第39讲 圆与方程(解析版)2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第39讲圆与方程

一、考情分析

1、掌握确定圆的几何要素；

2、掌握圆的标准方程与一般方程.

二、知识梳理

1.圆的定义和圆的方程

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；

(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；

(3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内.

[微点提醒]

1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r

2.

2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

三、经典例题

考点一圆的方程

【例1】(1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为

________________.

(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为________.

【答案】(1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

【解析】 (1)法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，

则???F ＝0，

1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，

解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 故圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.

法二 设O (0，0)，A (1，1)，B (2，0)，则k OA ＝1，k AB ＝－1，所以k OA ·k AB ＝－1，即OA ⊥AB ，所以△OAB 是以角A 为直角的直角三角形，则线段BO 是所求圆的直径，则圆心为C (1，0)，半径r ＝1

2|OB |＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. (2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a ). 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝

2|a |

2

＝2|a |. 又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|

2

， ∴d 2

＋? ??

??622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2

，解得a ＝1，

∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|

2

， ∴r 2＝（a －b －3）2

2＋

? ??

??

622

，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① 由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.② 又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③

联立①②③，解得???a ＝1，

b ＝－1，r ＝2，

故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

法三 设所求圆的方程为x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为? ??

??－D

2，－E 2，半径r ＝12

D 2＋

E 2－4

F ，

∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－D 2－E

2＝0，即D ＋E ＝0，① 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴??????－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，

即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②

又知圆心? ????－D

2，－E 2到直线x －y －3＝0的距离d ＝?????

?－D 2＋E 2－32，

由已知得d 2＋? ??

??

622

＝r 2，

∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③

联立①②③，解得???D ＝－2，

E ＝2，

F ＝0，

故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题

角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题

【例2－1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y

x 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值.

【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.

(1)y

x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设y

x＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|

k2＋1

＝3，解得k＝±3(如图1).

所以y

x的最大值为3，最小值为－ 3.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最

大值或最小值，此时|2－0＋b|

2

＝3，解得b＝－2±6(如图2).

所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).

又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.

规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：

(1)形如m＝y－b

x－a

的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值

【例2－2】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()

A.52－4

B.17－1

C.6－2 2

D.17

【答案】A

【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝52，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.

规律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；

(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

考点三与圆有关的轨迹问题

【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).

(2)设PQ的中点为N(x，y).

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为

x2＋y2－x－y－1＝0.

规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. [方法技巧]

1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.

2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.

3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.

4.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.

四、 课时作业

1．圆2221x y y ++=的半径为( )

A ．1

B

C ．2

D ．4

【答案】B

【解析】由题意得，圆2

2

21x y y ++=，可化为22

(1)2x y ++=，所以R =，故选B ．

2．设(2,1),

(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）

A ．22(3)2x y -+=

B ．22(3)8x y -+=

C ．22(3)2x y ++=

D ．22(3)8x y ++=

【答案】A

【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r ===

所以圆的方程为22

(3)2x y -+=.

3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()1

2，的圆的方程是（ ） A ．()2

221x y +-= B ．()2

221x y ++= C ．()()2

2

131x y -+-= D ．()2

231x y +-=

【答案】A

【解析】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为2

2

()1x y b +-=，又点()1

2，

在圆上，所以()2

121b +-=，解得2b =.

4．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（ ） A ．()()22

125x y -+-= B ．()()22

1225x y -+-= C ．()2

255x y -+= D ．()2

2525x y -+=

【答案】A 【解析】

直径两端点为()()0,0,2,4 ∴圆心坐标为()1,2

圆的半径()

()2

2

51020r =

-+-=，

∴圆的方程为：()()2

2

125x y -+-=.

5．若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a >

【答案】A

【解析】由题2

2

2x y a +=-，则20a ->解得0a < 6．圆是心直线的定点为圆心，半径

，则圆的方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】由有

，所以直线过定点

，则所求

圆的方程为

，故选择A.

7．圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．1(,1)2

-

C ．(1,2)-

D ．1

(,1)2

-

- 【答案】D

【解析】将2

2

2100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2

211451110244x y ??+++=++= ??

?, 即可看出圆的圆心为1

(,1)2

-

-.

8．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22

315x y +++= B ．()()22

3125x y +++= C ．()()22

315x y -+-= D ．()()2

2

3125x y -+-=

【答案】D

【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5， ∴所求圆的标准方程为：()()22

3125x y -+-=， 9．圆()()2

2

234x y -++=的圆心和半径分别是（ ）． A ．()2,3-，4 B ．()2,3-，4

C ．()2,3-，2

D ．()2,3-，2

【答案】C

【解析】()()2

2

234x y -++=,即为()()2

2

22(3)2x y -+--=，∴圆的圆心为()2,3-，半径为2，

10．过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22

314x y -++= B ．()()22

314x y ++-= C ．()()22

114x y -+-= D ．()()2

2

114x y +++=

【答案】C

【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若

PT PB ，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．2214180x y x +-+= B ．2214180x y x +++= C ．2210180x y x +-+= D ．2210180x y x +++=

【答案】C

【解析】设P (x ，y )，∵PT ，∴PT 2＝2PB 2 ∴2

2

2

2

(1)12[(3)]x y x y -+-=-+

整理得：22

10180x y x +-+=.

12．若2220x y x y k +-++= 是圆的方程，则实数k 的取值范围是（） A ．k<5 B ．k<

54

C ．k<

32

D ．k>

32

【答案】B

【解析】22

20x y x y k +-++=是圆的方程,则有22

5(2)140,4

k k -+-><

解得 故选B

13．方程x 2+y 2+ax ﹣2by +c ＝0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为（ ） A ．4、2、4 B ．﹣4、2、4 C ．﹣4、2、﹣4 D ．4、﹣2、﹣4

【答案】B

【解析】x 2+y 2+ax ﹣2by +c ＝0可化为：()2

2

2224a a x y b b c ??++-=+- ??

? 2

222244

a

b a b

c ?-=??∴=???+-=?，解得4,2,4a b c =-== 14．已知点(,)P x y 为圆C :22680x y x +-+=上的一点，则2

2x y +的最大值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．9

D ．16

【答案】D

【解析】由圆的方程可知圆心为()3,0，半径为1.

22x y +可看作点()(),,0,0P x y O 距离的平方即2

OP

，

又

1OP ≤

即4OP ≤，故22

x y +的最大值为16，故选：D.

15．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．()2234x y ++= B ．()2231x y -+= C ．()222341x y -+= D ．()2

22341x y ++= 【答案】D

【解析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，

因为点P 在圆2

2

1x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()2

22341x y ++=.

16．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4

b ＋1c

的最小值是（ ） A ．9 B ．8 C ．4 D ．2

【答案】A

【解析】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．

因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此

4b ＋1c ＝(b ＋c )(4

b ＋1

c )＝4c b ＋b c

＋5. 因为b ，c >0，所以

4c b ＋b c ≥24c b

b c

?＝4. 当且仅当

4c b ＝b

c

时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝2

3

， c ＝

13时，4

b ＋1c

取得最小值9.

17．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

【答案】A

【解析】设圆心(),C x y ，则

()()

22

341x y -+-=，

化简得()()2

2

341x y -+-=，

所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，

所以||1||OC OM +

≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.

18．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为2

2

2x y +≤，若将军从点()3,0A 处出

发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）． A

．B

C

D

．3

【答案】B

【解析】由题点()3,0A 和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，

设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '

，

AA '中点3(

,)22

a b

M +在直线4x y +=上， 3422

01

3a b

b a +?+=???

-?=?-?

解得：41a b =??=?，即(4,1)A '，设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，则总路程PB PA PB PA '+=+，要使路程最短，只需PB PA '+最短，即点A '到军营的最短距离，即点A '到

222x y +≤

区域的最短距离为：OA '=19．设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为（ ） A

2 B

C

2

D

1

【答案】C

【解析】设点(),Q x y ，则2,3x a y a ==-，化简可得：260x y --= 即点Q 在直线260x y --=上，

圆C 的圆心()1,0到直线260x y --=

的距离为d =

=，

则线段PQ 长度的最小值为52-

20．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN 的中点，且2MN =.则AP 长度的最小值为（ ）

A 13

B ．32

C ．4

D ．5【答案】C

【解析】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，

设()4,M y ，(),3N x ，43,2

2x y P ++??

∴ ???

()()22

2434MN x y ∴=-+-=

,x y 表示以()4,3为圆心，半径为2的圆上的点，

()()

22

22

43143222x y AP x y ++????

=+=+++ ? ?

????

∴AP 表示圆上的点到()4,3--距离的一半，

()4,3--到()4,32

2

44

33

10，

min

102

42

AP .

21．（多选题）已知曲线22

:1C mx ny +=.（ ）

A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上

B ．若m =n >0，则

C n

C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为m

y x n

=- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线

【答案】ACD

【解析】对于A ，若0m n >>，则22

1mx ny +=可化为22

111

x y m n

+=， 因为0m n >>，所以

11m n

<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；

对于B ，若0m n =>，则22

1mx ny +=可化为22

1x y n

+=

， 此时曲线C

表示圆心在原点，半径为

n

的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则22

1mx ny +=可化为22

111

x y m n

+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由2

2

0mx ny +=

可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则22

1mx ny +=可化为2

1y n

=

，

y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 22．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且

其“欧拉线”与圆M ：222

(3)x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）

A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为

B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为

C ．若点（x ，y ）在圆M

上，则x +

的最小值是3-

D ．圆22(1)()8x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a

的取值范围是[1-+ 【答案】ACD

【解析】由AB ＝AC 可得△ABC 外心、重心、垂心均在线段BC 的垂直平分线上，即△ABC 的“欧拉线”即为线段BC 的垂直平分线，

由点B (－1,3)，点C (4,－2)可得线段BC 的中点为31,22??

???

，且直线的BC 的斜率32114BC k +==---，

所以线段BC 的垂直平分线的斜率1k =， 所以线段BC 的垂直平分线的方程为13

22

y x -

=-即10x y --=， 又圆M ：2

2

2

(3)x y r -+=的圆心为()3,0，半径为r ，

所以点()3,0到直线10x y --=r ==，

所以圆M ：2

2

(3)2x y -+=，

对于A 、B ，圆M 的圆心()3,0到直线30x y -+=的距离d =

=，所以圆上的点到直线30

x y -+=

的最小距离为-==A 正确，B 错误；

对于C ，令z x =+即0x z +-=，当直线0x z +-=与圆M 相切时，圆心()3,0到直线的距离

为

32

z

-=，解得3z =+3z =-，则x 的最小值是3-，故C 正确；

对于D ，圆2

2

(1)()8x a y a --+-=圆心为()1,a a +，半径为M 有公共点，则

≤

≤即()2

22218a a ≤-+≤，解得11a -≤+D 正

确.

23．（多选题）已知圆M 的一般方程为22

860x y x y +-+=，则下列说法正确的是（ ）

A ．圆M 的圆心为()4,3-

B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8

C ．圆M 的半径为5

D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6 【答案】ABCD

【解析】由圆M 的一般方程为2

2

860x y x y +-+=，则圆2

2

2

:(4)(3)5M x y -++=，

故圆心为(4,3)-，半径为5，则AC 正确；

令0x =，得0y =或6y =-，弦长为6，故D 正确； 令0y =，得0x =或8x =，弦长为8，故B 正确.

24．（多选题）以直线240x y +-=与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ） A ．22(4)20x y +-= B ．22(4)20x y -+= C ．22(2)20x y +-= D ．22(2)20x y -+=

【答案】AD

【解析】解：令0x =，则4y =；令0y =，则2x =.所以设直线240x y +-=与两坐标轴的交点分别为

()()0,4,2,0A B

.AB ==以A 为圆心，过B 点的圆的方程为：()2

2420x y +-=.以B 为圆心，过A 点的圆的方程为：

()

2

2220x y -+=.

25．（多选题）下列说法中正确的是（ ） A ．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等

B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线

C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-

D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是30,2??????

【答案】BD

【解析】对于A ，若两条直线均平行于y 轴，则两条直线斜率都不存在，A 错误； 对于B ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为

11

2121

y y x x y y x x --=--，为直线两点式方程；当直线平行于x 轴，则原方程可化为1y y =；当直线平行于y 轴，则原方程可化为1x x =；

综上所述：方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线，B 正确； 对于C ，圆的方程可整理为()()2

2

125x y ++-=，则圆心为()1,2-，C 错误；

对于D，若直线不经过第二象限，则23

0 2

2

t

t

-

?

-≥

??

?

?-≤

??

，解得：

3

2

t≤≤，D正确. 26．设圆的方程为22450

x y x

+--=

（1）求该圆的圆心坐标及半径.

（2）若此圆的一条弦AB的中点为(3,1)

P，求直线AB的方程.

【解析】（1）由圆的方程为22450

x y x

+--=

则()22

29

x y

-+=

所以可知圆心()

2,0

C，半径3

r=

（2）由弦AB的中垂线为CP,则

10

1

32

CP

k

-

==

-

所以可得1

AB

k=-，

故直线AB的方程为：()()

113

y x

-=--

即40

x y

+-=

27．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．

【解析】解：（1）圆C的半径为22

345

OC=+=，

从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；

（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，

在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，

所以4AD =

=，

所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1

122

S AB CD =

=． 28．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B

． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．

【解析】解：（1）设(,)M x y

=

， 化简得2

2

2

2

2(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-， ∴2

2

4x y +=．

即动点M 的轨迹C 的方程为2

2

4x y +=．

（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30，所以||2PQ d =．

∵圆心()0,0C 到直线l

=C 的半径为2，

∴max 2d =

+，min 2d =-，

∴max ||45

PQ =

+，min ||45PQ =-．