非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法

《数值计算方法》实验报告

实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x

在 [1, 2] 内的一个实根.

实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法

1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。如果 {}k x 有极限

*lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 *

x 为方程0)(=x f 的近似解。

2）Steffensen 迭代法的原理：

通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。

()????

?????+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)

()(21ρρ

[]x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ

实验环境：操作系统：Windows 7；

实验平台：Turbo C++

实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果

1）简单迭代法的算法：

Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数N Output:近似解x 或失败信息

1. n ←1

2. While n

≤N do;

3. x ←f(x0);

4. if | x-x0|

5. | return x;

6. end

7. n ←n+1;

8. X0←x;

9. End

10. return False; ≤()0202

x y z x y +--Steffensen 迭代法计算

的结果：

近似解为：

给出程序:

1,简单迭代法的程序（C++）

#include ""

#include ""

#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x)

void main()

{int n=1,N;

float x,x0,del;

printf("x0="); scanf("%f",&x0);

printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\nN="); scanf("%d",&N); printf("\nk x(k)");

printf("\n %2d %f ",0,x0);

while (n

{ x=phi(x0);

if(fabs(x-x0)

{ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);

return;

}

printf("\n %2d %f ",n,x0);

n=n+1; x0=x;

}

printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }

2,Steffensen迭代法的程序（C++）

#include ""

#include ""

#define phi(x) *sqrt(10-x*x*x);

void main()

{int n=1,N;

float x,x0,del,y,z,a,b;

printf("x0="); scanf("%f",&x0); printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\na="); scanf("%f",&a); printf("\nb="); scanf("%f",&b); printf("\nN="); scanf("%d",&N); printf("\nk x(k)");

printf("\n %2d %f ",0,x0);

while (n

{ y=phi(x0);

z=phi(y);

x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);

if(fabs(x-x0)

{ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);

return;

}

printf("\n %2d %f ",n,x0);

n=n+1; x0=x;

}

printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }

结果分析：

1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。

2.用Steffensen迭代法来求解时迭代的次数少很多，可见Steffensen迭代法加速了收敛速度。