中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

一、平行四边形

1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．

（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）

（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．

①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）

【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，

【解析】

试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；

（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得

EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

③同②的方法可证．

试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，

∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，

∵OE⊥AB，

∴OE=1

2 AB，

∴AB=2OE，

（2）①AF+BF=2OE

证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠BHE=∠BHO=90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE=∠OEF=90°

∴四边形EFBH为矩形

∴BF=EH，EF=BH

∵四边形ABCD为正方形

∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE=∠OBH

∴△AEO≌△OHB（AAS）

∴AE=OH，OE=BH

∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．

②AF﹣BF=2OE

证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H

∴∠EHB=90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°

∴四边形HBFE为矩形

∴BF=HE，EF=BH

∵四边形ABCD是正方形

∴OA=OB，∠AOB=90°

∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH

∴∠AOE=∠OBH

∴△AOE≌△OBH（AAS）

∴AE=OH，OE=BH，

∴AF﹣BF

=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE

③BF﹣AF=2OE，

如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，

∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，

∴∠AOE+∠AOG=90°．

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOG+∠BOG=90°，

∴∠AOE=∠BOG．

∵OG⊥BF，OE⊥AE，

∴∠AEO=∠BGO=90°．

∴△AOE≌△BOG（AAS），

∴OE=OG，AE=BG，

∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，

∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，

∴BF﹣AF=2OE．

2．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；

（2）存在，理由见解析;

（3）不成立．理由如下见解析.

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴AM AB CD DM

=，

设AM=x，则x a

a b x =

，

整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，