综合除法与余数定理(含答案)-
综合除法与余数定理
数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
1、综合除法
在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可
以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如
下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数
乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。
例1 计算（）
分析把除式变成形式用综合除法，
解：，
∴商式为，余式为-38
说明用综合除法计算时要注意：
（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；
（2）除式要变成的形式（b可以是负数）
例2用综合除法计算
（1）；
（2）
解：（1）
∴商式为，余式为-3
（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。
说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以
，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理
若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则
当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。
余数定理多项式除以()所得的余数等于。
特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。
由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式
的值。
余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算
复杂时也可以用综合法求。
例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，
它还可被整除，求。
解：设由题意得
解得 a=3,b=1,c=2。
∴
说明因能被整除，所以是的因式，于是可设
，再由，，列出a,b的方程求解。
例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。
分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断
能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
解：令=
当a=b时，，故能被a-b整除；
当a=-b时，
故当n为偶数时，能被a+b整除，当n为奇数时，不能被a+b整
除，余式为.
例5 试确定a和b，使能被整除。
解：由于，因此，若设，
假如能被整除，则x+1和x+2必是的因式，因此，当x=-1，
，即
①
当x=-2时，即
②
由①，②联立，则得时，能被整除。
练习
A 级
1、当多项式除以多项式时，其余式为（）。
（A）2 （B）-2 （C）2x-2 （D）-2x-2
2、多项除以多项式x-3所得余数为（）。
（A）-71 （B）71 （C）-59 （C）59
3、若多项式含有因式x-1和x-2，则mn=_________。
4、求（除以的商式和余式。
B 级
5、设，以1991除x，所得余数是（）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
6、已知，则值为（）。
（A）30 （B）-30 （C）32 （D）-32
7、如果，则_______。
8、已知是二元二次式的一个因式，则
a+b= 。
9、已知能被整除，试求a,b的值。
参考答案
【同步达纲练习】
A 级
1、（C）。
2、（D），提示：利用余数定理。
3、-100，提示：利用余数定理，得从而m=-5，n=20。
4、商式=，余式=
B 级
5、（B），提示：
6、（C），提示：含，得
即。
7、5，提示，
=。
8、-3，提示：含x=y=1，则原式为零，即。
9、含因能整除，因此由余数定理，当
时，即由此得
a=11，b=-6。
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
因式分解定理
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
汇编除法原理
汇编除法原理 2010-03-24 17:26 多字节二进制除法算法2009-3-27 8:17:00 二进制的除法本质是通过重复减法运算实现 即通过重复”从被除数的高位依次取出每一位, 被取出的数据加上上次的减法结果*2, 然后减去除数”的处理, 求出除法结果 假设:16位除以16位 被除数 R0R1 (占用2字节) 除数 R2R3 (占用2字节) 商 R0R1 (占用2字 节) ******************* 这里需要说明, 此程序执行 结束以后, 商的结果保存在被除数中 ************ 余数 R4R5 (占用2字节) 移位次数 R6 (占用1字节) ******************* 这里需要说明, 其数值根据 被除数的位数定义, 这里为32 ************* 操作流程如下: a) 余数清零 b) 判断除数是否为0, 如果为0, 是错误, 不再往下执行. c) 设定移位次数 d) 被除数左移1位, 溢出的最高位保存在进位标志C中, 再把余数左移1位, 把C(被除数溢出的最高位)放入余数的最低位 e) 余数与除数比较大小(余数减去除数): 余数≧ 除数(减法结果为正)时, 被除数的最低位, 赋值 1 余数 < 除数(减法结果为负时, 恢复到减法前的余数) 被除数的最低位, 赋值 f) 定移位次数递减 g) 直到移位次数为0, 否则重复d) ~ f) 假设32位除以16位 被除数R3R2R1R0 除数R5R4
商也在R3R2R1R0中 计算开始的时候R7R6R3R2R1R0整体左移一位 然后余数R7R6与除数比较如果大于除数则r0最低位置一依次循环32次 其他的多位除法类似但是余数位数和除数位数要一致 ; (r3r2r1r0) / (r5r4), 余数(r7r6) div_4b: mov r7,#0 mov r6,#0 push cnt mov cnt,#32 clr c div_32_loop: mov a,r0 rlc a mov r0,a mov a,r1 rlc a mov r1,a mov a,r2 rlc a mov r2,a mov a,r3 rlc a mov r3,a mov a,r6 rlc a mov r6,a mov a,r7 rlc a mov r7,a clr c mov a,r6 subb a,r4 mov b,a mov a,r7
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
7.综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理 概念 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商 三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数 之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的 商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部 分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
初中数学竞赛余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
综合除法与余数定理修订版
综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
综合除法与余数定理含答案
综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
余数性质及同余定理(B级)
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
余式定理 因式定理
余式定理 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 因式定理 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的， 可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式 为对称多项式直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系 数即可 3意义
综合除法(1)
综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
最新综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
DSP除法原理
设累加器为8位,且除法运算为10除以3,除的过程就是除数逐步移位并与被除数比较的过程，在每一步进行减法运算，如果能减则将位插入商中． １，除数的最低有效位对齐被除数的最高有效位． ００００１０１０ －０００１１０００ １１１１００１０ ２．由于减支结果为负，放弃减法结果，将被除数左移一位，再减． ０００１０１００ －０００１１０００ １１１１１１００ ３．结果仍为负，放弃减法结果，被除数左移一位，再减． ００１０１０００ －０００１１０００ ０００１００００ ４，结果为正，将减法结果左移一位后加１，作最后一次减． ００１００００１ －０００１１０００ ００００１００１ ５．结果为正，将结果左移一位加１得最后结果．高４位代表余数４位表示商． ０００１００１１ 即商为００１１＝３，余数为０００１＝１ 以上除法的计算机实现过程，在ＤＳＰ中，我们有专用的用于除法的ＳＵＢＣ指令，当然我们也可以用乘以除数的倒数来计算，在４０位的ＤＳＰ中，有ＳＵＢＣ的理解方法同上，一看就可以明白的，希望这一文章对大家有所帮助的
C54x DSP 定点除法 当|被除数|<|除数|时，将|被除数|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号 当|被除数|≥|除数|时，将|被除数|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号 从实现的过程分析，当|被除数|<|除数|时，移位相减开始时|被除数|和|除数|的小数点位置正好相差一位第一次相减后在累加器A的O位最低位存进的数值正是商的最高位，该位为商的小数点后第一位在15次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为15的小数当|被除数|≥|除数|时，在第l6次相减时，|被除数|位于A的高16位(30～15位)上，小数点位在A的15位后，和|除数|的小数点位正好对齐，则此次相减后在A的0位加上的值正好是商的最低有效整数位，相当于十进制数中的个位所以在16次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为0的整数以此分析，当商的精确值不是整数，或者超出Q 值15所表示的范围时，此算法所得结果就达不到16位数据所能表达的精确度
余式定理
余式定理与因式定理 例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。 (2)设1537935699357)(2 345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。 类1. 15)(2 4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。 类2. 求=-?-?+?-?-2001246012161258127123 3 4 5 。 类3. 以1+x 除5102610019992000 ++-+x x x x 的余式为 。 类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322 -+x x 之 余式为25+x ，则)()15()()3(2 x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。 类5. 已之3 221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求 )()(x xg x h +除以1+x 的余式。 Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。 例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。 (2)多项式)(x f 除以2-x ，322 ++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以 )32)(2(2++-x x x 之余式。 类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。 类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。 类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12 ++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以 )1)(2(2++-x x x 之余式。 Ans: 1. 12-x ，2. 12++x x ，3.222 ++x x 。 例3. 多项式)(x f 以2)32(+x 及2 )2(-x 除之余式分别为9978-x ，6+x （deg 4)(≥x f ）： (1)今以)2()32(-?+x x 除)(x f 之余式为 。 (2)今以)2()32(2 -+x x 除) (x f
2-2 综合除法、大除法.讲义学生版
板块一 综合除法、多项式除法 记号()f x 关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-． 这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =?+-=，同样地，有 ()2020033f =?+-=-；()()()2 121132f -=?-+--=-等等． 用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： ()()()()f x g x q x r x =?+ （1） 其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数． 如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有 ()()()f x x a q x r =-?+ （2） 当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 2231 23573672 5 x x x x x x x x -++-+---- 所以，商式为31x -，余数为5-． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 3 5 72 6 2 3 1 5 +----- 商式为31x -，余数为5-． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． 例题精讲 综合除法和余数定理
整除和带余除法
第四编 整除和带余除法
§1 自 然 数
1．1 自然数
① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中 一个小于另一个，或者大于另一个。而且，它们必有其中一个关系。这条性 质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：
1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在 这个集合中，一定有一个自然数最小；
2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且 个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符 合数学严格的关于自然数的公理化定义。做题时需要注意题目中的自然数是何种规定， 例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不 包括 0。（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。 解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。 解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使
2k m 2k1 。
（1.1）
解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，
n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,
可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记
作 k ，则（1.1）成立。否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律
① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然
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有余数的除法单元备课
有余数的除法单元备课 一、教材的地位 “有余数的除法”这部分内容是表内除法知识的延伸和扩展，在教材内容的安排上，一方面注重结合具体的情境，加强有余数的除法意义的认识；另一方面重视联系学生的已有经验和知识，学习有余数除法的计算。有余数的除法要有机地体现与表内除法的联系。“有余数的除法”这部分内容还是今后学习一位数除多位数除法的重要基础，因此这部分的知识具有承上启下的作用，必须切实学好。 二、教学内容 1、有余数的除法的意义和计算。 2、解决问题。 三、教学目标 1、使学生结合具体情景，感知有余数除法的意义。 2、使学生能够比较熟练地口算和笔算有余数除法。 3、使学生初步学会有余数除法解决生活中的简单问题。 四、编排特点 1、在具体生动的情景中感受有余数除法的价值。 2、内容涉及有一定的弹性，留给学生活动和思考的空间。 五、教学建议 1、重视引导学生在具体情境中理解数学知识。 2、加强观察、操作活动。 3、重视培养学生的应用意识和解决问题的能力。 六、如何把握“有余数的除法”这一单元的教学层次？ 本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次：第一层次是借助分实物的过程，学习除法竖式的写法，掌握余数比除数小的原理。 第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法算式。第三层次是利用有余数除法解决实际问题。下面作一具体说明。 第一层次，利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法。重点教学除法竖式的写法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系。 1．如果平均分后正好分完，利用已学知识“表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是第一次接触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法。 2．如果平均分后还有多余的，根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式，重点掌握余数的含义，即分到不能再分时剩下的数量。 需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“分”得到的，而不是计算出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面。