中考数学易错题专题训练-平行四边形练习题附答案解析
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(1)、动手操作:
如图①:将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么的度数为 .
(2)、观察发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图②);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.
(3)、实践与运用:
将矩形纸片ABCD按如下步骤操作:将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC 边交于点F;将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F 重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ(如图④),求∠MNF的大
小.
【答案】(1)125°;(2)同意;(3)60°
【解析】
试题分析:(1)根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°,根据折叠重合的角相等,得∠BEF=∠DEF=55°,根据平行线的性质得到∠EFC=125°,再根据折叠的性质得到
∠EFC′=∠EFC=125°;
(2)根据第一次折叠,得∠BAD=∠CAD;根据第二次折叠,得EF垂直平分AD,根据等角的余角相等,得∠AEG=∠AFG,则△AEF是等腰三角形;
(3)由题意得出:∠NMF=∠AMN=∠MNF,MF=NF,由对称性可知,MF=PF,进而得出△MNF≌△MPF,得出3∠MNF=180°求出即可.
试题解析:(1)、∵在直角三角形ABE中,∠ABE=20°,
∴∠AEB=70°,
∴∠BED=110°,
根据折叠重合的角相等,得∠BEF=∠DEF=55°.
∵AD∥BC,
∴∠EFC=125°,
再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°.;
(2)、同意,如图,设AD与EF交于点G
由折叠知,AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.
由折叠知,∠AGE=∠DGE=90°,
所以∠AGE=∠AGF=90°,
所以∠AEF=∠AFE.
所以AE=AF,
即△AEF为等腰三角形.
(3)、由题意得出:∠NMF=∠AMN=∠MNF,
∴MF=NF,
由折叠可知,MF=PF,
∴NF=PF,
而由题意得出:MP=MN,
又∵MF=MF,
∴△MNF≌△MPF,
∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,
即3∠MNF=180°,
∴∠MNF=60°.
考点:1.折叠的性质;2.等边三角形的性质;3.全等三角形的判定和性质;4.等腰三角形的判定
2.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)存在,理由见解析;
(3)不成立.理由如下见解析.
【解析】
试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;
(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.
试题解析:(1)∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°.
(2)存在,
理由:若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
∴AM AB
CD DM
=,
设AM=x,则x a
a b x =
-
,
整理得:x2﹣bx+a2=0,
∵b>2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2>0,
∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,
∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,
(3)不成立.
理由:若∠BMC=90°,
由(2)可知x2﹣bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,
∴△=b2﹣4a2<0,
∴方程没有实数根,
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.
考点:1、相似三角形的判定与性质;2、根的判别式;3、矩形的性质
3.如图①,四边形ABCD 是知形,1,2AB BC ==,点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合),点F 是线段BA 延长线上一动点,连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==,已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.
(1)求图②中y 与x 的函数表达式; (2)求证:DE DF ⊥;
(3)是否存在x 的值,使得DEG △是等腰三角形?如果存在,求出x 的值;如果不存在,说明理由
【答案】(1)y =﹣2x +4(0<x <2);(2)见解析;(3)存在,x =5455-32. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式; (2)证明△CDE ∽△ADF ,得∠ADF =∠CDE ,可得结论; (3)分三种情况:
①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG ,
②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H , ③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED , 分别列方程计算可得结论. 【详解】 (1)设y =kx +b ,
由图象得:当x =1时,y =2,当x =0时,y =4,
代入得:24k b b +=??=?,得2
4k b =-??=?
,
∴y =﹣2x +4(0<x <2); (2)∵BE =x ,BC =2 ∴CE =2﹣x , ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-, ∴
CE CD
AF AD
=, ∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠C =∠DAF =90°, ∴△CDE ∽△ADF , ∴∠ADF =∠CDE ,
∴∠ADF +∠EDG =∠CDE +∠EDG =90°, ∴DE ⊥DF ;
(3)假设存在x 的值,使得△DEG 是等腰三角形, ①若DE =DG ,则∠DGE =∠DEG , ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AD ∥BC ,∠B =90°, ∴∠DGE =∠GEB , ∴∠DEG =∠BEG , 在△DEF 和△BEF 中,
FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△DEF ≌△BEF (AAS ), ∴DE =BE =x ,CE =2﹣x ,
∴在Rt △CDE 中,由勾股定理得:1+(2﹣x )2=x 2, x
=
54
; ②若DE =EG ,如图①,作EH ∥CD ,交AD 于H ,
∵AD ∥BC ,EH ∥CD , ∴四边形CDHE 是平行四边形, ∴∠C =90°,
∴四边形CDHE 是矩形,
∴EH =CD =1,DH =CE =2﹣x ,EH ⊥DG , ∴HG =DH =2﹣x , ∴AG =2x ﹣2, ∵EH ∥CD ,DC ∥AB , ∴EH ∥AF , ∴△EHG ∽△FAG , ∴
EH HG
AF AG
=,
∴
124222
x
x x -=--,
∴125522
x x =
=
(舍), ③若DG =EG ,则∠GDE =∠GED , ∵AD ∥BC , ∴∠GDE =∠DEC , ∴∠GED =∠DEC , ∵∠C =∠EDF =90°, ∴△CDE ∽△DFE , ∴
CE DE CD DF =, ∵△CDE ∽△ADF , ∴1
2DE CD DF AD ==, ∴
1
2
CE CD =, ∴2﹣x =
12,x =32,
综上,x =54或32. 【点睛】
本题是四边形的综合题,主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,三角形相似和全等的性质和判定,矩形和平行四边形的性质和判定,勾股定理和逆定理等知识,运用相似三角形的性质是解决本题的关键.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线DE 交x 轴于点E (30,0),交y 轴于点D (0,
40),直线AB :y =
1
3
x +5交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交直线DE 于点P ,过点E 作EF ⊥x 轴交直线AB 于点F ,以EF 为一边向右作正方形EFGH . (1)求边EF 的长;
(2)将正方形EFGH 沿射线FB 个单位的速度匀速平移,得到正方形E 1F 1G 1H 1,在平移过程中边F 1G 1始终与y 轴垂直,设平移的时间为t 秒(t >0). ①当点F 1移动到点B 时,求t 的值;
②当G 1,H 1两点中有一点移动到直线DE 上时,请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1与△APE 重叠部分的面积.
【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】
【分析】
(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-4
3
x+40,可
求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;
(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;
②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE
上时,在Rt△F'NF中,NF
NF'
=
1
3
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
t=4,S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
PK
F K'
=
1
3
,
PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
1539
t
t
-
-+
=
4
3
,t=7,S=15×(15-7)=120.
【详解】
(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),
∴
300
40
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
4
3
40
k
b
?
=-
?
?
?=
?
,
∴y=﹣4
3
x+40,
直线AB与直线DE的交点P(21,12),
由题意知F(30,15),
∴EF=15;
(2)①易求B(0,5),
∴BF=10,
∴当点F1移动到点B时,t=1010=10;
②当点H 运动到直线DE 上时,
F 点移动到F'的距离是10t , 在Rt △F'NF 中,
NF NF '=1
3
, ∴FN =t ,F'N =3t , ∵MH'=FN =t ,
EM =NG'=15﹣F'N =15﹣3t , 在Rt △DMH'中,
4
3MH EM '=, ∴
4
1533t t =-, ∴t =4,
∴EM =3,MH'=4,
∴S =
1451023(12)11248?+?=; 当点G 运动到直线DE 上时,
F 点移动到F'10, ∵PF =10 ∴PF'10t ﹣10, 在Rt △F'PK 中,
1
3
PK F K =',
∴PK=t﹣3,F'K=3t﹣9,
在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
1539
t
t
-
-+
=
4
3
,
∴t=7,
∴S=15×(15﹣7)=120.
【点睛】
本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.
5.(问题情境)在△ABC中,AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点,过点P作
PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.当P在BC边上时(如图1),求证:PD+PE=CF.
证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.(不要证明)
(变式探究)(1)当点P在CB延长线上时,其余条件不变(如图3),试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD =16,CF=6,求PG+PH的值.
(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线l1:y=-4
3
x+8与直线l2:y=﹣2x+8相交于点
A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为2.求点P的坐标.
【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)【解析】
【变式探究】
连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;
【结论运用】
过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;
【迁移拓展】
分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】
变式探究:连接AP,如图3:
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ACP﹣S△ABP,
∴1
2AB?CF=
1
2
AC?PE﹣
1
2
AB?PD.
∵AB=AC,
∴CF=PD﹣PE;
结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.
∵AD=16,CF=6,
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,
由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.
∴DF=5.
∵∠C=90°,
∴DC2222
106
DF CF
-=-8.
∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.
∴四边形EQCD是长方形.
∴EQ=DC=4.
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB.
∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB.
∴BE=BF,
由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.
∴PG+PH=8.
∴PG+PH的值为8;
迁移拓展:如图,
由题意得:A(0,8),B(6,0),C(﹣4,0)∴AB22
10,BC=10.
68
∴AB=BC,
(1)由结论得:P1D1+P1E1=OA=8
∵P1D1=1=2,
∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6
又点P1在直线l2上,
∴y=2x+8=6,
∴x=﹣1,
即点P1的坐标为(﹣1,6);
(2)由结论得:P2E2﹣P2D2=OA=8
∵P2D2=2,
∴P2E2=10 即点P1的纵坐标为10
又点P1在直线l2上,
∴y=2x+8=10,
∴x=1,
即点P1的坐标为(1,10)
【点睛】
本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,利用面积法列出等式是解决问题的关键.
6.如图所示,矩形ABCD中,点E在CB的延长线上,使CE=AC,连接AE,点F是AE的中点,连接BF、DF,求证:BF⊥DF.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD,进而求证△AFM≌△EFB,得AM=BE,
FB=FM,即可求得BC+BE=AD+AM,进而求得BD=BM,根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF.
【详解】
延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD.
∵四边形ABCD是矩形,∴MD∥BC,∴∠AMF=∠EBF,∠E=∠MAF,又FA=FE,
∴△AFM≌△EFB,∴AM=BE,FB=FM.
∵矩形ABCD中,∴AC=BD,AD=BC,∴BC+BE=AD+AM,即CE=MD.
∵CE=AC,∴AC=CE= BD =DM.
∵FB=FM,∴BF⊥DF.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和对应边相等的性质,等腰三角形三线合一的性质,本题中求证DB=DM是解题的关键.
7.阅读下列材料:
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料,完成下列问题:
(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形.
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形
(2)命题:“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题(填“真”或“假”).
(3)如图,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若点C为平面上一点,AC为凸四边形ABCD 的和谐线,且AB=BC,请求出∠ABC的度数.
【答案】(1) C ;(2)∠ABC的度数为60°或90°或150°.
【解析】
试题分析:(1)根据菱形的性质和和谐四边形定义,直接得出结论.
(2)根据和谐四边形定义,分AD=CD,AD=AC,AC=DC讨论即可.
(1)根据和谐四边形定义,平行四边形,矩形,等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形,菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够.故选C.
(2)∵等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°,∴AB=AD.
∵AC为凸四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,
∴分三种情况讨论:
若AD=CD,如图1,则凸四边形ABCD是正方形,∠ABC=90°;
若AD=AC,如图 2,则AB=AC=BC,△ABC是等边三角形,∠ABC=60°;
若AC=DC,如图 3,则可求∠ABC=150°.
考点:1.新定义;2.菱形的性质;3.正方形的判定和性质;4.等边三角形的判定和性质;5.分类思想的应用.
8.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)
【解析】
试题分析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出
GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得
x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.
试题解析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.
理由:连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴A、C关于对角线BD对称,
∵点G在BD上,
∴GA=GC,
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四边形EGFC是矩形,
∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,
∴AG2=GF2+GE2.
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.
∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,
∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,
∴∠AMN=30°,
∴AM=BM=2x,MN=x,
在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,
∴1=x2+(2x+x)2,
解得x=,
∴BN=,
∴BG=BN÷cos30°=.
考点:1、正方形的性质,2、矩形的判定和性质,3、勾股定理,4、直角三角形30度的性质
9.已知点O是△ABC内任意一点,连接OA并延长到E,使得AE=OA,以OB,OC为邻边作?OBFC,连接OF与BC交于点H,再连接EF.
(1)如图1,若△ABC为等边三角形,求证:①EF⊥BC;②EF=BC;
(2)如图2,若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边),猜想(1)中的两个结论是否成立?若成立,直接写出结论即可;若不成立,请你直接写出你的猜想结果;
(3)如图3,若△ABC是等腰三角形,且AB=AC=kBC,请你直接写出EF与BC之间的数量关系.
【答案】(1)见解析;
(2)EF⊥BC仍然成立;
(3)EF=BC
【解析】
试题分析:(1)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等边三角形的性质
得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可;
(2)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可;
(3)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC,OH=HF,再由等腰三角形的性质和
AB=AC=kBC得到AB=BC,AH⊥BC,根据勾股定理得到AH=BC,即可.
试题解析:(1)连接AH,如图1,
∵四边形OBFC是平行四边形,
∴BH=HC=BC,OH=HF,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,AH⊥BC,
在Rt△ABH中,AH2=AB2﹣BH2,
∴AH==BC,
∵OA=AE,OH=HF,
∴AH是△OEF的中位线,
∴AH=EF,AH∥EF,
∴EF⊥BC,BC=EF,
∴EF⊥BC,EF=BC;
(2)EF⊥BC仍然成立,EF=BC,如图2,
∵四边形OBFC是平行四边形,
∴BH=HC=BC,OH=HF,
∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC,AH⊥BC,
在Rt△ABH中,AH2=AB2﹣BH2=(BH)2﹣BH2=BH2,
∴AH=BH=BC,
∵OA=AE,OH=HF,
∴AH是△OEF的中位线,
∴AH=EF,AH∥EF,
∴EF⊥BC,BC=EF,
∴EF⊥BC,EF=BC;
(3)如图3,
∵四边形OBFC是平行四边形,
∴BH=HC=BC,OH=HF,
∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=kBC,AH⊥BC,
在Rt△ABH中,AH2=AB2﹣BH2=(kBC)2﹣(BC)2=(k2-)BC2,∴AH=BH=BC,
∵OA=AE,OH=HF,
∴AH是△OEF的中位线,
∴AH=EF,AH∥EF,
∴EF⊥BC,BC=EF,
∴EF=BC.
考点:四边形综合题.
10.如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(3,3).将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式;
(4)在(3)的条件下,直线PE上是否存在点M,使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP.理由见解析(3)y=x﹣3.(4)、.
【解析】
试题分析:(1)由AO=AD,AG=AG,根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,判断出△AOG≌△ADG即可.(2)首先根据三角形全等的判定方法,判断出
△ADP≌△ABP,再结合△AOG≌△ADG,可得∠DAP=∠BAP,∠1=∠DAG;然后根据
∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,求出∠PAG的度数;最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可.(3)首先根据△AOG≌△ADG,判断出∠AGO=∠AGD;然后根据
∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,判断出当∠1=∠2时,∠AGO=∠AGD=∠PGC,而
∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,求出∠1=∠2=30°;最后确定出P、G两点坐标,即可判断出直线PE的解析式.
(4)根据题意,分两种情况:①当点M在x轴的负半轴上时;②当点M在EP的延长线上时;根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形,求出M点坐标是多少即可.
试题解析:(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中,(HL)∴△AOG≌△ADG.
(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中,∴△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP;
∵△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG;又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°,∴∠DAG+∠DAP=45°,∵∠PAG=∠DAG+∠DAP,∴∠PAG=45°;∵△AOG≌△ADG,∴DG=OG,∵△ADP≌△ABP,∴DP=BP,∴PG=DG+DP=OG+BP.(3)解:∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD,又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠PGC,又∵∠AGO=∠AGD,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°,
∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°;在Rt△AOG中,∵AO=3,∴OG=AOtan30°=3×=,
∴G点坐标为(,0),CG=3﹣,在Rt△PCG中,PC===3(﹣
1),
∴P点坐标为:(3,3﹣3 ),设直线PE的解析式为:y=kx+b,则
,
解得:,∴直线PE的解析式为y=x﹣3.
(4)①如图1,当点M在x轴的负半轴上时,,∵AG=MG,点A坐标为(0,3),
∴点M坐标为(0,﹣3).
②如图2,当点M在EP的延长线上时,,由(3),可得∠AGO=∠PGC=60°,
∴EP与AB的交点M,满足AG=MG,∵A点的横坐标是0,G点横坐标为,
∴M的横坐标是2,纵坐标是3,∴点M坐标为(2,3).综上,可得点M坐标为(0,﹣3)或(2,3).
考点:几何变换综合题.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案解析(1)
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
六安数学三角形填空选择易错题(Word版 含答案)
六安数学三角形填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6. 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可. 【详解】 如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t . ∵△APE 的面积等于6,∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键. 2.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形.
【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形, 故答案为:10. 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏. 3.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____. 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出 △ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 解:
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
平行四边形(易错题、重点题)
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12 MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??= A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线,①正确; ∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°,②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确 在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a 在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确 故选:D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( ) A .4 B .3 C .6 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果. 【详解】 解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F , ∴DF=DE , 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6 B .8 C 5 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A =x , 则∠B =2x ,∠C =3x , 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°, 解得x =30°,