矩阵在生活中的应用

矩阵在实际生活中的应用

一．【摘要】

随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。

【关键词】

高等数学矩阵实际应用

二．应用举例

1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。

例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1.生产单位产品的成本（元）

表2.每种产品各季度产量（件）

解 我们用矩阵的方法考虑

这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示：

通过矩阵的乘法运算得到

MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。 MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；

?

??

??

??=101510204030152010

M ????? ??=200040003500250030003700480028002000250030002000N ???

?

?

?

?=85000120500

110000

87000220000303000352000222000

110000159000178500113500MN

MN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。

对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表：表3. 总成本汇总表

这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

2.人口流动问题

例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（1）在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商；

（2）在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；

（3）在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商；

（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。

解 若用三维向量(x i ,y i ,z i )T 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y 0,z 0)T =(25，10，5)T 。而欲求(x 1,y 1,z 1)T ，(x 2,y 2,z 2)T 并考察在n →∞时(x n ,y n ,z n )T 的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即：

以(x 0,y 0,z 0)T

=(25，10，5)T

代入上式，即得:

即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。 以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：

???

??++=++=++=0001

000100017.02.01.02.07.01.01.01.08.0z

y x Z z y x Y z y x X ????

?

??=????

?

??????? ??=????? ??0000001117.02.01.02.07.01.01.01.08.0z y x A z y x Z Y X ????

? ??=????? ??85.105.21111Z Y X ????

? ??=????? ??=????? ??=????? ??85.91.1105.190002

111222z y x A z y x A Z Y X ?? ??? ??? ?-01x x X n n n

即n 年之后从事各业人员的人数完全由 决定。

在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。

3. 应用矩阵编制Hill 密码

密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。现在密码学涉及很多高深的数学知识。

1929年，希尔（Hill ）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。

假设我们要发出“attack ”这个消息。首先把每个字母a ，b ，c ，d ……x ，y ，z 映射到数1，2，3，4……24，25，26。例如1表示a ，3表示c ，20表示t ，11表示k ，另外用0表示空格，用27表示句号等。于是可以用以下数集来表示消息“attack ”：

n

A {}

11,3,1,20,20,1??

??

? ??=112032011

M

把这个消息按列写成矩阵的形式：

第一步：“加密”工作。现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如:

于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A 变成“密码”（B ）

后发出。

第二步：“解密”。解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A 的逆矩 阵A -1 这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙” 。当然矩阵A 是通信双方都知道的。即用

从密码中解出明码：

通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack ”。

在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也

??

??

? ??=210211321A B

AM =????

?

??=????? ??????? ??=2560266140101112032011210211321??

??

? ??----=-1111221101

A M

B A =????

? ??=????? ??????? ??----=-1120320112560266140101111122110

1

可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。

4. 计算机图形变换

本学期我们学习了计算机图形学这门基础专业课程，其中接触到很多与矩阵变换有关的知识，这激发了我们的学习兴趣。下面将简单列举矩阵在这门课中的重要作用。

在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n 维向量。如点A （x,y,z ）用齐次向量坐标表示为A(x,y,z,1)。

例3：在二维直角坐标系中有三角形ABC ，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向x 轴正方向平移2个单位，向y 轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵?

解：先写出ABC 三点所对应的齐次坐标，A （2，3,1）,B(3,1,1),C(1,1,1)

平移的矩阵变换式为

此处T x =2 T y =2,则变换矩阵为 [][][]

11010

001

11y

x y

x

T y T x T T y x

y x ++=???

?

? ??=???? ?122010001

经上述变换后，A 点齐次坐标为（4，5，1）B 点齐次坐标为(5,3,1) C 点齐次坐标为（3，3，1）。

可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。我们可以定义以下二维变换矩阵：

这样，二维空间中的某点的二维变换可以表示成点的规范化齐次坐标

矩阵与三维齐次坐标变换矩阵

相乘的形式，即

根据

在变换中的具体作用，进一步可以将 分成4个子矩阵。 矩阵 的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。

矩阵

的作用是对点进行平移变换。 矩阵 的作用是进行透视投影变换。

矩阵

的作用是产生整体比例变换。 三．结束语

通过这次论文的举例，加深了我对于矩阵的认识，深刻理解了矩

????

? ?

?=s m

l q d c

p b a

T D 2D T 2[][][]????

? ?

?==s m

l q d c

p b a

z y

x

T z y

x

z y x D 111''

'2D T 2D T 2[]s T =4???? ??=q p T 3[]m l T =2????

??=d c b a T 1

阵在实际生活中的应用。矩阵在实际生活中的应用还有很多，在此就不一一列举。通过这次的学习也加深了我对于数学的浓厚兴趣。

参考文献

[1] 上海交通大学数学系. 线性代数（第二版）[M]. 北京：科学出

版社，2007.

[2] 陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M]. 北京：电子工业出版社，

2008.

[3] 郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数[M].北京：科学出版社，2011.

[4] 林升旭，梅家斌. 线性代数教程（第二版）[M]. 华中科技大学出版社，2009.