑中应该想到指、对函数的标准方程，对应的图像，可以的话在草稿纸上写一写、画一画！再想一想这类问题常考题型：如给出几个函数在一个图中的图像，判断字母a,b,c,d的大小等。第2 步逐条去看列出的易错点，将自己不清楚和确实自己易错的点记录下来。第3 步去寻一本专题复习书，仔细查看你记录下的易错点对应的知识，给出的例题怎样避开这些错误的，标注、总结、自我强调。第4 步再去寻一本专题练习的书（上面那本专题复习书上也许就有哦），实战检验一下你是否真正掌握了这些易错点。 ↓ · 高考数学易考易错点·

1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化是否保证等价转化 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身”进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)在集合运算时是否注意空集和全集 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定义域了吗? 8.映射的概念你了解吗对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素) 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论) 10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗是否能利用数列性质解题

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

数列必会常见题型归纳

数列必会基础题型题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； 2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 5在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8． 6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 7、已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形． B ）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、 {}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5 5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（） 4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b =（） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .. 6、已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝．

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

数列常见题型分析与方法总结

数列常见题型分析与做法一、等差、等比数列的概念与性质 1、已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比，求n a ；（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a 2 1101322 = =?=+-∴q q q q 或2 11= ∴≠q q 1)2 1 (64-?=n n a 故二、求数列的通项类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+2 11，求n a 答案：n n a n 12 3112 1- = - += ∴ 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 答案：n a n 32= ∴ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 提示：)3(231+=++n n a a 答案：321-=+n n a . 类型4 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例：已知数列{}n a 前n 项和2 2 14---=n n n a S . （1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2 2 14-- -=n n n a S 得：1 112 14-++- -=n n n a S 于是) 2 12 1( )(1 2 11--++- +-=-n n n n n n a a S S 所以1 112 1 -+++ -=n n n n a a a n n n a a 2 12 11+ = ?+.

平面向量知识点易错点归纳定稿版

平面向量知识点易错点归纳精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算

减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b 的差三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量 a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时， λa的方向与a的方向相同；当 λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋ μa；λ(a＋b)＝ λa＋λb 3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12. 3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．

数列通项公式的方法总结

专题一：求解通项公式（1）观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。（2）定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 （3）公式法：已知n S （即12 () n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{1 1 ,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥。例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a } 的前n 项和为n S 满足1 S ＞1且6n S = (1)(2) n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

数列解题技巧

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第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

数列知识点总结及题型归纳---含答案(新)

数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；例：1.2. 3.题型三 a ，A 例：1） A ．2.A ．题型四（1（2（3（4题型五1122 n n 221(),(2 为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2 )(2)()1(1n a a n a a S m n m n n --+=+=

例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( ) 12 -- ．．B A C.1 D.2 4.5. ） 6.7.8. 9. 1011n 项和，求T n 12. 13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和； (3)已知3151740,a a S +=求

数列解题技巧归纳总结_打印

数列解题技巧归纳总结基础知识： 1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项． 2．数列的项的性质：① 有序性；② 确定性；③ 可重复性． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性；②周期性． 5．数列的分类： ①按项的数量分：有穷数列、无穷数列； ②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…）（或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

(完整版)数列常见题型总结经典(超级经典)

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3 ,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a

1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如 )(1n f a a n n =+型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+= =n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中1111,1-+-= =n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。 2、求数列)2(1232,11 1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

【高考数学一轮复习易错知识点总结】

【高考数学一轮复习易错知识点总结】一、集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。 9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.实系数一元二次方程有实数解转化时，你是否注意到：当时，方程有解不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二、不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：一正;二定;三等。 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用根轴法解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键，注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是。 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。 23.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意同号可倒即a》b》0，a 三、数列 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在已知，求的问题中，你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目

数列解题技巧

数列解题技巧 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

数列知识点总结和题型归纳总结

高三总复习----数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

数列知识点总结及题型归纳

数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116 a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为（填“递增数列”或