第16讲 综合除法和余数定理练习题
第16讲 综合除法和余数定理练习题
姓名
一、填空题
1．4()371f x x x =-+除以2x -，余数为 ；
2．435324x x x ++-除以2
1x +，商式为 ，余数为 ；
3．432x x ax x b ++++除以21x x ++整除，则a = ，b = ； 4．多项式()f x 除以+2x 所得的余数为1，除以+3x 所得的余数为1-。()f x 除以(+2)(3)x x +所得的余式为 。
二、计算题
5．用综合除法计算32(211)(1)x x x x -+-÷-
6．用综合除法计算432
(67324)(21)x x x x x ----÷+
三、解答题
7．试确定a b 、的值，使多项式432()3220f x x x ax x b =-+++被(+1)(2)x x -整除。
8．432()+464f x x x px qx r =+++被32()33g x x x x =+--整除，求()r p q +。
9．554x qx r -+被2()x c -整除，q r 、满足的关系是什么？
10．已知32()232f x x x x =+++除以整系数多项式()g x ，所得商及余式均为()h x ，()h x 不为常数，求()g x 与()h x 。
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
《有余数的除法》单元测试卷
一、我会填。（每空1分，共16分） 1.一个数除以8有余数，余数最大是（），最小是（）。 2.（）÷6=7 (3) 3.29里面最多有（）个7，40里面最多有（）个9。 4.有23本日记本，平均分给5个同学，每个同学分得（）本，再添（）本就能再分给1个同学了。 5.53个同学到公园去划船，每6个人坐一条船，需要（）条船；每8个人坐一条 船，需要（）条船。 6.（）里最大能填几？ （）×5＜48 （）×7＜43 （）×8＜49 （）×9＜73 ( )×6＜37 7×（）＜35 7.……依次排列下去，第49个图形是（）（画图形）。 二、我会判。（对的打“√”，错的打“×”）（10分） 1.40÷5=7……5( )
2.如果△÷8=□……○，那么○最大是9。（） 3.在31÷（）=( )……7中，除数和商只能是8和3。( ) 4.55里面最多有8个7，还余1。（） 5.在有余数的除法算式中，余数总比除数大。（） 三、我会选。（将正确答案的序号填在括号里）（10分） 1.51÷（）=7……2,除数是（） ① 9 ② 6 ③ 7 2.○÷□=8……7,除数不可能是（） ① 7 ② 8 ③ 9 3.有38个皮球，最少拿出（）个，剩下的就能平均分给7个班了。 ① 3 ② 6 ③ 4 4. ……依次摆下去，第24个是（）色。 ①红②黄③白 5.要把32个杨桃装在盘子中，每盘最多装5个，至少要（）个盘子才能全部装完。 ① 5 ② 6 ③ 7 四、我会算。（共26分） 1.口算我最棒。（8分） 2.列竖式计算。（12分）
3.脱式计算。（6分） 五、我会改。（将错误的竖式改正过来）（6分） 六、解决问题。（共32分） 1.一根长跳绳长8米，用一根长38米的绳子可以做多少根长跳绳？还剩多少米？（5分） 2.(2017·重庆大渡口区二年级期末测试)仓库要运走57箱牛奶，每次能运9箱。至少要多少次才能运完？（6分） 3.同学们按照“三女二男”的顺序排队，由女孩开始从前往后数。第28个是男生还是女生？第44个呢？(7分)
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
五年级奥数题：带余数除法
带余数除法作业 一、填空题 1．除107后，余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放
有余数的除法单元测试题
有余数的除法单元测试题 一、认真填空。（第7题9分，其余每空1分，共24分） 1、80÷4表示把（）平均分成（）份，也就是（）里有4个（）。 2、200÷4商的末尾有（）个0. 3、○÷□＝5……3，□最小是（），○最小是（）。 4、一个两位数除以8，如果有余数，其中最大的余数是（），最小的余数是（）。 5、水果店运来40千克苹果，如果每4千克装在一个篮子里，需要（）个篮子才能装 完这些苹果。如果是50千克苹果，需要（）个篮子才能装完这些苹果。 6、在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。 54÷6○10 68÷2○58÷2 72÷6○72÷4 99÷9○11 7、按要求将下面式子分类。 24÷7 37÷6 74÷9 17÷2 38÷7 51÷7 49÷8 二、慎重选择。（每小题3分，共15分） 1、右面除法算式中，商的个位上是0的算式是（）。 A.86÷3 B.76÷6 C.54÷5 2、●■◆▲●■◆▲●■◆▲……按图形依次排列，第22个图形是（）。 A.▲ B. ■ C.◆ 3、除数是一位数，商是9，余数是8，被除数是（）。 A.98 B.89 C.80 4、三（1）班35名同学在水上公园坐船游玩，每条船最多能够乘坐8人，至少需要乘坐 （）条船。 A.6 B.5 C.4 5、如果□5÷6，商的最高位是1，那么，□里最小应该填（）。 A.5 B.4 C.6 三、准确判断。（对的画“√”，错的画“×”）（每小题2分，共10分） 1、32÷3，商的个位上是0. （） 2、64÷21＝3……1，准确的验算方法是1×3＋21 （） 3、从72里连续减去8个9，正好减完。（） 4、□□÷□＝12……1，除数共有7种可能。（） 5、36÷3÷2与36÷6的结果相等。（） 四、我是计算小能手。（共27分） 1、直接写得数。（6分） 60÷3＝ 72÷3＝ 46÷2＝ 38÷5＝ 72÷8＝ 53÷5＝ 2、列竖式计算。（带＊号的要验算）(9分) 84÷7＝＊62÷3＝ ＊78÷7＝ 59÷8＝
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
7.综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
有余数的除法测试题及标准答案
有余数的除法 一、先圈一圈，再填空。（20分） 1. 11棵，每2棵一份，分成了（）份，还剩（）棵。 11÷2＝□（份）……□（棵） 2. 13块，平均分成4份，每份（）块，还剩（）块。 13÷4＝□（块）……□（块） 3. 14只小鸭，每（）只一份，有（）份，还剩（）只。 15÷□＝□（份）……□（只）14只小鸭，平均分成（）份，每份有（）只，还剩（）只。 15÷□＝□（只）……□（只） 二、看图填算式。（8分） 三、用线连一连。（14分）
四、用竖式计算。（18分） 23÷3＝ 50÷6＝ 67÷9＝45÷7＝56÷8＝34÷5＝五、想一想，填一填。（4分） ÷ ＝……6 2.÷9＝…… 除数最小是（）余数最大是（）六、（6分） ＝4 (3)
———————— ————————— ———————— 七、解决问题。（30 1. 8 元 ÷ ＝ （本）…… 2. ÷箱）……只） 3. 把这些书分给3个小朋友，平均每个 小朋友分到多少本，还剩几本？ ÷＝ ）…… ） 4. 本
÷ ） …… ） 最多能安装成 辆车。 5. 小红有15元钱,如果只买小盒牛奶,可以 大盒 小盒 买多少盒?如果只买大盒牛奶,最多可以买 多少盒? 只买小盒: ÷ ） 只买大盒: ÷ ）…… ） 只买大盒牛奶,最多可以买 盒。 《有余数的除法》检测题参考答案 一、先圈一圈，再填空。（20分） 1. 5，1；5，1 2. 3，1；3，1 3. 4，3，3；4，3，3（答案不唯一） 每盒7元 每盒3元 1000g 200g
二、看图填算式。 3，2；5，2 三、用线连一连。 略、 四、用竖式计算。 7......2，8......2，7......4，6......3，7，6 (4) 五、想一想，填一填。 1. 7，8 六、 19÷4=……3，23÷5=4……3，27÷6=4……3（答案不唯一） 七、解决问题。 1. 20，8，2，4； 2. 40，6，6，4； 3. 25，3，8本，1本； 4. 30，4，7辆，2个；最多能安装7辆车； 5. 15，3，5盒；15，7，2盒，1元； 最多可以买2盒 新课标第一网
初中数学竞赛余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
综合除法与余数定理修订版
综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
五年级奥数带余数除法
带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。
最新有余数的除法测试题及答案
有余数的除法测试题及答案 一、先圈一圈，再填空.（20分） 1. 11棵，每2棵一份，分成了（）份，还剩（）棵. 11÷2＝□（份）……□（棵） 2. 13块，平均分成4份，每份（）块，还剩（）块. 13÷4＝□（块）……□（块）3. 14只小鸭，每（）只一份，有（）份，还剩（）只. 15÷□＝□（份）……□（只）14只小鸭，平均分成（）份，每份有（）只，还剩（）只. 15÷□＝□（只）……□（只） 二、看图填算式.（8分）
三、用线连一连.（14分） 四、用竖式计算.（18分） 23÷3＝ 50÷6＝ 67÷9＝ 45÷7＝56÷8＝34÷5＝ 五、想一想，填一填.（4分） ÷＝……6 2.÷9＝……
除数最小是（ ） 余数最大是（ ） 六、（6分） ＝4 (3) ———————— ————————— ———————— 七、解决问题.（30 1. 8元 ÷＝ （本）…… 2. ÷箱）……只） 3. 把这些书分给3个小朋友，平均每个 小朋友分到多少本，还剩几本？ 本
÷ ＝ ）…… ） 4. ÷ ）…… ） 最多能安装成 辆车. 5. 小红有15元钱,如果只买小盒牛奶,可以 大盒 小盒 买多少盒?如果只买大盒牛奶,最多可以买 多少盒? 只买小盒: ÷ ） 只买大盒: ÷ ）…… ） 只买大盒牛奶,最多可以买 盒. 每盒7元 每盒3元 1000g 200g
《有余数的除法》检测题参考答案 一、先圈一圈，再填空.（20分） 1. 5，1；5，1 2. 3，1；3，1 3. 4，3，3；4，3，3（答案不唯一） 二、看图填算式. 3，2；5，2 三、用线连一连. 略、 四、用竖式计算. 7......2，8......2，7......4，6......3，7，6 (4) 五、想一想，填一填. 1. 7，8 六、 19÷4=……3，23÷5=4……3，27÷6=4……3（答案不唯一） 七、解决问题. 1. 20，8，2，4； 2. 40，6，6，4； 3. 25，3，8本，1本； 4.30，4，7辆，2个；最多能安装7辆车； 5. 15，3，5盒；15，7，2盒，1元；
综合除法与余数定理含答案
综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
综合除法(1)
综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
(完整版)二年级数学有余数除法练习题
有余数除法的练习 一、填空题： 1.除法算式13÷2＝6……1中13是（），2是（），6是（），1是（）。 2.在□÷7中，如果有余数，余数最大是（），最小是（）。 3.49里面最多有（）个9，余数是（）。 4.在计算有余数的除法时，（）要比（）小。 5.在一个余数是8的除法算式中，除数最小是（）。 6.40里面最多有（）个9。 7.□里最大能填几？ □×4＜37 8×□＜70 54＞8×□ □×6＜39 9×□＜65 48＞5×□ 8.在有余数的除法中，被除数＝（）。 9.□÷8＝5……△，当△最大时，□应该是（）。 10.19根小棒可以摆（）个正方形，还剩（）根。 11.一个数除以9，如果有余数，余数可能是( )，其中最大的余数是( )，最小的余数是( )。 12.一个除法算式中，如果余数是5，除数可能是（）。 13.（）÷6=7、、、、、、3 （)÷7=9、、、、、、2 （）÷4=8、、、、、、3 （）÷9=5、、、、、8 14.用21根长度相等的小棒，可以摆出（）个正方形，还剩（）根。 15.两个数相除，余数是6，除数最小是（）。 16.35个小朋友坐船，每条船坐8人，至少要（）条船。 17.○□□△○□□△○□□△……第25个图形是（）。 18.○▲□○▲□○▲□○……第23个图形是（）。 二、判断：（对的在括号里面画“○”，错的画“●”） 1.在有余数的除法中，余数不能比除数大。（） 2.49除以8，商5余9。（） 3.48÷7和60÷9的商相同，余数也相同。（） 4.妈妈将一些糖果平均分给8个小朋友，每人分到9块，还剩9块。（）
5.一只35元的玩具熊可以换7辆8元的小汽车。（） 6.在一个有余数的除法算式中，除数是7，商是8，余数最大是 7.（） 7.39÷5 = 8······1 （） 三、列式计算： 1.被除数是57，除数是7，商几余几？ 2.39里面有几个6，还余几？ 3.除数是9，被除数是62，商是几？余数是几？ 四、开放题： （）÷9=8……（） 要使余数最小，被除数是（）。算式： 要使余数最大，被除数是（）。算式： 五、找规律 1.2、4、（）、8、（）、（）、14、16 2.1、5、9、13、（）、（）、25 3.1、4、7、（）、（）、16、（） 4.用 36米长的绳子，做8条彩带，每条长（）米。剩（）米。 六、用数学： 1.曾老师在布置教室，把36条彩带挂在教室，每几条一组？可供选择的方案如下所示： （1）每3条一组（2）每4条一组（3）每5条一组（4）每6条一组（5）每7条一组（6）每8条一组（7）每9条一组 正好分完的方案：＿＿＿＿＿＿＿还有剩余的方案：＿＿＿＿＿＿＿＿ 你还知道的正好分完方案有：＿＿＿＿＿＿＿。 2.食堂买来40袋面粉。如果每天吃6袋，可以吃几天？还剩几袋？如果每天吃7袋呢？
有余数的除法练习题
有余数的除法练习题 一、填空。 1、有14朵花，每个花瓶里插（）朵，插了（）瓶，还剩（）朵。 14÷□= □（瓶）……□（朵） 有14朵花，平均插在（）个花瓶，每个花瓶里插（）朵，还剩（）朵。 14÷□= □（朵）……□（朵） 2、7个桃，每盘放3个，放了（）盘，还剩（）个。 □÷□＝□（盘）……□（个）3、☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 11个☆，每3个一份，分成了（）份，还剩（）个。11÷3＝□……□ 4、13只小猫，平均分成4份，每份（）只，还剩（）只。13÷4＝□……□5．□÷□＝□……6 除数最小是（）□÷9＝□……□余数最大是（） 6.在有余数的算式中，如果余数是5，那么除数最小是（），如果除数是 5，那么余数最大是（）。
7．①○÷8=7……△，当余数最大时，被除数是（）。 ②○÷△=6……8，要使除数最小，被除数是（）。 ③○÷9=8……△，○的最大值是（）。 ④△÷8=7……1，△=（）。 8.一个数除以8有余数，余数最大是（），最小是（）。 9.有36个书包，按2黑2红有规律地排列，第20个书包是（）色的。 10.在有余数的除法算式□÷8=6……□中，当余数最小时，被除数是（）；当余数最大时，被除数是（）。 二、看图填算式 17÷□＝□（盘）……□（个） 17÷□＝□（个）……□（个）三、用竖式计算。 23÷3＝ 50÷6＝ 67÷9＝ 45÷7＝ 56÷8＝ 35÷4＝
四、判断（对的打“√”，错的打“×”） ①27÷6＝5……3 （） ②○÷6=7……△，△的最大值是5 （） ③在有余数的除法算式中，余数一定要比商小。（） ④23人坐车，每辆车限乘坐7人，3辆车就可以把这23人同时运走。（） ⑤38除以5，商是7，余数是5。（） ⑥一个数除以8，余数最大是7。（） ⑦□△○□△○……第18个应画○。（） ⑧45÷9＝4……9 （） ⑨7÷2＝3……1 读作7除以2商1余3。（）⑩□÷5＝4……3，被除数是19。（）五、解决问题。 1、 2、 3. 45个皮球装在一个盒子里，每6个装一盒。 （1）可以装几盒，还剩几个？ （2）如果全部装入盒中，至少要多少个盒子？
最新综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
2-2 综合除法、大除法.讲义学生版
板块一 综合除法、多项式除法 记号()f x 关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-． 这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =?+-=，同样地，有 ()2020033f =?+-=-；()()()2 121132f -=?-+--=-等等． 用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： ()()()()f x g x q x r x =?+ （1） 其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数． 如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有 ()()()f x x a q x r =-?+ （2） 当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 2231 23573672 5 x x x x x x x x -++-+---- 所以，商式为31x -，余数为5-． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 3 5 72 6 2 3 1 5 +----- 商式为31x -，余数为5-． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． 例题精讲 综合除法和余数定理
小学三年级数学下册除法练习题,有余数的除法
除数是一位数的除法笔算系列练习（一）（5分钟） 65÷5= 906÷3= 870÷4= 716÷5= 80÷6= 783÷3= 804÷2= 148÷8= 246÷7= 750÷5= 103÷3= 123÷3= 144÷9= 97÷3= 352÷5= 296÷4= 860÷2= 220÷9= 153÷5= 357÷6= 除数是一位数的除法笔算系列练习（二）（5分钟） 64÷2= 128÷8= 446÷2= 911÷9= 405÷7= 76÷8= 325÷4= 155÷4= 718÷6= 350÷8= 871÷6= 220÷9= 618÷4= 654÷5= 622÷8= 451÷3= 900÷6= 677÷6= 192÷7= 120÷4= 除数是一位数的除法笔算系列练习（三）（5分钟） 75÷5= 425÷3= 615÷5= 874÷5= 740÷8= 50÷6= 200÷7= 121÷4= 375÷5= 392÷3= 638÷8= 627÷3= 441÷5= 412÷3= 624÷4= 260÷4= 375÷5= 60÷6= 468÷5= 357÷6= 除数是一位数的除法笔算系列练习（四）（5分钟） 510÷3= 194÷2= 516÷6= 100÷2= 43÷8= 125÷5= 415÷4= 453÷6= 705÷3= 921÷3= 874÷5= 870÷3= 352÷5= 429÷3= 524÷8= 594÷7= 97÷3= 87÷4= 412÷3= 512÷8= 除数是一位数的除法笔算系列练习（五）（5分钟） 103÷3= 444÷6= 121÷4= 645÷3= 966÷7= 728÷8= 315÷7= 720÷6= 919÷6= 88÷4= 756÷9= 254÷3= 728÷8= 83÷5= 919÷6= 496÷4= 308÷7= 427÷5= 98÷8= 269÷6= 除数是一位数的除法笔算系列练习（六）（8分钟） 19÷2= 432÷8= 368÷5= 451÷3= 490÷5= 873÷3= 804÷2= 941÷9= 157÷2= 873÷5= 507÷3= 516÷5= 315÷3= 45÷3= 826÷4= 654÷3= 284÷7= 137÷4= 800÷6= 98÷7= 267÷7= 716÷4= 718÷5= 937÷4= 825÷5= 132÷2= 285÷6= 267÷3= 96÷8= 480÷4= 除数是一位数的除法笔算系列练习（七）（8分钟） 67÷3= 434÷8= 375÷2= 567÷6= 147÷9= 960÷5= 569÷4= 498÷7= 197÷2= 974÷5= 348÷3= 486÷4= 483÷8= 320÷2= 408÷2= 890÷6= 347÷5= 128÷5= 486÷9= 368÷5= 708÷6= 980÷4= 396÷3= 497÷8=
(完整版)有余数的除法练习题
1、11片饼干，每人分3片，可以分给（）人，还剩（）片。 列式：11÷3＝3（）……2（） 2、25个苹果，每个小朋友分4个，可以分给（）个小朋友，还剩（）个。 列式：25÷ 3、40朵花，每6朵一束，可以插（）束，还余（）朵。 列式：（） 4、33瓶牛奶，平均装在5个箱子里，每个箱子装（）瓶，还剩（）瓶。 列式：（） 5、52人乘车旅行，每8人一辆，需要（）辆，还剩（）人。 列式：（） 6、77只猴子，每9只关到一个笼子里，需要（）个笼子，还剩（）只猴子。 列式：（） 7、65棵树，每行种7棵，可以种（）行，还剩（）棵。 列式：（） 8、36本书，每人5本，可以分给（）人，还剩（）本。 列式：（） 9、15块糖，每人分2块，可以分（）人，还剩（）块。 列式：（） 10、22人去划船，每4人一条船，需要（）条，还剩（）人。 列式：（） 11、29听啤酒，每6听装一箱，可以装（）箱，还剩（）听。 列式：（）
1、32只小鸟，每7只小鸟放进一个笼子里，至少需要几个笼子？ 2、50个小朋友去野营，每8个小朋友搭一个帐篷，至少需要搭多少顶帐篷? 3、50元钱买书，每本书7元，最多可以买几本？ 4、20元买水果，每斤6元，可以买几斤？还剩几元？ 5、55页书，每天读8页，至少需要几天读完？ 6、33个字，每分钟写4个，需要几分钟写完？ 7、28个苹果，每盘放5个，能放几盘？还剩几个？ 8、李老师做了30朵红花，每个小组分7朵，最多可以分给几个小组？ 9、一间房子住6只小兔，32只小兔需要住几间房子？ 10、43个小朋友去旅行，每8个同学坐一辆车，至少需要几辆车？ 11、38块糖，每人分9块，最多可以分给几个人？ 12、每张纸可以剪4朵红花，要剪27朵红花，需要多少张纸？
有余数的除法(公开课)
有余数得除法 教学内容:人教版二年级下册教材第6061页例1、例2。 教学目标: 1、使学生理解余数及有余数得除法得含义,并会用除法算式表示出来,培养学生观察、分析、比较得能力。 2、借助用小棒摆正方形得操作,使学生巩固有余数除法得含义,并通过观察、比较探索余数与除数得关系,理解余数比除数小得道理。 3、渗透借助直观研究问题得意识与方法,使学生感受数学与生活得密切联系。 教学重点:理解有余数除法得含义,探索并发现余数与除数得关系。 教学难点:理解余数要比除数小得道理。 教学准备:课件,小棒。 教学过程: 课前游戏: 学生报数字,老师猜颜色,课后揭示其中得秘密。 (一) 瞧图表达,复习除法得含义 提问: 1.从图中瞧出哪些信息？ 预设:有8根小棒;每4根摆一个正方形。 2.可以提出什么数学问题？ 预设:可以摆几个正方形？ 3.您能解决这个问题吗？说一说您得想法。 预设:8÷4=2(个)表示8根小棒,每4根摆一个,可以摆2个正方形。 设计意图:从图像入手,让学生回忆除法得含义,并为接下来得摆小棒活动做热身。 (二) 动手操作,体会有余数得除法得意义。 1. 动手摆一摆:用9根小棒摆正方形,能摆几个？ 预设:摆2个正方形,多出1根。 提问1:请小朋友们仔细瞧一瞧,两次摆得有什么不一样？ 9根小棒,摆正方形,摆了几个？摆完了吗？ 预设:8根小棒刚好摆完,9根小棒摆不完;9根小棒摆了2个正方形,多了1根。 提问2:像这样摆又可以怎样写除法算式呢？剩下得一个在除法算式中怎么表示？ 预设:9÷4=2(个)……1(根);9÷4=2(个)多(余)1根;……表示用9根小棒能摆出2个正方形,多(剩)1根。 提问3:比较这些不同得算式写法,哪种写法最简洁明了？ 您还有什么疑问？ 预设:余数与除数得单位为什么不一样？能不能摆1个,剩下5根？ 学生讨论出商与余数得意义。 小结:9根小棒最多能摆2个正方形,余1根,所以9÷4=2(个)……1(根) 2. 动手摆一摆:用10、11、12根小棒摆正方形,并填写表格。