函数极限的若干求法

（王永数学与统计学院数学与应用数学08级应用数学1班）指导教师：段鹏举引言

极限概念与方法是近代微积分的基础, 本文主要对一元函数, 二元函数以及复变函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳总结, 并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限以及对各类函数极限进行计算. 求函数极限的方法较多, 但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题, 我们应该追求合适的方法.

1、函数极限的定义和性质

1.1 函数极限的定义（函数极限εδ-的定义)

定义 1：设函数)(x f 在点0x 的某个空心邻域00(,)U x δ'内有定义, A 为定数.若对任给的0>ε, 存在正数)(δδ'<, 使得当δ<-<00x x 时，有 ε<-A x f )(, 则称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限, 记作

0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或 .

定义 2：设)(x f 为定义在[,)a +∞上的函数, A 为常数, 若对任给的0>ε, 存在正数M (M a ≥）, 使得当x M >时有 ε<-A x f )( 则称函数)(x f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作

lim ()x f x A →∞

= 或()().f x x →+∞→+∞

除了以上两种函数极限定义以外, 还有几种类型的函数极限这里就不一一说明了.

1.2 极限的性质

（1）唯一性, （2）局部有界性, （3）局部保号性, （4）保不等式性, （5）

迫敛性,（6）四则运算法则.

2 函数极限求解若干方法

2.1 一元函数极限求解方法 2.1.1 利用定义求极限

例 1 用极限的定义证明2

0211lim 0

x x x x -=-→ 0(||1)x <.

证明: 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此 222

000002

||||||

2||111111x x x x x x x x x x x x x x -+-----=

≤

-+---

于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,2

0εδx -=则当00||x x δ<-<时,

有 .112

02ε<---x x

注用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.

2.1.2利用极限的运算法则求极限

定理 1[]

1 已知)(lim 0

x f x x →, )(lim 0

x g x x →都存在, 极限值分别为A , B , 则

(1) B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0

；

(2) B A x g x f x x ?=→)()(lim 0

；

(3) B

x g x f x x =→)()(lim

（此时需0≠B 成立). 例 2 求???

??--++→20211lim x x x x . 解: 原式 ???

??+-++--+-++=→)211(41121lim 2

20x x x x x x x ???

? ??+-+-++--=→)11)(211()11(2lim

20x x x x x x

????

??+-+-++-=→)11)(211(2lim 20x x x x 4

-=.

注 1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.

注 2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.

2.1.2 用单调有界准则求极限

定理 2[]1 在实数系中, 有界的单调数列必有极限. 例 3 证明数列n x 333+???++=(n 重根式)的极限存在.

分析显然n n x x >+1, 故数列}{n x 单调增加.下面证}{n x 有界.由于数列由递推关系n n x x +=+31给出, 解题时通常先估计出它的上下界, 再用数学归纳法证明.下界显然是1x , 取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界, 可先假设极限存在, 且设A x n n =∞

→lim , 再由n n x x +=+31, 易得32

1+=+n n x x , 对其

两边求极限得32+=A A , 解得32131<+=

A , 显然所有大于

1+的实数都是}{n x 的上界, 为便于计算, 取}{n x 的上界为3, 然后用数学归纳法加以证明.

证明: (1) 显然n n x x >+1, 故数列}{n x 单调增加；

(2) 显然0331<=

1+=+n n x x 两边求极限得 32+=A A , 2

1+=

A . 从而 2

1lim +=

∞

→n n x . 注: 利用单调准则证明极限存在, 主要针对递推数列, 必须验证数列两个

方面的性质: 单调性和有界性. 解题的难点在于判断单调性, 一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项．

2.1.4 利用夹逼准则求极限

定理 3[]1 设A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0

, 且在0x 某一空心邻域00(,)U x δ'内

有 )()()(x h x g x f ≤≤, 则 A x g x x =→)(lim 0

例 4 求??? ?

?→x x x x 1sin sin 1lim

20. 解: 当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x ??≤≤ ??

从而 2

110|sin sin |||x x x x ??≤≤ ???,

由夹逼准则得 2

011lim |sin sin |0x x x x →??= ???

, 所以 01sin sin 1lim 20=???

?→x x x x .

注 1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.

注 2 利用夹逼准则求函数极限的关键[]3：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ；（2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0

, 由此可得A x g x x =→)(lim 0

2.1.5利用两个重要极限求极限

两个重要极限:（1)1sin lim

0=→x x x ； (2)e x x

x =??

??+∞→11lim . 根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广:

(1)1)

()

(sin lim

0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u u u y x f x x ==

=→)； (2)e x g x g x x =???

??+→)

()(11lim 0 ???

? ??=??? ??+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g u

x x . 例 5 3

0sin tan lim x x

x x -→求.

解: ???

???-?=-→→x x x x

x x x x x x cos 1cos 1sin lim sin tan lim

2030 ?????

? ????=→x x x

x x x cos 12sin 2sin lim 220 x

x x x x x x x cos 1lim 22sin 21lim sin lim

00→→→????????????

??????? ???= 2

1211=??=.

2.1.6 利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限定理 4[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0

, 则A x h x g x x =→)()(lim 0

；

(2) 若B x f x h x x =→)

()(lim

, 则B x g x h x x =→)()

(lim 0.

性质 1[]1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；性质 2[]1 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质 3[]1 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.

定理 5[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ'

lim 存在,

则 αβαβ'

=lim lim .

例 6 计算30sin sin tan lim x

x x -→.

解: 由于)cos 1(cos sin sin tan x x

x x -=

-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2

~cos 12

→-x x x , )0(~sin 33→x x x , 故有 2

12cos 1lim sin sin tan lim 32030=?

?=-→→x x x x x x x x x . 注 1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注 2 常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,

x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.

2.1.7利用连续性求极限

定理 6[]1 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续, 即如果0x 是连续函数)(x f 的定义区间内的一点, 则 )()(lim 00

x f x f x x =→.

例 7 求x

x x cos )

1ln(lim 20+→.

解: 由于0在初等函数x x x f cos )

1ln()(2+=的定义域之内, 由)(x f 的连续性,

有x

x x cos )1ln(lim 20+→0)0(==f . 2.1.8 利用洛必达法则求极限[]

2.1.8.1

型不定式极限定理 7[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (1) 0)(lim )(lim 0

==→→x g x f x x x x ；

(2) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (3) A x g x f x x =''→)

()

(lim

(A 可为实数, 也可为∞), 则 =→)()(lim

x g x f x x A x g x f x x =''→)

()

(lim 0.

2.1.8.2

∞

型不定式极限定理 8[]1 若函数f 和g 满足： (1) ∞==→→)(lim )(lim 0

x g x f x x x x ；

(2) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ；

(3) A x g x f x x =''→)

()

(lim

(A 可为实数,也可为∞), 则 =→)

()(lim

x g x f x x A x g x f x x =''→)()

(lim 0. 注罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如

,0∞? 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则罗必达法则失败,

但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞

∞

型的极限. 例 8 计算3

)(arcsin arcsin lim

x x x x -→.

解: 这是一个

型的不定式极限, 直接应用罗必达法则得: 原式2

022*******lim 311

1lim arcsin lim x x x x x x

x x x x ---=--

=-=→→→

)

11(13lim

+---=→x x x

x x

-=.

例 9 x x x ln lim 0

+→求.

解：这是一个∞?0型的不定式极限, 用恒等变形x

x x x 1ln ln =

将它转化为∞∞

型不定式极限, 并应用罗必达法则得到

x x x ln lim 0+→0)(lim 11

lim 1ln lim 0

00=-=-==+++→→→x x x x x

x x x .

2.1.9 利用导数的定义求极限[]

定义 2[]1 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义, 若极限

()(lim

x x x f x f x x --→

存在,则称函数)(x f 在点0x 处可导, 并称该极限为函数)(x f 在点0x 处的导数, 记作)(0x f '.

例 10 设)(0x f '存在, 求h

h x f h x f h )

()(lim

000--+→.

解: h h x f h x f h )()(lim 000--+→00000()()()()

lim

h f x h f x f x f x h h

→+-+--= 000000()()()()

lim lim

h h f x h f x f x h f x h h

→→+---=+- 00()()f x f x ''=+ 02()f x '=.

例 11 ,0)()(>=a f a x x f 可导，在设求n

n a f n a f ??

++∞→)()1(lim . 解: 这是∞1型极限,先转化成n

a f n a f n

e a

f n a f 1)

(ln )1

(ln )()1(-+=????

+, 其指数是

型极限, 由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知

[])()(ln 1

)

(ln )1

(ln lim 时当a x x f n a f n a f n ='=-++∞→,

因此由复合函数求导得

原式[]1

ln ()ln ()

lim

()1ln ()()

(n f a f a n f a f x f a n

e e

e x a →+∞

+-''

====当时）.

注对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.

2.1.10 利用微分中值定理求极限

[]

2.1.10.1 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理）定理 9[]1 (拉格朗日中值定理)若函数)(x f 满足如下条件： (1))(x f 在闭区间[]b a ,上连续； (2))(x f 在开区间),(b a 上可导,

则在),(b a 上至少存在一点ξ,使得 a

b a f b f f --=

()()(ξ.

例 12 求b

x x b b

x b x --→lim ,其中0>b .

解: 由题意, 可对x b 和b x 分别应用拉格朗日中值定理,

则原式=???

?-----→b x b x b x b b b

b b x b x lim =)ln (lim 1

1-→-b b

x b b b ξξ

=)1(ln ln 1-=--b b bb b b b b b （其中),(,21b x ∈ξξ).

例 13 计算)1

arctan 3(arctan lim 2+-∞→x x x x .

解: 设x

x f 3

arctan )(=, 由于)(x f 在[]1,+x x 上连续, 在)1,(+x x 内可导.

于是, 由微分中值定理知

(,1),()arctan

arctan 1x x f x x

ξξ'?∈+=-+使22

33ξ+-=. 当,时∞→x ∞→ξ, 所以 333lim 222=???

??+=∞

→ξξξ原式. 2.1.10.2 用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式)[]7

例 14 计算 4

cos lim x e x x x -

→-.

解: 因为)(8

214

422

2x o x x e

x ++-=-, )(2421cos 542x o x x x ++

-=, 所以 12

81241cos lim 4

-=-=

--→x e

x x x . 注 1 常用展式：

()),(!2)1(!21cos 1

222++-+???+-=n n

n x o n x x x ),(!

!3!2132n n x x o n x x x x e ++???++++=

)(1112n

n x o x x x x

++???+++=+, )()!12()

1(!3sin 21213n n n x o n x x x x +--+???+-=--等. 注 2 在计算过程中, 要注意高阶无穷小的运算及处理. 2.1.11 利用定积分求极限

2.1.11.1 利用定积分的定义及性质求极限[]

定义 3[]1 设)(x f 在[]b a ,上的一个函数, J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε, 总存在某一正数δ, 使得对[]b a ,的任何分割T , 以及其上任意选取的点集}{i ξ, 只要δ

i i i f x J ξε=?-<∑,

则称函数)(x f 在区间[]b a ,上可积, 数J 称为)(x f 在[]b a ,上的定积分, 记作 dx x f J b

a ?=)(.

若用极限符号表达定积分, 可写作?∑

=?==→b

i n

i i T dx x f x f J )()(lim

ξ.

例 15 计算???

??+???++∞→n n n n

n n ln 2ln 1ln 1lim

. 解: 令函数x x f ln )(=, 把[]1,0等分为n 份, 考虑)(x f 在[]1,0上的定积分. 由定积分的概念可知 ??

? ??+???++=

∞→?n n n n n dx x n ln 2ln 1

ln lim 1ln 1

所以 =??? ??+???++∞→n n n n

n n ln 2ln 1ln 1lim

1ln 1

-=?xdx .

注由定积分的定义我们知道, 定积分是某一和式的极限, 因此, 如果关于n 的某一和式可以表示成某一积分的形式时, 则可利用定积分, 求出这个和式的极限, 显然, 若要利用定积分求极限, 其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.

2.1.11.2 利用积分中值定理求极限[]

定理 10[]1 设)(x f 与)(x g 都在[]b a ,上连续, 且)(x g 在[]b a ,上不变号, 则至少存在一点[]b a ,∈ξ, 使得 dx x g f dx x g x f b

??=)()()()(ξ.

例 16 求极限dx x

x n

n ?+∞→1

01lim .

解: 取[][]1,0,=b a , x

x f +=

)(, n x x g =)(, 则)(x f 在[]1,0上的最小值21

=m , 最大值1=M , 由积分中值定理知 1lim

lim 10+==∞→∞→?n dx x n n n μμ原式. 因为12

≤≤μ, 所以 01lim 10=+?∞→dx x x n

n . 2.1.12 利用级数求解极限

[]

2.1.12.1 利用级数展开式求极限

例 17 30arctan sin lim

x x -→求. 解: 利用幂级数的展开式, 可得

原式37

537530753!7!5!3lim x

x x x x x x x x x ?

??-+-+-???+-+-=→ =6

1!5151!3131lim 20

=?????????+???

??--??? ??-→x x .

注从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式.

2.1.12.2 利用级数收敛的必要条件求极限

定理 11[]

1 若级数∑∞

n n u 收敛, 则它的一般项n u 趋于零.

例 18 求)1(lim >∞→a a

n n k

n .

解: 研究级数 )1(0>∑∞

=a a

n n n k

, 令n k n a n u =,用比值法:

()

11111lim lim

lim 1.k

n n k n n n n

n u

n a n u a n a a ++→∞→∞

→∞++??===< ???

所以级数)1(>a a

n n k

收敛, 从而 )1(0lim >=∞→a a n n k n .

注对某些极限)(lim n f n ∞

→可将函数)(n f 作为级数∑∞

)(n n f 的一般项, 只需证

明此级数收敛, 便有0)(lim =∞

→n f n .

2.1.13 利用黎曼引理求极限

[]

定理 12[]1 若)(x f 在[]b a ,上可积, )(x g 是以T 为周期的函数, 且在[]T ,0上可积, 则有 ???

=+∞→T

b a b

n dx x f x g T dx nx g x f 0

)()(1)()(lim

例 19 计算dx x nx

n ?+∞→1

21sin lim .

解：因为x 2

sin 的周期为π, ?

?+?=

+∞→1

020

02211

sin 1

1sin lim dx

x xdx dx x nx n π

π= 2.2 二元函数极限求解方法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系

又有区别．在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限变得更加复杂, 它实质上是包含任意方向的逼近过程, 是一个较为复杂的极限, 对于二元函数(,)f x y 的二重极限, 其重点是研究极限的存在性以及具体的求解方法．其中, 求解方法非常多样, 灵活性和随机性很强, 我在这里总结了几种具有代表性的求解方法.

引例求22

(,)(0,0)lim .x y x y x y →+

原解法：因为222

222

2||||||,()1x y x x x x y y

=≤++?ε0>, 取0δε=>,

当x <δ, y <δ, 且(,x y )≠(0,0)时, 有22

0x y x y -+≤2x <2εδ=, 由极限

的定义得 22

(,)(0,0)lim

0x y x y x y →=+. 新解法：令cos sin x r y r θ

=??=?当（,x y )→(0,0)有0r +→,

22222

cos sin ,x y r x y

θθ=+因为22

|cos sin |1θθ≤,

所以 2222(,)(0,0)lim

x y x y x y →=+222

0lim cos sin 0.r r θθ+

→= 两者相对比, 我们就会发现, 此例用极坐标代换求极限比用定义求解简单

的多, 那么, 选择一个正确的解题方法就显得尤为重要了．下面, 我会对各类方法进行探索.

2.2.1利用定义, 证明某极限为某数A 或不存在．

例20 求322

(,)x y

f x y x y

=+在（0,0）点的极限. 解：令32

2200,lim lim 01x x y mx y mx

x y mx y mx x y m →→=====++, 因此路径是特殊路径, 所以不可说明32

200lim 0x y x y

x y →→=+, 在利用定义判定, 对0>?ε, 取εδ2=, 当220(0)(0)x y <-+-<δ, 有2222x x y ε≤+≤.

由于 332221|0|||,22||

x y x y x y xy x ε-≤=<+ 故 322

lim 0x y x y

x y →→=+.

2.2.2 将函数变形, 想办法约去零因式（或无穷大因式）例21：求

(,)(0,0)

lim

x y xy

xy →+-.

解：原式=

(,)(0,0)

(11)lim

lim

112(11)(11)

x y x y xy xy xy xy xy →→++=

++=+++-.

2.2.3用反证法

例22:求1(,)(0,0)

lim (1)x y

x y xy +→+.

解：因为1(1)

x y

xy ++=1(1)

xy xy x y

xy ++ ，若1(,)(0,0)

lim (1)x y

x y xy +→+存在, 则

1(,)(0,0)

lim (1)

x y

x y xy +→+=1

(,)(0,0)lim

ln(1)xy x y xy

xy x y

→++也存在或为∞, 现已知1(,)(0,0)

lim ln(1)

1xy

x y xy →+=, 故

(,)(0,0)lim

x y xy

x y →+也存在或为∞, 事实上对函数y x xy +,

取路径2y kx x =-(k ≠0), 0

lim

x xy x y k

→=-+, 沿不同的路径得到不同的极限值, 从而

(,)(0,0)lim

x y xy x y →+不存在且不为∞, 所以1

(,)(0,0)

lim (1)x y

x y xy +→+不存在.

2.2.4利用无穷小的性质

例23：求 22232

(3)(2)

lim (3)(2)x y x y x y →→---+-.

解： 22232(3)(2)lim

(3)(2)x y x y x y →→---+-2232

(3)(2)

lim (3)(3)(2)x y x y x x y →→--=--+-. 因为

22(3)(2)1

(3)(2)2x y x y --≤-+-是有界量,32

lim(3)0x y x →→-=为无穷小量, 故原极限为0.

2.2.5 利用等价无穷小来代换

例24：求 3300

sin()

lim x y x y x y →→++. 解: 当0,0x y →→时, 330x y +→,33sin()x y +和33x y +是等价无穷小,

故原极限33220000

sin()

lim

lim()0x x y y x y x y xy x y →→→→+==+-=+. 2.2.6 利用不等式, 使用两边夹法则. 例25 求 22||||

lim

x y x y x y →∞→∞

++.

解：因为22222222||||||||||||

00,x y x y x y x y x y x y x y +≤

=+≤+→+++故22||||lim 0x y x y x y →∞→∞

+=+. 2.2.7变量代换

第一类：讨论当（,x y ))0,0(→, 二元函数极限(,)f x y , 用变量变

换,cos sin x r y r θ

=??=?.则0r +→.

例26 求2222(,)(0,0)ln(1)

lim x y x y x y

→--+ 解：令cos sin x r y r θθ=??=?, 当(,)(0,0)x y →, 有0r +→,

则 222222(,)(0,0)0ln(1)ln(1)

lim lim 1x y r x y r x y r

+→→---==-+. 第二类: 依据函数(,)f x y 的特殊类型, 利用两变量,x y 的和x y t +=, 平方和22x y t +=及乘积xy t =等做代换, 将二元函数(,)f x y 求极限的问题, 整体或者部分转化为一元函数的极限问题.

（1）当,x y a →∞→（a 0≠的常数), 二元函数(,)f x y 的极限, 作代换

xy t =, 相应的有t →∞, 利用已知一元函数的极限知识.

例27: 2

lim(1)x x y x y a

xy +→∞→+(0≠a ).

解：因为2()1

1(1)

(1)x x

xy x y

x y y

+++=+, 当,x y a →∞→时, 令xy t =,

则 t →∞,211

lim(1)lim(1)x t x y

x t y a

e xy

+→∞→∞→+

=+=.

所以 2

1[ln(1)]

()()1

1lim(1)

lim(1)xy

x x x

xy x y

x y y

xy x y y

x x y a

y a

e e xy xy ++++→∞→∞→→+=+==.

(2）讨论,x y →∞→∞时二元函数(,)f x y 的极限.

例28：求 22

22221lim ln x y x y x y x y →∞→∞

解: 令11

,x y u v

==, 有0,0,(0)u v uv →→≠,

则 22

22222222(,)(0,0)1lim ln lim ln()x u v y x y u v u v x y x y →∞→→∞

+=+.

当 222220,0, 1.u v u v u u v →→≤≤+≤

所以有 22ln()0u v +<, 22222222()ln()ln()0u v u v u v u v ++<+<.

令22u v t +=, 则0t +→, 从而 2222(,)(0,0)0lim ()ln()lim

ln 0u v t u v u v t t +

→→++==. 所以 22

22221lim ln 0x y x y x y x y →∞→∞

+=.

结束语

极限的思想是近代数学的一种重要思想, 其思想方法贯穿于微积分学的始终. 可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限. 本文在有关极限概念定理及性质的基础之上,通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结. 对函数和数列极限求法的讨论我们可以发现, 在计算极限时, 其方法是多种多样的, 技巧性很强, 因此, 本文通过一些典型例题对求极限的方法加以归纳、总结, 以帮助初学者深刻地理解极限的概念并熟练掌握求极限的方法.

参考文献

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[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.

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[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.

[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.

[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.

[7] 王阳, 刘云, 催春红. 浅谈泰勒公式的应用[J]. 和田师范专科学校学报, 2008, 28(1):197-201.

[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.

[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008, 9(36):133-134.

[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.

致谢

本文是在段鹏举老师的悉心指导下完成，导师渊博的专业知识和严谨的治学态度对我影响深远。使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法。从最初的定题到资料搜集到写作、修改到论文定稿，他给我耐心的指导和无私的帮助。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！此外，这篇论文的完成也有的帮助。在此，也感谢他们。正因为有了他们，我所做的一切才更有意义，也正是有了他们我才有了追求进步的勇气和信心。

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

求函数极限的方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数）上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习. 1基本方法 1.1利用定义法求极限从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ. 一般地，证明0 lim ()x x f x A →=的方法为：0ε?>，放大不等式0()f x A x x αε-<<-，若 22111212 2132133213 x x x x x x x x ε---+-=-=<<--++. (限制x ：011x <-<，则211)x +>，取=min{3,1}δε，则当01x δ<-<时，便有 22 112 3 321x x x x ε---<<--. 定义中的正数δ依赖于ε，但不是由ε所唯一确定.一般来说，ε愈小，δ也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值A ，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的. 1.2 利用左、右极限求极限 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==. 例2 设tan 3,0()3cos ,0 x x f x x x x ?? 求0 lim ()x f x →.

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。 1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

求极限方法总结

求极限方法总结为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法首先他的使用有严格的使用前提必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死必须是 0比0 无穷大比无穷大当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

函数极限的十种求法

设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，所以a ＝-1＝b+1，所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-．解由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=．注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==，则得到的式错误的结果．附常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在

求极限的常用方法

求极限的常用方法摘要极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。关键词极限；计算方法初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

求二元函数极限的几种方法

11 1.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法利用二元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．

22 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→．解：原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．

大学数学经典求极限方法(最全)

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ

3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。

函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法摘要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限：等价无穷小：等价无穷小替换：函数的连续性：Hospital L '法。引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点（一）“0x x →”形：定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧ ∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.

确定函数极限的常用方法

确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。关键词：函数，求极限，基本方法

Common method to determine the limit of function Abstract In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability. keyword：Function, Limit, The basic method

目录一、引言 (1) 二、函数极限的基本知识 (1) （一）函数极限的定义 (1) （二）函数极限的性质 (1) 三、函数极限的基本解法 (2) （一）定义法 (2) （二）利用极限四则运算法则 (2) （三）利用迫敛性定理求极限 (3) （四）利用两个重要极限求极限 (3) （五）利用左右极限求极限 (4) （六）幂指函数求极限 (4) 四、函数极限的微积分解法. (5) （七）利用无穷小量求极限 (5) （八）利用洛比达法则求极限 (7) （九）利用单调有界准则求极限 (9) （十）利用中值定理求极限 (10) 五、小结 (11) 参考文献 (11) 致谢 (11)

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1 （1 （2（3）若B ≠0 （4（5）[] 0lim ()lim ( )n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数） i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例1. 求225 lim 3 x x x →+-的极限解：由定理中的第三式可以知道 ()()222 22 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+= =-- 例2. 求3 x →

( )( ()( ) 3312 1 2 12 lim lim 312 x x x x x x x →→+-+++-=-++ ()( ) 3 lim 312x x x →=-++ 1 4= 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231n x n n = +++??-?L L ，求lim n n x →∞ 解：观察 11=1122-? 111 =2323- ? ()()111=n 1n n-1n --? 因此得到 ()11112231n x n n =+++??-?L L 1111111 1223311n n n =-+-+-+---L L 1 1n =- 所以1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 ()() 00y f x x f x ?=+?- 如果 ()()000lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为()0'f x 。