概率论与数理统计 第一章概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业

班级 姓名 学号 任课教师

第一章 概率论的基本概念

教学要求：

一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．

三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．

重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．

难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理

解与应用；独立性的应用．

练习一 随机试验、样本空间、随机事件

1.写出下列随机事件的样本空间

(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；

(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数；

(3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．

解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12

}; （2）{=Ω5；6；7；…};

（3）(){}

1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：

（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；

（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A ；

(3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A ；

(4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ．

3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：

（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21.

（2）21A A ={}次取得黑球次或地第21.

（3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 .

（4）21A A ={}次取得白球次或地第21.

（5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21.

4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件.

解：321A A A B =

练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率）

1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16

3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率.

解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是

()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=

16

9163414141=-++= 所以 ()().16

716911=-=-=C B A P C B A P

2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P === 求B A P ().

解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则()

()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=

所以

()

()()().q r r q p p AB P A P B A P -=-+-=-=

3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率：

（1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.

解：（1）设=A ｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数5638==C n ,A 包含基本事件数2036==C m ,于是 ()14

55620==A P . （2）设=B ｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数5638==C n ，B 包

含基本事件数,301226==C C m 于是().28

155630==B P 4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．

解：（1）设=A ｛最小号码为6｝,则基本事件总数,120310==C n A 包含基本事件数

,624==C m 于是().20

11206==A P （2）设=B ｛最大号码为6｝，则基本事件总数,120310==C n B 包含基本事件数

,1025==C m 于是().12

112010==B P 5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到白球}，3,2,1=i . 求)(i A P , 3,2,1=i .

解： ()3

11=A P ; ()=2A P 3

12312=??, ()3

11231123=????=A P . 6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？

解：样本空间基本事件总数,3666=?=n 设

=1A ｛点数之和等于7｝

，=2A ｛点数之和等于8｝,则 =1A ｛()()()()()()3,4;4,3;2,5;5,2;1,6;6,1｝，1A 包含基本事件数等于6 ；

=2A ｛()()()()()3,5;5,3;4,4;2,6;6,2｝，2A 包含基本事件数等于5 ;

于是 ()613661==A P ; ()36

52=A P .所以()()21A P A P > . 7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率．

解：设=A ｛被检查的4件产品至少有1件废品｝，则()

812.05100495==C C A P ;所以 ()()188.01=-=A P A P .

8.将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数的最大值为2的概率．

解：基本事件总数34444=??=n ，设=A {杯子中球数最大值为2}，则A 包含的基本事件数36131423==C C C m (3个球任取两个，然后4个杯子任取1个放入，再对1个球在3个杯子中任取一个放入)，于是()34

36=

A P . 练习三 条件概率

1.甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名．求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．

解：设=A {碰到甲班同学}，=B {碰到乙班同学}，则();7030=A P (),70

15=AB P 于是 ()()()5.030

1570307015====

A P A

B P A B P . 2.箱子里有10个白球，5个黄球，10个黑球．从中随机地抽取1个．已知它不是黑球，求它是黄球的概率．

解：设=A {任取一个不是黑球}，=B {任取一个是黄球}，则

(),532515==A P ();5

1255==B P 又A B ? ,则()()B P AB P = ,于是

()()()315

351===A P AB P A B P

3.某人有5把钥匙，其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门，求第3次才打开房门的概率.

解：设=i A {第i 次能打开门} ，;3,2,1=i 则 =321A A A {第3次才打开门}，于是由乘法公式有

()()()()

5

1324253213121321=??==A A A P A A P A P A A A P .

4.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区就遭受水灾．设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3.求（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.

解：设=A {某时期甲河泛滥}，=B {某时期乙河泛滥}，则

(),1.0=A P ()2.0=B P , ()3.0=A B P

于是

()()()()()()15.02

.03.01.0=?===B P A B P A P B P AB P B A P ()()()03.015.02.0=?==B A P B P AB P

()()()()27.003.02.01.0=-+=-+=AB P B P A P B A P

5. 甲、乙两车间加工同一种产品，已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪，加工的产品放在一起，且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍．求任取一个产品是合格品的概率．

解：设=A {任取一个为甲生产的产品}，=B {任取一个产品为废品}，则

()()()()

%2%,3,31,32====

A B P A B P A P A P 由全概率公式有 ()()()()()75

2100231100332=?+?=

+=A B P A P A B P A P B P 6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率．

解：设=A {从甲袋中任取一个球为红球}，=B {最后从乙袋中任取一个球为红球}，则 ()()()()

;74,75,41,43====

A B P A B P A P A P 由全概率公式 ()()()()().28

1974417543=?+?=

+=A B P A P A B P A P B P 7.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取4只察看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1）顾客买下该箱的概率；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．

解：设=i A {售货员任取一箱玻璃杯有i 个残品},2,1,0=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}，则

()()();1.0,1.0,8.0210===A P A P A P

()()();632.0,8.0,1420

418242041910≈====C C A B P C C A B P A B P (1)由全概率公式得

()()()()()()()

943

.0632.01.08.01.018.0221100=?+?+?≈++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

(2)由贝叶斯公式得 ()()()

().848.0943

.018.0000≈?==B P A B P A P B A P 8.已知一批产品中有95﹪是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．

解：设=A {任取一个产品为合格品}，=B {任取一个产品被判为合格品}，则

()()()()

;03.0,98.002.01,05.0,95.0==-===A B P A B P A P A P

于是

（1） 任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率是 ()()()()()

9325.003.005.098.095.0=?+?=+=A B P A P A B P A P B P

（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率是 ()()()().9984.09325

.098.095.0≈?==B P A B P A P B A P 练习四 事件的独立性

1.设甲、乙两人独立射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中目标被击中的概率.

解：设 =A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}, 则=B A {目标被击中},()()8.0,9.0==B P A P ,于是

()()()()()()()().98.08.0098.09.0=?-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P

2.三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是4

1,

31,51，问能将此密码译出的概率是多少？

解：设=i A {第i 人破译密码} ，;3,2,1=i =B {破译密码}, 则 ()()(),4

1,31,51321===A P A P A P 321A A A B =, 于是

()()()()()()().53433254111113

21321321=??-=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P B P B P

3.电路由元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成，且它们工作是相互独立的．设元件A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率.

解：设=D {电路正常}，则()

C A B A C B A

D ==, 则 ()()()()()()()()()()().

672.08.08.07.08.07.08.07.0=??-?+?=-+=-+=C

P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P D P 所以 ()()328.0672.011=-=-=D P D P

4. 设每次射击时命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

解：设至少要进行n 次独立射击，则至少击中一次的概率不小于0.9可表为：

()(),9.0011≥=-=≥k P k P n n

由于,2.0=p 则,8.0=q 于是()n n k P 8.0101-==-，所以有,1.08.0≥n

即 32.103

.0ln 2.0ln =≥n 所以至少进行11次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9.

综合练习题

一、选择题

1．设事件B A ，，有A B ?，则下列式子正确的是（ A ）.

(A ）);()(A P B A P = (B) );()(A P AB P =

(C) );()|(B P A B P = (D) ).()()(A P B P A B P -=-

2．设A 与B 为两个相互独立的事件，0)(>A P ，0)(>B P ，则一定有=)(B A P ( B ).

（A ）)()(B P A P + （B ）)()(1B P A P -

（C ）)()(1B P A P + （D ）)(1AB P -.

3．设B A ,为两事件，且B A ?，则下列结论成立的是（ C ）.

（A ）A 与B 互斥；（B ） A 与B 互斥；(C)A 与B 互斥；(D) A 与 B 互斥.

4．设B A ,为任意两事件，且,0)(,>?B P B A 则下列选择必然成立的是（ C ）.

(A))|()(B A P A P <； (B) )|()(B A P A P >；

(C) )|()(B A P A P ≤； (D) )|()(B A P A P ≥.

5．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则下列正确的是（ D ）．

（A ）A 是必然事件； （B ）();0=A B P ； （C ）A B ? ； （D ）B A ?.

6．对于任意二事件B A ,( B ）.

(A) 若AB ≠?，则B A ,一定独立； (B) ,AB ≠?则B A ,有可能独立；

(C) AB =?，则B A ,一定独立； (D) AB ≠?，则B A ,一定不独立；

7．若事件A 和B 满足)}(1)}{(1{)(B P A P B A P --= ，则正确的是（ D ）．

（A ）互不相容与B A ； （B ） 互不相容与B A ；

（C ） B A ?； （D ） 互为独立与B A ．

8．设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）．

（A ）1)()()(-+≤B P A P C P ； （B ）1)()()(-+≥B P A P C P ；

（C ）)()(AB P C P =； （D ）)()(B A P C P =.

9．设B A 、是两个事件，则=-)(B A P ( C )．

（A ）)()(B P A P -； （B ）)()()(AB P B P A P +-；

(C) )()(AB P A P -； (D) )()()(AB P B P A P ++.

10．设C B A ,,是三个随机事件，4

1)()()(===C P B P A P ，81)(=AB P ，0)()(==AC P BC P ，则C B A ,,三个随机事件中至少有一个发生的概率是( B )．

（A ）43； （B ） 85； （C ） 83； （D ） 8

1. 11．某学生做电路实验，成功的概率是0(p ﹤p ﹤1)，则在3次重复实验中至少失败1次的概率是（ B ）．

（A ）3p ； （B ）31p -； （C ）3)1(p -； （D ）3)1(p -)1()1(2

2p P p p -+-+.

12．设A P B P A P (,7.0)(,8.0)(==|8.0)=B ，则下面结论正确的是（ A ）．

（A ）事件A 与B 互相独立； （B ）事件A 与B 互不相容；

（C ）;B A ? （D ）).()()(B P A P B A P +=

13．下列事件中与A 互不相容的事件是（ D ）

（A ）ABC ; (B) C B C B A ; (C) )(C B A ; (D) ))()((B A B A B A .

14．若事件A 、B 相互独立且互不相容，则{}=)(),(min B P A P （ C ）．

(A) )(A P ； （B ） )(B P ； （C ） 0； （D ） )()(B P A P -.

15．,1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<

(A) )()|(A P B A P = ； (B) A B =； (C) Φ≠AB ； (D) )()()(B P A P AB P ≠.

二、填空题

1．已知B A ?，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A P - 0 ．

2．设7.0)(=A P ,5.0)(=B P ．则的最小值为)(AB P 0.2 ．

3．三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为

27

19，则每次试验成功的概率为 1/3 ．

4．已知()0.5,()0.8P A P B ==，且(|)0.8 P B A =，则=)(B A P 0.9 ．

5. 设5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,

6.0)|(=B A P ,则)|(B A A P = 20/29 ．

6．假设事件A 和B 满足1)(=A B P ，则A 和B 的关系是B A ?．

7．已知7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P 0.4 ． 8．已知41)(=

A P ,31)(=A

B P ,2

1)(=B A P ,则=)(B A P 1/3 ． 9．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则=)(A P 2/3 ．

10．设C B A ,,构成一个完备事件组，且()0.5,()0.7P A P B ==，则=)(C P 0.2 ．

11．设A 与B 为互不相容的事件，0)(>B P ，则=)(B A P 0 ．

12.设事件C B A ,,两两互斥，且,4.0)(,3.0)(,2.0)(===C P B P A P

则=-])[(C B A P 0.5 .

13．设事件A 与B 相互独立，已知1)()(-==a B P A P ,9

7)(=B A P ,则=a 5/3或4/3 ．

14．甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为6.0和5.0，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 3/4 ．

15．假设随机事件A 与B 满足),()(B A P AB P =且p A P =)(，则=)(B P p -1．

三、应用题

1．甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．

解:设=i A {第i 人击中飞机}，=i 甲，

乙，丙；=i B {i 人击中飞机};3,2,1,0=i ，=C {飞机被击落}；则

()()();7.0;5.0;4.0321===A P A P A P

()()()()36.03213213211=++=A A A P A A A P A A A P B P ,

()()()()

41.03213213212=++=A A A P A A A P A A A P B P , ()()14.03213==A A A P B P ;

(),2.01=B C P (),6.02=B C P ();13=B C P

所以

()()()()()()()458.0332211=++=B C P B P B C P B P B C P B P C P

2．甲、乙2人投篮命中率分别为0.7，0.8，每人投篮三次，求（1）两人进球数相等的概率；（2）甲比乙进球数多的概率．

解：设=i A {甲人三次投篮进i 个球}，=i B {乙人三次投篮进i 个球}，;3,2,1=i 则

()(),027.07.0130=-=A P ()(),189.07.017.02

131=-??=C A P ()()(),411.07.017.02232=-??=C A P ()();343.07.03

333=?=C A P ()(),008.08.0130=-=B P ()(),096.08.018.02

131=-??=C B P ()()(),384.08.018.02232=-??=C B P ()();512.08.03

3==B P (1)=C {两人进球相等}33221100B A B A B A B A =,

()()()()()

()()()()()()()();

36332.03322110033221100=+++=+++=B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P

(2)=D { 甲比乙进球数多}331303120201B A B A B A B A B A B A =

()()()()()()()()()()()()().

21476.0231303120201=+++++=B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P D P

3．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.该射手3发子弹得到不小于29环的概率．

解：设=1A {命中10环}，=2A {命中9环}，则;,2121Ω=Φ=A A A A 于是 =B {3发子弹得到不小于29环}={3发子弹均为10环} {有2发击中10环}，所以

()()()()()()784.03.07.03.07.0232

23033333=??+??=+=C C P P B P 4．有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元．若在这一年内投保人死亡，则其家属可以向保险公司领取2000元．假设每人在这一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率．

解：设参加保险的人中有x 人死亡，当,100002000122500≥-?x 即10≤x 时，保险公司获利不少于10000元。于是所求的概率为

()()()9863.0!

510998.0002.005250010025001002500≈≈=∑∑∑=--==k e C k P k k k k

k k k ， 其中5002.02500=?==np λ。

5．甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检查的结果是在3个产品中发现1个次品．设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3.求这个产品是甲加工的概率． 解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙加工的产品为此品，=B {3个产品中有一个次品}，则321321321A A A A A A A A A B =, ()()(),3.0,2.0,1.0321===A P A P A P

()()()()()()()()()

(),398.0321321321=++=A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P

于是所求概率为 ()()()()()()()()

().1407.032132111====B P A P A P A P B P A A A P B P B A P B A P 6．按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90﹪的可能考试及格，不努力学习的学生有90﹪的可能考试不及格．据调查，学生中有80﹪的人是努力学习的，试问（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

解：设=A {努力学习的学生}，=B {考试及格的学生},则 (),8.0=A P ()

2.0=A P ,(),9.0=A B P (),9.0=A B P ()

,1.0=A B P (),1.0=A B P 于是有 ()()()()()74.01.02.09.08.0=?+?=+=A B P A P A B P A P B P ； ()()()()();26.09.02.01.08.0=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 所以 （1）考试及格的学生可能是不努力学习的人概率是 ()()()()()

(),027.074.01.02.0=?===B P A B P A P B P B A P B A P （2）考试不及格的学生有可能是努力学习的概率是 ()()()()()()

.3077.026.01.08.0=?-==B

P A B P A P B P B A P B A P