2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年八年级第二学期期中数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有（）

A．四个B．三个C．两个D．一个

2．2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要

0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（）

A．0.96×10﹣4B．9.6×10﹣3C．9.6×10﹣5D．96×10﹣6

3．要使有意义，则（）

A．x＜﹣4B．x≤﹣4C．x≥﹣4D．x＞﹣4

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（）

A．40°B．30°C．20°D．10°

5．疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：

金额/元5103050100

人数6171485

则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（）

A．39，10B．39，30C．30.4，30D．30.4，10

6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，则BC的长为（）

A．14B．13C．12D．9

7．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）（）

A．5B．10C．15D．20

8．在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E连接CE，若平行四边形ABCD的周长为30，则△CDE的周长为（）

A．25B．20C．15D．10

二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）

9．等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是°．

10．若点P（a，﹣3）在第四象限，且到原点的距离是5，则a＝．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，若CD＝4，则BD＝．

12．如果分式的值大于0，那么a的取值范围是．

13．在平行四边形ABCD中，AC＝10，BD＝6，AD＝a，那么a的取值范围是．

14．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实

际参加游览的同学一共有x人，则可列分式方程．

15．大成蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进10000kg番茄，公司想知道番茄的损坏率，从所有随机抽取若干进行统计，部分结果如表：

番茄总质量m（kg）10020030040050010000损坏番茄质量m（kg）10.6019.4230.6339.2449.54101.10番茄损坏的频率0.1060.0970.1020.0980.0990.101估计这批番茄损坏的概率为（精确到0.1），据此，若公司希望这批番茄能获得利润15000元，则销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为元/千克．16．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝．

三、解答题（共7小题，共52分）

17．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，求∠C的度数．

18．计算：

（1）；

（2）4．

19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．

20．如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF＝CG．（1）求证：△ADF≌△CBG；

（2）分别延长BG、AD交于点E，若∠E＝45°，∠C＝60°，求∠BGC的度数．

21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：

甲乙射击成绩统计表

平均数中位数方差命中10环的次数

甲70

乙7.5 5.41

甲乙射击成绩折线图

（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则胜出，理由是；

（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．

22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝6，AN⊥BC于N，点M是线段AN上一动点，点D与点M在直线AC两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD，BE，BM．

（1）依题意，补全图形；

（2）求证：MD＝BE；

（3）请在图2中画出图形，确定点M的位置，使得BM+BE有最小值，并直接写出BM+BE 的最小值为．

23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：

．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则a＝，b＝；

（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；

（3）当1≤x≤2时，化简＝．

四、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

24．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是．

25．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．

26．如图四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝2，CD＝5，则BD的长为．

27．已知x+y＝6，xy＝﹣3且x＞y，则＝．

28．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）如图1，若AB＝1，AD＝，CD＝，求BC的长；

（2）如图2，若BC＝CD，连接AC，求证：AC平分∠DAB；

（3）如图3，在（2）的条件下，若AB＝3，AD＝5，直接写出AC的长度为．

参考答案

一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的

1．下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有（）

A．四个B．三个C．两个D．一个

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

解：一定是轴对称图形的有：①角；②两相交直线；③圆；

故选：B．

2．2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要

0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（）

A．0.96×10﹣4B．9.6×10﹣3C．9.6×10﹣5D．96×10﹣6

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解：0.000096＝9.6×10﹣5，

故选：C．

3．要使有意义，则（）

A．x＜﹣4B．x≤﹣4C．x≥﹣4D．x＞﹣4

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，再解即可．

解：由题意得：x+4≥0，

解得：x≥﹣4，

故选：C．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、点B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交点的连线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若∠A＝40°，则∠DBC＝（）

A．40°B．30°C．20°D．10°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

解：∵AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，

故选：B．

5．疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：

金额/元5103050100

人数6171485

则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（）

A．39，10B．39，30C．30.4，30D．30.4，10

【分析】根据表格中的数据，可以求得这组数据的中位数和平均数，本题得以解决．解：＝×（5×6+10×17+30×14+50×8+100×5）＝30.4，

中位数是：30，

故选：C．

6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，则BC的长为（）

A．14B．13C．12D．9

【分析】在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．

解：∵AD＝12，AC＝13，CD＝5，

∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169，

即AD2+CD2＝AC2，

∴△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝15，AD＝12，

∴BD＝＝＝9，

∴BC＝BD+CD＝9+5＝14．

故选：A．

7．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）（）

A．5B．10C．15D．20

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，解答即可．

解：设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，由题意得：

＝，

解得：x＝15，

经检验x＝15是原方程的解，

∴应该向盒子中再放入15个其他颜色的球．

故选：C．

8．在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E连接CE，若平行四边形ABCD的周长为30，则△CDE的周长为（）

A．25B．20C．15D．10

【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∵平行四边形ABCD的周长为30，

∴AD+CD＝15，

∵OE⊥AC，

∴AE＝CE，

∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15．

故选：C．

二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）

9．等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是40°．

【分析】由条件可知该角只能为顶角，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求得底角．

解：∵该角为100°，

∴这个角只能是等腰三角形的顶角，

∴该等腰三角形的顶角为100°，

∴底角为＝40°，

故答案为：40．

10．若点P（a，﹣3）在第四象限，且到原点的距离是5，则a＝4．【分析】由勾股定理列出方程a2+32＝52，根据第四象限内点的坐标特征求出a的值．解：∵点P（a，﹣3）到原点的距离是5，

∴a2+32＝52．

∴a＝±4．

∵点P（a，﹣3）在第四象限，

∴a＝4．

故答案为：4．

11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，若CD＝4，则BD＝8．

【分析】根据∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，可以得到∠B、∠DAC和∠DAB的度数，然后即可得到AD＝BD，再根据CD＝4，∠DAC和∠C的度数，即可得到AD的长，从而可以得到BD的长．

解：∵∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，

∴∠B＝30°，∠DAC＝30°，

∴∠DAB＝∠ADC﹣∠B＝30°，

∴∠DAB＝∠B，

∴AD＝BD，

又∵CD＝4，∠CAD＝30°，∠C＝90°，

∴AD＝8，

∴BD＝8，

故答案为：8．

12．如果分式的值大于0，那么a的取值范围是a＜2．

【分析】根据题意列出不等式即可求出答案．

解：由题意可知：a﹣2＜0，

∴a＜2，

故答案为：a＜2．

13．在平行四边形ABCD中，AC＝10，BD＝6，AD＝a，那么a的取值范围是2＜a＜8．

【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝5，DO＝3，再根据三角形的三边关系可得5﹣3＜AD＜5+3，再解即可．

解：设平行四边形ABCD对角线相交于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，

∴AO＝AC＝5，DO＝BD＝3，

∴5﹣3＜AD＜5+3，

解得：2＜AD＜8，

即2＜a＜8．

故答案为：2＜a＜8．

14．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x人，则可列分式方程﹣＝10．

【分析】根据人均费用＝总租金÷人数结合增加5名同学后人均车费少了10元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

解：依题意，得：﹣＝10．

故答案为：﹣＝10．

15．大成蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进10000kg番茄，公司想知道番茄的损坏率，从所有随机抽取若干进行统计，部分结果如表：

番茄总质量m（kg）10020030040050010000损坏番茄质量m（kg）10.6019.4230.6339.2449.54101.10番茄损坏的频率0.1060.0970.1020.0980.0990.101估计这批番茄损坏的概率为0.1（精确到0.1），据此，若公司希望这批番茄能获得利润15000元，则销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为4元/千克．

【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计番茄的损坏概率为0.1；根据概率计算出完好番茄的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克番茄的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解

答．

解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，番茄损坏的频率越来越稳定在0.1左右，

所以这批番茄损坏的概率为0.1；

根据估计的概率可以知道，在10000千克番茄中完好番茄的质量为10000×0.9＝9000千克，

设每千克番茄的销售价为x元，则应有9000x＝2.1×10000+15000，

解得：x＝4，

答：出售番茄时每千克大约定价为4元可获利润15000元．

故答案为：0.1，4．

16．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝4．

【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，

∵AC⊥BC，

∴AC＝＝8，

∴OC＝4，

∴OB＝＝2，

∴BD＝2OB＝4

故答案为：4．

三、解答题（共7小题，共52分）

17．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝21°，求∠C的度数．

【分析】设∠C＝α，根据AB＝CB，AC＝AD，即可得出∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．

解：设∠C＝α，

∵AB＝CB，AC＝AD，

∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，

又∵∠BAD＝21°，

∴∠CAD＝α﹣21°，

∵△ACD中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，

∴α﹣21°+α+α＝180°，

∴α＝67°，

∴∠C＝67°．

18．计算：

（1）；

（2）4．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简进而合并得出答案．

解：（1）原式＝2+﹣1﹣1+2

＝3；

（2）原式＝4+3﹣2+4

＝7+2．

19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．

【分析】先根据分式的混合运算化简后，再代入求值即可．

解：原式＝

＝a+1，

把a＝﹣1代入a+1＝．

20．如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF＝CG．（1）求证：△ADF≌△CBG；

（2）分别延长BG、AD交于点E，若∠E＝45°，∠C＝60°，求∠BGC的度数．

【分析】（1）由SAS证明△ADF≌△CBG即可；

（2）由平行线的性质得出∠CBG＝∠E＝45°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB，AD∥BC，

在△ADF和△CBG中，，

∴△ADF≌△CBG（SAS）；

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠CBG＝∠E＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠BGC＝180°﹣∠C﹣∠CBG＝180°﹣60°﹣45°＝75°．

21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：

甲乙射击成绩统计表

平均数中位数方差命中10环的次数

甲77 1.60

乙77.5 5.41

甲乙射击成绩折线图

（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则甲胜出，理由是由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定；

（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．

【分析】（1）分别利用中位数以及方差和平均数求法得出即可；

（2）根据（1）计算出的甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；

（3）希望乙胜出，修改规则，使乙获胜的概率大于甲即可．

解：（1）根据折线统计图得：

乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

则平均数为：（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）＝7（环），

甲的射击成绩为9，6，7，6，5，7，7，？，8，9，平均数为7环，

则甲第八环成绩为70﹣（9+6+7+6+5+7+7+8+9）＝6（环），

所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，5，7，7，6，8，9，

把这些数从小到大排列为5，6，6，6，7，7，7，8，9，9，

则中位数是：＝7（环），

甲的方差为：[2×（9﹣7）2+3×（6﹣7）2+3×（7﹣7）2+（5﹣7）2+（8﹣7）2]＝1.6；补统计表如下：

平均数中位数方差命中10环的次数

甲77 1.6 0

乙7 7.5 5.41

补全折线统计图如下：

故答案为：7，1.6，7；

（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；

故答案为：甲，由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定；

（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．

22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝6，AN⊥BC于N，点M是线段AN上一动点，点D与点M在直线AC两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD，BE，BM．

（1）依题意，补全图形；

（2）求证：MD＝BE；

（3）请在图2中画出图形，确定点M的位置，使得BM+BE有最小值，并直接写出BM+BE 的最小值为10．

【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；

（2）根据SAS可证△AMD≌△CEB，再根据全等三角形的性质即可求解；

（3）由题意BM+BE＝BM+DM，推出B，M，D共线时，BE+BM的值最小，最小值为BD的长．

【解答】（1）解：如图1所示：

（2）证明：如图1中，∵AN⊥BC，AB＝AC，

∴∠BAM＝∠CAM．

∵AD⊥AB，

∴∠MAD+∠BAM＝90°．

∴∠MAD+∠CAM＝90°

∴∠C+∠CAM＝90°．

∴∠MAD＝∠C，

又∵AM＝CE，AD＝BC，

∴△AMD≌△CEB（SAS），

∴MD＝BE．

（3）点M的位置如图2，

∵AB＝8，BC＝6，

∴AD＝BC＝6，

∴BD＝＝＝10，

∵MD＝BE，

∴BM+BE＝BM+DM，

∴B，M，D共线时，BE+BM的值最小，最小值为BD的长，

∴BM+BE的最小值为10．

故答案为10．

23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：

．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则a＝2，b＝1；

（2）已知x是的算术平方根，求4x2+4x﹣2020的值；

（3）当1≤x≤2时，化简＝2．

【分析】（1）利用完全平方公式得到7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，从而得到a、b的值；

（2）根据算术平方根的定义得到x＝，利用题中的方法化简得到x＝，再利用代数式变形得到4x2+4x＝2，然后利用整体代入的方法计算4x2+4x﹣2020的值；

（3）利用完全平方公式得到原式＝+，化简得到原式＝|+1|+|﹣1|，然后根据x的范围去绝对值后合并即可．故答案为2，1；2．解：（1）7﹣4＝22﹣2×2×+（）2＝（2﹣）2，

∴a＝2，b＝1；

（2）根据题意得x＝＝＝＝，

∴2x+1＝，

∴（2x+1）2＝3，

∴4x2+4x＝2，

∴4x2+4x﹣2020＝2＝2﹣2020＝﹣2018；

（3）原式＝+

＝+

＝|+1|+|﹣1|，

∵1≤x≤2，

∴原式＝+1+1﹣

＝2．

故答案为2，1；2．

四、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）

24．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是a＜1且a≠﹣1．【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．

解：解方程，得x＝，

∵关于x的方程的解为正数，

∴x＞0，

即＞0，

当x﹣1＝0时，x＝1，代入得：a＝﹣1．此为增根，

∴a≠﹣1，

解得：a＜1且a≠﹣1．

故答案为：a＜1且a≠﹣1．

25．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝45°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．

【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CGA＝90°，从而知△CGA 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠ACB﹣∠DCE＝∠CAG，即可得解．

解：如图，连接CG、AG，

由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，

∴AG2+CG2＝AC2，