第二章 晶体衍射和倒格子
X射线衍射和倒格子
第二章 X 射线衍射和倒格子 大多数探测晶体中原子结构的方法都是以辐射的散射概念为基础的。早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原子的间距相同，大约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。随后布拉格用X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有面心立方结构，从而奠定了用X 射线衍射测定晶体中的原子周期性长程有序结构的地位。随着科学技术的不断发展，电子、中子衍射有为人类认识晶体提供了有效的探测方法。但到目前为止，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚至是只具有短程有序的无定形材料结构的重要工具。本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引入倒格子的概念，在此基础上介绍原子形状因子和几何结构因子，并介绍几种确定晶格结构的实验方法。 §2.1 晶体衍射理论 一、布拉格定律 （Bragg ’s Law ） X 射线是一种可以用来探测晶体结构的辐射，其波长可以用下式来估算 012.4()() hc E h A E KeV νλλ==?= （2.1.1） 能量为2~10KeV 的X 射线适用于晶体结构的研究。 在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对较大，对这个过程没有响应。X 射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在固体中穿透比较深，所以X 射线可以作为固体探针。1912年劳厄（https://www.360docs.net/doc/f84883189.html,ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）父子测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，首次给出了晶体中原子规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了用X 射线与晶体结构关系的第一个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。布拉格对于来自晶体的衍射提出了一个简单的解释。假设入射波从晶体中的平行晶面作镜面反射，每个平面反射很少的一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种反射中，其反射角等于入射角。当来自平行晶面的反射发生干涉相长时，就得出衍射束，图2.1是X 射线分别在相邻两个晶面反射的情况。我们考虑的是弹性散射，X 射线的能量在反射中不变。
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向
第四章倒易点阵及晶体衍射方向 1. 布拉格定律 一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。 图 4.1 布拉格定律的几何说明 如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。由图4.1 可知， PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1) 此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成:
λθ=?? ? ??sin 2n d hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 : λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式： λ θ/2/1sin hkl d = (4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。 2. 倒易点阵 2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵： 若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。 （2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：
第一章晶体结构和倒格子
第一章 晶体结构和倒格子 1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为 → 1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。 4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。晶面族（h 、k 、l ）的面间距为 2222) ()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?反射角为θ=19.20 求面间距d 111。 6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程； 7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。 8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。 10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。 附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s 第二章 晶体结合 1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的互作用能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3?,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作 用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 2. N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ??????-=R e R B N R U n 024)(πεα
倒易格子与衍射
倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射 四、电子衍射 1. 电子波的波长 电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。 波长 C射线衍射仪0.1——100 ? 电子显微分析0.0251 ?(200kV) 2. 晶体形状与倒易点形状的关系 3. 倒易格子与倒易球 因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。 另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵 图4-2 倒易点阵与倒易球
图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程 如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导 因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此， O1O/O1O’ = OG / OG’ 1/λ/L = 1/d/R Rd=Lλ 在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。此即电子衍射的衍射方程。 由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。 5. 单晶电子衍射花样的标定 标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。 （1）对斑点进行指标化 如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。中心为倒易点阵原点(000)，
X射线多晶衍射法物相分析
X 射线多晶衍射法物相分析 1 目的要求 (1) 掌握X 射线多晶衍射法的实验原理和技术。 (2) 学会根据X 射线衍射图，使用X 射线粉末衍射索引和卡片进行物相分析。 2 基本原理 若以 代表晶体的一族晶面的指标， 是这族晶面中相邻两平面的间距，入射X 射线与这族晶面的夹角 满足下面布拉格方程时，就可产生衍射。 式中n 为整数，表示相邻两晶面的光程差为n 个波，所以n 又叫衍射级数，式中 常 用 表示， 称为衍射指标，它和晶面指标是整数位关系。 当单色X 射线照到多晶样品上时，由于多晶样品中含有许许多多小晶粒，它们取向随机地聚集在一起，同样一族晶面和X 射线夹角为θ的方向有无数个，产生无数个衍射，形成以 入射线为中心， 为顶角的衍射圆锥，它将对应于X 射线衍射图谱的一个衍射峰。多晶样品中有许多晶面族，当它们符合衍射条件时，相应地会形成许多以入射线为中心轴张角不同的衍射线。不同的晶面其晶面间距不同，可见晶面间距决定了衍射峰的位置，而晶面间距d 是晶胞参数的函数，所以衍射峰的位置是由晶胞参数所决定的。至于衍射峰的强度I 与结构因子｜F ｜2成正比，而｜F ｜2是晶胞内原子的种类、数量、坐标的函数，因此，衍射强度是由晶胞的结构所决定的。由于每一种晶体都有它特定的结构，不可能有两种不同的晶体物质具有完全相同的晶胞参数和晶胞结构，也就不会有两种不同的物质具有完全相同的衍射图，晶体衍射图就象人的指纹一样各不相同，即每种晶体都有它自己的“d/n ～I ”数据，可以据此来鉴别晶体物质的物相。若一物质含有多种物相，这几种物相给出各自的衍射图，彼此独立，互不相干，即由几种物相组成的固体样品的衍射图，是各个物相的衍射图，按各物相的比例，简单叠加在一起构成的。这样就十分有利于对多相体系进行全面的物相分析了。 国际粉末衍射标准联合会(JCPDS)已收集了几万种晶体的衍射标准数据，并编制了一套X 射线粉末衍射卡片(PDF ，其内容和检索方法见附2)。实际工作中只要测得试样的多晶衍射数据，再去查对粉末衍射卡片，即可鉴定试样，进行物相分析。 3 仪器 试剂 X 射线衍射仪 玛瑙研钵 分样筛 粉末样品板 选择若干合适晶体的未知物样品 4 实验步骤 (1)预习：有条件的情况下，利用附1介绍的X 射线多晶衍射法物相分析的模拟软件，预习X 射线多晶衍射法进行物相分析的基本过程。 (2)制样：用玛瑙研钵将样品研细后，通过325目筛，将筛下物放在样品板的槽内，略高于槽面，用不锈钢片适当压紧样品，且表面光滑平整，必要时可滴一层酒精溶液(或溶有少量苯乙烯的甲苯溶液)，然后将样品板轻轻地插在测角仪中心的样品架上。 (3)测试： ①首先打开冷却水阀门和总电源及计算机稳压电源。 ②打开X 射线发生器总电源，将稳压、稳流调节至最小值，关好防护罩门，调整好水量，)(l k h '''l k h d ' ''l n k n h n ' ''θλθn d l n k n h n l k h ='''''' sin 2l n k n h n '''hkl hkl θ4
17 X射线多晶衍射法物相分析
实验十七 X 射线多晶衍射法物相分析 1 目的要求 (1) 掌握X 射线多晶衍射法的实验原理和技术。 (2) 学会根据X 射线衍射图，使用X 射线粉末衍射索引和卡片进行物相分析。 2 基本原理 若以 代表晶体的一族晶面的指标， 是这族晶面中相邻两平面的间距，入射X 射线与这族晶面的夹角 满足下面布拉格方程时，就可产生衍射。 式中n 为整数，表示相邻两晶面的光程差为n 个波，所以n 又叫衍射级数，式中 常 用 表示， 称为衍射指标，它和晶面指标是整数位关系。 当单色X 射线照到多晶样品上时，由于多晶样品中含有许许多多小晶粒，它们取向随机地聚集在一起，同样一族晶面和X 射线夹角为θ的方向有无数个，产生无数个衍射，形成以 入射线为中心， 为顶角的衍射圆锥，它将对应于X 射线衍射图谱的一个衍射峰。多晶样品中有许多晶面族，当它们符合衍射条件时，相应地会形成许多以入射线为中心轴张角不同的衍射线。不同的晶面其晶面间距不同，可见晶面间距决定了衍射峰的位置，而晶面间距d 是晶胞参数的函数，所以衍射峰的位置是由晶胞参数所决定的。至于衍射峰的强度I 与结构因子｜F ｜2成正比，而｜F ｜2是晶胞内原子的种类、数量、坐标的函数，因此，衍射强度是由晶胞的结构所决定的。由于每一种晶体都有它特定的结构，不可能有两种不同的晶体物质具有完全相同的晶胞参数和晶胞结构，也就不会有两种不同的物质具有完全相同的衍射图，晶体衍射图就象人的指纹一样各不相同，即每种晶体都有它自己的“d/n ～I ”数据，可以据此来鉴别晶体物质的物相。若一物质含有多种物相，这几种物相给出各自的衍射图，彼此独立，互不相干，即由几种物相组成的固体样品的衍射图，是各个物相的衍射图，按各物相的比例，简单叠加在一起构成的。这样就十分有利于对多相体系进行全面的物相分析了。 国际粉末衍射标准联合会(JCPDS)已收集了几万种晶体的衍射标准数据，并编制了一套X 射线粉末衍射卡片(PDF ，其内容和检索方法见附2)。实际工作中只要测得试样的多晶衍射数据，再去查对粉末衍射卡片，即可鉴定试样，进行物相分析。 3 仪器 试剂 X 射线衍射仪 玛瑙研钵 分样筛 粉末样品板 选择若干合适晶体的未知物样品 4 实验步骤 (1)预习：有条件的情况下，利用附1介绍的X 射线多晶衍射法物相分析的模拟软件，预习X 射线多晶衍射法进行物相分析的基本过程。 (2)制样：用玛瑙研钵将样品研细后，通过325目筛，将筛下物放在样品板的槽内，略高于槽面，用不锈钢片适当压紧样品，且表面光滑平整，必要时可滴一层酒精溶液(或溶有少量苯乙烯的甲苯溶液)，然后将样品板轻轻地插在测角仪中心的样品架上。 (3)测试： ①首先打开冷却水阀门和总电源及计算机稳压电源。 ②打开X 射线发生器总电源，将稳压、稳流调节至最小值，关好防护罩门，调整好水量，)(l k h '''l k h d ' ''l n k n h n ' ''θλθn d l n k n h n l k h ='''''' sin 2l n k n h n '''hkl hkl θ4
倒易点阵与晶体衍射
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。 图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样 按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。 电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点： 1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行 晶体结构分析，弄清微区的物象组成； 2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分 析晶体结构和位向关系带来很大方便； 3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。 下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。 电子衍射原理 已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成： ( ) 这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。可以想象，AO'
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题 指导
竭诚为您提供优质文档/双击可除 第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与 习题指导 篇一：第十二章习题答案new 1、分析电子衍射与x衍射有何异同？ 答：相同点： ①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。 而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2 ?。 ②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl ②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl ④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a， b*=1/b，c*=1/c。
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 一、倒易点阵的概念 X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ） 通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。 倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。 一、 倒易点阵中基本矢量的定义 设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ， 倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9）， 则有 V b a c V a c b V c b a ?=?=?=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积： )()()(b a c a c b c b a V ??=??=??= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系 二、 倒易点阵的性质 a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=??=?=? b a b a b a θ） 0******=?=?=?=?=?=?b c a c c b a b c a b a （2-12） 1***=?=?=?c c b b a a （2-13） b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为 ***lc kb ha g hkl ++= （2-14） Φ3
在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1 =k ，以O 为中心，1/λ 为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ′，其长度也等于反射球的半径1/λ。 根据倒易矢量的定义，g G O =*，于是我们得到 g k k =-' （2-17）
固体物理倒格子的原理
倒格子 摘要：倒格子是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。为此为了研究的方便，结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。和正格子相比，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。因此倒格子具有很重要的物理意义，及其所组成的倒易点阵，更是研究晶格性质的重要手段。 关键词：倒格子正格子点阵布里渊区 一、倒格子的定义及其相关概念： （1）倒格子：亦称倒易格子(点阵)，倒格子就是和布拉发矢量（晶格矢量）共轭的另一组矢量基，俗称动量空间，适合于用来描述声子、电子的晶格动量。它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。 （2）倒格子的定义： 已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为： ；说明b1垂直于a2和a3所确定的面。 ；说明b2垂直于a3和a1所确定的面。 ；说明b3垂直于a1和a2所确定的面。 正格子体积： （3）相关概念： ①倒格点：平移操作所产生的格点叫。 ②倒格矢：为。 ③倒格子：倒格点的总体叫。 ④倒格基矢：一组。
二、倒格子的性质： （1） 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系： 倒格子体积： ， （2） 正格子与倒格子间的关系：倒格矢与任一个正格矢 的乘 积必等于, 即 = 。 （3） 正格子中一族晶面（321h h h ）和倒格子基失矢正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标。 （4） 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向；倒格矢的大小正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数： d G π2//= 三、倒格子原胞和布里渊区： 倒格子原胞，作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全 封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。 同理。第一布里渊区以外，封闭的三角形的体积----------------第二布里 渊区。依次可以得到第三布里渊区。 四、正格子和倒格子的比较： 20世纪80年代STM 问世前，人们无法直接观测到正格子空间，只能通过
倒格子讲解
中文名称：倒格子 英文名称：Reciprocal lattice 术语来源：固体物理学 倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。 1定义 假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义 b1 = 2 π ( a2× a3) /ν b2 = 2 π ( a3× a1) /ν b3 = 2 π ( a1× a2) /ν 其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。 2性质 1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。 2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系 a i · b j = 2 πδij 3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为 G = αb1+ βb2 + γb3 R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数) 不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3. 5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交 （具体的内容及证明过程，请参考文献[1]） 3倒格子引入的意义 这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。例如，晶体的衍射是由于某种波和晶格互相作用，与一族晶面发生干涉的结果，并在照片上得出一点，所以，利用倒格子来描述晶格衍射的问题是极为直观和简便的。 另外，在固体物理中比较重要的布里渊区，也是在倒格子下定义的。相关的内容可以参考文献[1-2] 。
X射线多晶衍射法物相分析.
X 射线多晶衍射法物相分析 1 (1) 掌握 X (2) 学会根据X 射线衍射图，使用X 射线粉末衍射索引和卡片进行物相分析。 2 若以 代表晶体的一族晶面的指标， 是这族晶面中相邻两平面的间距，入射X 射线与这族晶面的夹角 满足下面布拉格方程时，就可产生衍射。 式中n 为整数，表示相邻两晶面的光程差为n 个波，所以n 又叫衍射级数，式中 常 用 表示， 当单色X 射线照到多晶样品上时，由于多晶样品中含有许许多多小晶粒，它们取向随机地聚集在一起，同样一族晶面和X 射线夹角为θ的方向有无数个，产生无数个衍射，形成以 入射线为中心， 为顶角的衍射圆锥，它将对应于X 射线衍射图谱的一个衍射峰。多晶样品 中有许多晶面族，当它们符合衍射条件时，相应地会形成许多以入射线为中心轴张角不同的衍射线。不同的晶面其晶面间距不同，可见晶面间距决定了衍射峰的位置，而晶面间距d 是晶胞参数的函数，所以衍射峰的位置是由晶胞参数所决定的。至于衍射峰的强度I 与结构因子｜F ｜2成正比，而｜F ｜2是晶胞内原子的种类、数量、坐标的函数，因此，衍射强度是由晶胞的结构所决定的。由于每一种晶体都有它特定的结构，不可能有两种不同的晶体物质具有完全相同的晶胞参数和晶胞结构，也就不会有两种不同的物质具有完全相同的衍射图，晶体衍射图就象人的指纹一样各不相同，即每种晶体都有它自己的“d/n ～I ”数据，可以据此来鉴别晶体物质的物相。若一物质含有多种物相，这几种物相给出各自的衍射图，彼此独立，互不相干，即由几种物相组成的固体样品的衍射图，是各个物相的衍射图， 按各物相的比例， 国际粉末衍射标准联合会(JCPDS)已收集了几万种晶体的衍射标准数据，并编制了一套X 射线粉末衍射卡片(PDF ，其内容和检索方法见附2)。 实际工作中只要测得试样的多晶衍射数 3 仪器 X 射线衍射仪 分样筛 选择若干合适晶体的未知物样品 4 (1)预习：有条件的情况下，利用附1介绍的X 射线多晶衍射法物相分析的模拟软件，预习 X (2)制样：用玛瑙研钵将样品研细后，通过325目筛，将筛下物放在样品板的槽内，略高于槽面，用不锈钢片适当压紧样品，且表面光滑平整，必要时可滴一层酒精溶液(或溶有少量苯乙烯的甲苯溶液) (3) ②打开X 射线发生器总电源，将稳压、稳流调节至最小值，关好防护罩门，调整好水量， )(l k h '''l k h d ' ''l n k n h n ' ''θλθn d l n k n h n l k h ='''''' sin 2l n k n h n '''hkl hkl θ4
晶体衍射实验的基本方法
晶体衍射实验的基本方法 晶体衍射实验的基本方法包括以下三种： 1.劳厄法 劳厄法是用波长可连续变化的X 射线，射击入固定的单晶体而产生衍射的一种方法。装置如图2 所示。由于X 光管中加速电压的限制，所用的X 射线有一最小波长限λ min；同样，由于X 光管窗玻璃的吸收作用，X光波长也有一最大长波限λ max.有效的连续X 射线谱在λ min与λmax之间的变化，对应于λ min的反射球半径最大，而对应于λ max 的反射球半径最小。于是对应于λ min与λ max之间的任一波长的反射球半径介于这两个反射球半径之间，所有反射球的球心都在入射线方向上，如图1 所示。 图1 劳厄法的反射球 由上面的讨论可知，X 射线的入射波矢k0 与反射波矢k 的矢量关系为 .由于，则反射波矢k的末端落在了以为半径的反射球上，若k0 的末端取为倒格点，如图1 所示，则波矢k 的末端也必定是倒格点。这说明，当X 光波长和入射方向一定时，由球心到球面上的倒格点连线方向，都是X 光衍射极大方向，或称光的反射方向。对应于半径为2π/λmax和2π/λ min的两个球之间任一倒格点与k0末端连线的中垂面在入射方向上的直径上的交点，与该倒格点的连线，即是衍射极大方向。由晶体出射的衍射线束在底片上形成的一系列斑点，称为劳斑点。所有的劳厄斑点构成晶体的X 射线衍射图样。可见劳厄斑点与倒格点一一对应，劳厄斑点的分布可以反映出倒格点的分布信息。倒格矢是晶体相应晶面的法线方向，晶格的对称性与倒格子的对称性相对应。当X 光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄斑点的对称性即反映出晶格的对称性。因此，劳厄法不便于研究晶体的晶格常数，而特别适用于确定晶体的对称性。 2.旋转单晶法 医学教谕网整理旋转单晶法的特点是X 射线波长不变，使晶体转动，从而倒格子也转动。由于λ 不变，所以只有一个反射球，且固定不动。但样品单晶在转动，这样其倒格子将相对的反射球转动，于是就有倒格点不断转到反射球上，从而发生布喇格反射。由于倒
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~ 零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~ 消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~ 明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。 暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。 衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~ 质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。 二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~ 吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。这叫做~ 分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。 焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。 焦长：透镜像平面允许的轴向偏差. 景深：透镜物平面允许的轴向偏差. 磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度. 电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。 透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。 弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。 背散射电子：是被固定样品中的原子核反弹回来的一部分入射电子，其中包含弹性背散射电子和非弹性背散射电子。 弹性背散射电子：指被样品中原子核反弹回来的，散射向大于90°的电子其能量没有损失。非弹性背散射电子：是入射电子和样品河外电子撞击后产生的电子，波方向改变，能量也不同程度损失。 晶带轴：在正点阵中，同时平行于某一晶像的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。 结构因子：表示晶体的正点晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅。 第二相粒子:指那些和基体之间处于共格或半共格状态的粒子。 复型：就是真实样品表面形貌组织结构细节的薄膜复制样品。 萃取复型：是金相样品进行腐蚀使第二相粒子容易从基体上剥离以便把第二相粒子包络起来的方法。 二次复型：先制成逐渐复型，然后在中间复型上晶型第二次复型，再把中间复型溶去，最后得到的是第二次复型。
晶体结构的衍射理论
上讲回顾：晶体结构的衍射理论 ?衍射极大条件，仅是必要条件 *Bragg定律 *von Laue方程 ?能否观察到衍射极大 *与几何结构因子有关 *消光条件，两类消光 http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测1
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构的实验观测 2 →视野拓展→由von Lauer 条件看B 区边界 ?Brillioun 区边界面上的任何矢量都满足衍射极大这个条件→重要性质 *在电子受原子作用时(因而有晶格也因而存在B 区边界)，电子受边界的散射，连续能级会形成一个能隙→在某些能量区域内，电子不允许存在 *物理原因：电子波函数受Brillioun 区边界反射，反射波与行进波迭加，形成驻波！在边界上，原来自由电子在空间均匀分布的平面波（|exp(ikx)|2=常数），形成驻波(sin kx , cos kx )，能量分裂，受原子核吸引而驻其周围的能量低，受原子核排斥而驻原子核之间的能量高，中间留下一段能量空白，电子不允许具有这种能量！ kx i e e kx e e ikx ikx ikx ikx sin 2 ,cos 2=-=+--
本讲目的 ?实验上如何观测晶体结构？ http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测3
第11讲、晶体结构的实验观测 1.晶体结构衍射实验 *原理：Ewald球 *方法：von Laue方法、转动晶体法 2.晶体结构其他实验方法 *倒空间：电子衍射，中子衍射 *实空间：FIM，STM *计算机（模拟）实验 http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构的实验观测4
X射线衍射分析法原理概述
第十四章 X射线衍射分析法 14.1概述 X射线衍射法是一种研究晶体结构的分析方法，而不是直接研究试样内含有元素的种类及含量的方法。当X射线照射晶态结构时，将受到晶体点阵排列的不同原子或分子所衍射。X射线照射两个晶面距为d的晶面时，受到晶面的反射，两束反射X光程差2dsinθ是入射波长的整数倍时，即 2dsinθ=nλ （n为整数） 两束光的相位一致，发生相长干涉，这种干涉现象称为衍射，晶体对X射线的这种折射规则称为布拉格规则。θ称为衍射角（入射或衍射X射线与晶面间夹角）。n相当于相干波之间的位相差，n＝1，2…时各称0级、1级、2级……衍射线。反射级次不清楚时，均以n＝1求d。晶面间距一般为物质的特有参数，对一个物质若能测定数个d及与其相对应的衍射线的相对强度，则能对物质进行鉴定。 X射线衍射分析方法在材料分析与研究工作中具有广泛的用途。在此主要介绍其在物相分析等方面的应用。 14.1.1 物相定性分析 1．基本原理 组成物质的各种相都具有各自特定的晶体结构(点阵类型、晶胞形状与大小及各自的结构基元等)，因而具有各自的X射线衍射花样特征(衍射线位置与强度)。对于多相物质，其衍射花样则由其各组成相的衍射花样简单叠加而成。由此可知，物质的X射线衍射花样特征就是分析物质相组成的“指纹脚印”。制备各种标准单相物质的衍射花样并使之规范化（1969年成立了国际性组织“粉末衍射标准联合会(JCPDS)”，由它负责编辑出版“粉末衍射卡片”，称PDF卡片），将待分析物质(样品)的衍射花样与之对照，从而确定物质的组成相，这就是物相定性分析的基本原理与方法。 2．物相定性分析的基本步骤 (1) 制备待分析物质样品，用衍射仪获得样品衍射花样。 (2) 确定各衍射线条d值及相对强度I/I1值(Il为最强线强度)。 (3) 检索PDF卡片。 PDF卡片检索有三种方式： 1）检索纸纸卡片 物相均为未知时，使用数值索引。将各线条d值按强度递减顺序排列；按三强线条 d1、d2、d3的d—I/I1数据查数值索引；查到吻合的条目后，核对八强线的d—I/I1值；当八强线基本符合时，则按卡片编号取出PDF卡片。若按d1、d2、d3顺序查找不到相应条目，则可将d1、d2、d3按不同顺序排列查找。查找索引时，d值可有一定误差范围：一般允许△d=±(0.01～0.02)。 2）光盘卡片库检索 通过有点的检索程序，按给定的检索窗口条件对盘卡片库检索（如PCPDFWin程序）。 3）计算机自动检索
复杂电子衍射花样(材料分析方法)
第五节复杂电子衍射花样 一、多晶衍射花样的分析 多晶体样品的电子衍射花样和X射线粉末照相法所得到的花样的几何特征非常相似，是由一系列不同半径的同心圆环所组成的。这种环形花样的产生，是由于受到入射束幅照的样品区域内存在着大量取向杂乱的细小晶体颗粒，d值相同的同一{hkl}晶面族内符合衍射条件的晶面组所产生的衍射束，构成以入射束为轴、2θ为半顶角的圆锥面，它与照相底板的交线即为半径R＝λL/d 的圆环（图1）。实际上，属于同一{hkl} 晶面族、但取向杂乱的那些晶面组的倒易阵点，在空间构成以O*为中心、g＝1/d为半径的球面，它与爱瓦尔德球面的交线是一个圆。衍射花样中的圆环，就是这一交线的投影放大象。d值不同的晶面族，将产生半径不同的圆环。 图1 多晶体样品电子衍射花样的产生 多晶衍射花样的分析，其目的也不外乎两方面：一是利用已知晶体样品标定相机常数，二是鉴定大量弥散的抽取复型粒子或其他多晶粒子的物相。 多晶花样的分析，一般采用以下步骤： 1、测量每个衍射环的半径R1、R 2、R 3、……。为减少测量误差，通常测量衍射环的直径2R，然后计算得R； 2、计算R，并分析R比值得递增规律，确定各衍射环得N值，并写出衍射环得指数{hkl}； 3、对于已知物质，也可根据d＝λL/ R 计算各衍射环得晶面间距，对照ASTM卡片
写出环的指数；对于未知物质，如果已知相机常数，可计算晶面间距d值，估计衍射环的相对强度，根据三强线的d值查ASTM索引，找出数据接近的几张卡片，仔细核对所有d值和相对强度，并参考已经掌握的其他资料，确定样品的物相。 二、复杂花样的分析 除了简单花样的规则斑点以外，在单晶电子衍射花样中常常出现一些“额外的斑点”或其他图案，构成所谓的复杂花样。 复杂花样的种类较多，常见的有下列几种： 1、因爱瓦尔德球的曲率半径有限，可能有不止一个晶带的晶面组参与衍射而出现的高阶劳厄带斑点； 2、因晶体结构的变化如有序化固溶体产生的超点阵衍射斑点； 3、因入射电子在样品晶体内受到多次散射而导致的双衍射和菊池衍射花样； 4、孪晶花样； 5、由于晶体的形状、尺寸、位向以及缺陷所引起的衍射斑点的变形和位移。 下面介绍两种复杂花样： （一）超点阵斑点 当晶体内部的原子或离子产生有规律的位移或不同种原子产生有序排列时，将引起其电子衍射结果的变化，即可以使本来消光的斑点出现，这种额外的斑点称为超点阵斑点。 AuCu3合金是面心立方固溶体，在一定的条件下会形成有序固溶体，如图2（书上图10-20）所示，其中Cu原子位于面心，Au位于顶点。 图2 AuCu3合金中各类原子多占据的位置 （a）无序相αb）有序相α/） 面心立方晶胞中有四个原子，分别位于（0，0，0）、（0，1/2，1/2）、（1/2，0，1/2）和（1/2，1/2，0）位置。在无序的情况下，对h、k、l全奇或全偶的晶面组，结构振幅：F＝4f 平均 ＝0.75f Au＋0.25f Cu。当h、例如：含有0.75Cu、0.25Au的AuCu3无序固溶体，f 平均 k、l有奇有偶时，F＝0，产生消光。
第十二章习题答案new
1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？ 答：相同点： ① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。 而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近 2 。 ② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。 ③ 因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ① 倒易矢量g hkl 垂直于正点阵中对应的（hkl ）晶面，或平行于它的法向N hkl ② 倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③ 倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hkl =1/d hkl ④ 对正交点阵有a *//a ，b *//b ，c *//c ，a *=1/a ，b *=1/b ，c *=1/c 。 ⑤ 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl 是与相应指数 的晶向[hkl]平行 ⑥ 某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。 证：如图，以入射X 射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心O 处，入射线经试样与球相交于O*；以O*为倒易原点，若任一倒易点G 落在厄瓦尔德球面上，则G 对应的晶面满足衍射条件产生衍射。 令入射方向矢量为k （k = 1/λ），衍射方向矢量为k ，，衍射矢量为g 。则有g = 2ksin θ。∵g=1/d ；k=1/λ，∴2dsin θ=λ。即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。
电子衍射(材料分析方法)
第十章电子衍射 一、概述 透射电镜的主要特点是可以进行组织形貌与晶体结构同位分析。若中间镜物平面与物镜像平面重合（成像操作），在观察屏上得到的是反映样品组织形态的形貌图像；而若使中间镜的物平面与物镜背焦面重合（衍射操作），在观察屏上得到的则是反映样品晶体结构的衍射斑点。本章介绍电子衍射基本原理与方法，下章将介绍衍衬成像原理与应用。 电子衍射的原理和X射线衍射相似，是以满足（或基本满足）布拉格方程作为产生衍射的必要条件。两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上也大致相似。多晶体的电子衍射花样是一系列不同半径的同心圆环，单晶衍射花样由排列得十分整齐的许多斑点所组成。而非晶态物质得衍射花样只有一个漫散得中心斑点（图1，书上图10-1）。由于电子波与X射线相比有其本身的特性，因此，电子衍射和X射线衍射相比较时具有下列不同之处： （1）电子波的波长比X射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角θ很小，约10－2rad；而X射线产生衍射时，其衍射角最大可接近90°。 （2）在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，薄样品的倒易阵点会沿着样品厚度方向延伸成杆状，因此，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，结果使略为偏离布拉格条件的电子束也能发生衍射。 （3）因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球德半径很大，在衍射角θ较小德范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。这个结果使晶体产生的衍射花样能比较直观的反映晶体内各晶面的位向，给分析带来不少方便。 （4）原子对电子的散射能力远高于它对X射线的散射能力（约高出四个数量级），这使得二者要求试样尺寸大小不同，X射线样品线性大小位10－3cm，电子衍射样品则为10－6～10－5cm，且电子衍射束的强度较大，摄取衍射花样时曝光时间仅需数秒钟，而X射线以小时计。 （5）X射线衍射强度和原子序数的平方（Z2）成正比，重原子的散射本领比轻原子大的多。用X射线进行研究时，如果物质中存在重原子，就会掩盖轻原子的存在。而电子散射的强度约与Z4/3（原子序数）成正比，重原子与轻原子的散射本领相差不十分明显，这使得电子衍射有可能发现轻原子。此外，电子衍射因子随散射教的增大而减小的趋势要比X射线迅速的多。 （6）它们的穿透能力大不相同，电子射线的穿透能力比X射线弱的多。这是由于电子穿透能力有限，比较适合于用来研究微晶、表面、薄膜的晶体结构。由于物质对电子散射强，所以电子衍射束的强度有时几乎与透射束相当。所以电子衍射要考虑二次衍射和其他动力学效应；而X射线衍射中次级过程和动力学效应较弱，往往可以忽略。